Exercice 1 : (3 + 3 + 3 points)
1) Donner le gradient et la matrice Hessienne de la fonction 𝑓(𝑥; 𝑦) =1
2𝑥2− 3𝑥𝑦 + 4𝑥𝑦2 𝛻𝑓(𝑥; 𝑦) = [𝑥 − 3𝑦 + 4𝑦2
−3𝑥 + 8𝑥𝑦 ] 𝐻𝑓(𝑥; 𝑦) = [−3 + 8𝑦1 −3 + 8𝑦8𝑥 ] 2) Prouver que (0 ; 0) (0 ;34) et (169 ;38) sont les seuls points critiques de 𝑓
Les points critiques (𝑥; 𝑦) vérifient 𝛻𝑓(𝑥; 𝑦) = [00], c’est à dire {𝑥 − 3𝑦 + 4𝑦2= 0
−3𝑥 + 8𝑥𝑦 = 0 ⇔ {
𝑥 − 3𝑦 + 4𝑦2 = 0
𝑥(−3 + 8𝑦) = 0 La deuxième équation implique 𝑥 = 0 ou bien 𝑦 =38
Si 𝑥 = 0 alors la première équation devient −3𝑦 + 4𝑦2= 0, c’est à dire 𝑦(−3 + 4𝑦) = 0
donc 𝑦 = 0 ou 𝑦 =34. Cela donne deux points critiques (0 ; 0) et (0 ;34).
Si 𝑦 =38 alors la première équation devient 𝑥 − 3 ×38+ 4 ×649 = 0 c’est à dire 𝑥 =1816−169 =
9
16. Cela donne le dernier point critique ( 9 16;
3 8).
3) Déterminer leur nature
det (𝐻𝑓(0; 0)) = | 1−3 −30 | = −9 < 0 donc 𝑓 admet en (0; 0) un point col.
det (𝐻𝑓 (0;3
4)) = |1 33 0| = −9 < 0 donc 𝑓 admet en (0;34) un point col.
det (𝐻𝑓 (169 ;38)) = | 1 0 0 9 2 | = 4,5 > 0 donc 𝑓 admet en (169 ;3
8) un minimum local (car 1> 0)
Exercice 2 : (6 points)
Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’une primitive ∫ (𝑥1 2+ 2𝑥 + 7 0 )𝑑𝑥 = [𝑥3 3 + 𝑥2+ 7𝑥]0 1 = 25 3 ∫ (𝑒−2𝑥+ 2 𝑥2) 𝑑𝑥 2 1 = [ 1 −2𝑒−2𝑥− 2 𝑥]1 2 = 1 −2(𝑒−4− 𝑒−2) + 1 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1 −3
avec 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = {−2 𝑠𝑖 𝑥 < 02𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1 −3 = ∫ −2𝑑𝑥0 −3 + ∫ 2𝑥𝑑𝑥1 0 = [−2𝑥]−30 + [𝑥2] 0 1 = 0 − 6 + 1 − 0 = −5 Exercice 3 : (4 points)
1) Trouver 𝑎 et 𝑏 tel que
2 (3 + 2𝑥)(3𝑥 − 2)= 𝑎 3 + 2𝑥+ 𝑏 3𝑥 − 2 𝑎 = 4 −13; 𝑏 = 6 13 2) En déduire ∫ 2 (3 + 2𝑥)(3𝑥 − 2)𝑑𝑥 3 1 = ∫ 2 −13× 2 3 + 2𝑥+ 2 13× 3 3𝑥 − 2𝑑𝑥 3 1 = 2 13[− ln(3 + 2𝑥) + ln(3𝑥 − 2)]13 = 2 13ln ( 35 9 )
