Exercice 1 : (4 + 3 + 2 points)
1) Donner le gradient et la matrice Hessienne de la fonction
𝑓(𝑥; 𝑦) = 4𝑥2𝑦 + 12𝑥 − 3𝑥𝑦2 ∇𝑓(𝑥; 𝑦) = [8𝑥𝑦 + 12 − 3𝑦 2 4𝑥2− 6𝑥𝑦 ] 𝐻𝑓(𝑥; 𝑦) = [ 8𝑦 8𝑥 − 6𝑦 8𝑥 − 6𝑦 −6𝑥 ]
2) Prouver que (0 ; 2) et (0 ; −2) sont les seuls points critiques de 𝑓
∇𝑓(𝑥; 𝑦) = 0 ⇔ [8𝑥𝑦 + 12 − 3𝑦 2 4𝑥2− 6𝑥𝑦 ] = [ 0 0] ⇔ { 8𝑥𝑦 + 12 − 3𝑦2 = 0 𝑥(4𝑥 − 6𝑦) = 0 La deuxième équation signifie que 𝑥 = 0 ou bien 4𝑥 − 6𝑦 = 0.
1er cas : Si 𝑥 = 0, la première équation devient 12 − 3𝑦2 = 0 ⇔ 𝑦2 = 4
c’est à dire 𝑦 = 2 ou 𝑦 = −2.
2e cas : Si 4𝑥 − 6𝑦 = 0 alors 𝑥 = 1,5𝑦 et la première équation devient
12𝑦2+ 12 − 3𝑦2 = 0 ⇔ 𝑦2 = −12
9 cette équation n’a pas de solution réelle.
Ainsi (0 ; 2) et (0 ; −2) sont les seuls points critiques de 𝑓.
3) Déterminer leur nature
det (𝐻𝑓(0; 2)) = | 16 −12
−12 0 | = −144 < 0 donc 𝑓 admet un point col en (0; 2).
det (𝐻𝑓(0; −2)) = |−16 12
12 0| = −144 < 0 donc 𝑓 admet un point col en (0; −2).
Exercice 2 : (6 points)
Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’une primitive ∫ (−𝑥3+ 4𝑥 + 2 2 0 )𝑑𝑥 =[−𝑥 4 4 + 4𝑥2 2 + 2𝑥] 0 2 = −16 4 + 16 2 + 4 − 0 = 8 ∫ (𝑒−2𝑥− 1 𝑥2) 𝑑𝑥 +∞ 1 = [ 1 −2𝑒 −2𝑥 +1 𝑥]1 +∞ = 1 −2× 0 + 0 − ( 1 −2𝑒 −2+1 1) = 1 2𝑒 −2− 1 ∫ 𝑒5𝑥+ 2𝑥2𝑑𝑥 1 −1 =[1 5𝑒 5𝑥+2𝑥3 3 ] −1 1 =1 5𝑒 5+2 3− ( 1 5𝑒 −5−2 3) = 1 5𝑒 5−1 5𝑒 −5+4 3 Exercice 3 : (4 points)
1 (5 − 𝑥)(3𝑥 − 2)= 𝑎 5 − 𝑥+ 𝑏 3𝑥 − 2 1 3 × 5 − 2= 𝑎 + (5 − 5)𝑏 3 × 5 − 2 donc 𝑎 = 1 13 1 5 −23 = 𝑎 (3 × 2 3 − 2) 5 −23 + 𝑏 donc 𝑏 = 3 13 2) En déduire ∫ 1 (5 − 𝑥)(3𝑥 − 2)𝑑𝑥 2 1 = ∫ −1 13 × −1 5 − 𝑥 2 1 + 1 13× 3 3𝑥 − 2𝑑𝑥 = [− 1 13ln(5 − 𝑥) + 1 13ln(3𝑥 − 2)]1 2 = − 1 13ln(3) + 1 13ln(4) + 1 13ln(4) − 1 13ln(1) = 1 13ln ( 16 3)
