Correction partiel L2 aes 17 octobre 2017

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Partiel L2 AES du Mardi 17 octobre 2017

La calculatrice est autorisée, un point de présentation sera donné à ceux qui ont souligné ou surligné ou encadré leurs résultats d’une couleur différente de celle utilisée pour écrire ET qui ont utilisé au maximum une copie double et un intercalaire.

Ex 1 : (2+4 points)

Résoudre le système suivant.

a) {3𝑥 − 2𝑦 = −1 −3₅𝑥 +2₅𝑦 =1₅

Les deux équations sont équivalentes car on passe de la deuxième à la première en multipliant par −5. Le système se ramène à une seule équation 3𝑥 − 2𝑦 = −1 ⇔3𝑥+1

2 = 𝑦.

L’ensemble des solutions 𝑋 = [𝑥_{𝑦] du système est} 𝒮 = {[

𝑥 3𝑥 + 1

2

] ; 𝑥 ∈ ℝ}.

Résoudre le système suivant grâce à la méthode de Cramer b) {

2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3 4𝑥 − 2𝑧 = 5 −2𝑦 + 3𝑧 = 1

Le système est équivalent à l’équation matricielle [ 2 1 −1 4 0 −2 0 −2 3 ] × [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 3 5 1 ]. Comme | 2 1 −1 4 0 −2 0 −2 3 | = 8 − 8 − 12 = −12 ≠ 0, l’équation a une unique solution 𝑋 = [𝑥𝑦

𝑧 ] avec 𝑥 = | 3 1 −1 5 0 −2 1 −2 3 | −12 = 10−2−12−15 −12 = 19 12; 𝑦 = | 2 3 −1 4 5 −2 0 1 3 | −12 = 30−4+4−36 −12 = 1 2; 𝑧 = | 2 1 3 4 0 5 0 −2 1 | −12 = −24+20−4 −12 = 8 12= 2 3 d’où 𝒮 = {[ 19 12 1 2 2 3 ]} Ex 2 : (2+3 points)

a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [1 −1

4 1 ] (détailler le calcul) det(𝐴) = 1 + 4 = 5 ≠ 0 𝐴−1₌1 5. [ 1 −4 1 1 ] 𝑡 = [ 0,2 0,2 −0,8 0,2]

(2)

b) En déduire la solution de l’équation 𝐴𝑋 + 𝐵 = 4. 𝐶 avec 𝐴 = [1 −1 4 1 ], 𝑋 = [ 𝑥 𝑦] , 𝐵 = [₋₂1 ] , 𝐶 = [₋₁0 ] 𝑋 = 𝐴−1× (4. 𝐶 − 𝐵) = [_{−0,8 0,2}0,2 0,2] × ([ 0 −4] − [ 1 −2]) = [ 0,2 0,2 −0,8 0,2] × [ −1 −2] = [ −0,6 0,4 ] Ex 3 : (2+3 points)

a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [ 20 −21 −11

−1 1 0 ] (détailler le calcul) det(𝐴) = −1 + 2 − 2 = −1 ≠ 0 𝐴−1₌ 1 −1. [ −1 −1 −2 −1 −1 −3 −1 −2 −4 ] 𝑡 = [ 1 1 1 1 1 2 2 3 4 ]

b) En déduire la solution de l’équation 𝐴(𝑋 + 2. 𝐵) = 𝐶 avec 𝑋 = [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] , 𝐵 = [ 2 1 −3 ] et 𝐶 = [01 1 ] 𝑋 = 𝐴−1_{× 𝐶 − 2. 𝐵 = [}1₁ 1 1_{1 2} 2 3 4 ] × [ 0 1 1 ] − [ 4 2 −6 ] = [ 2 3 7 ] − [ 4 2 −6 ] = [ −2 1 13 ] Ex 4 : (3 points)

Existe-t-il un inverse à la matrice 𝑀 ? (on justifiera la réponse par un calcul)

𝑀 = [ 1 0 2 1 0 −1 0 1 0 2 0 1 −1 2 0 1 0 0 0 2 3 0 1 0 −3]

En développant suivant la deuxième colonne, on obtient det(𝑀) = −1 × | 1 2 1 0 −1 1 0 2 1 0 0 2 3 1 0 −3 | puis en développant suivant la troisième colonne

det(𝑀) = −1 × 1 × | −1 1 2 1 0 2 3 1 −3 | = −1 × 1 × 13 = −13 ≠ 0 donc 𝑀−1_existe.