Ex 1 : (2+2+4 points)
Résoudre les systèmes suivants
a) { 5𝑥 − 2𝑦 = 1 −7𝑥 + 3𝑦 = 2 b) { −0,5𝑥 + 2𝑦 = 25 2𝑥 − 8𝑦 = 100 c) { 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1 −𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = −2 3𝑥 − 2𝑧 = 4 a) | 5 −2 −7 3 | = 5 × 3 − (−7) × (−2) = 1 ≠ 0
donc il existe une unique solution dont les coefficients sont
𝑥 = |1 −2 2 3 | 1 = 3 + 4 1 = 7 𝑦 = | 5 1 −7 2| 1 = 10 + 7 1 = 17 donc 𝒮 = {[7 17]} b) {−0,5𝑥 + 2𝑦 = 25 2𝑥 − 8𝑦 = 100 ⇔ { 2𝑥 − 8𝑦 = −100 2𝑥 − 8𝑦 = 100 donc 𝒮 = ∅ c) | 2 3 1 −1 2 5 3 0 −2 | = −8 + 0 + 45 − 6 − 0 − 6 = 25 ≠ 0
donc il existe une unique solution dont les coefficients sont
𝑥 = | 1 3 1 −2 2 5 4 0 −2 | 25 = −4 + 60 + 0 − 8 − 0 − 12 25 = 36 25 𝑦 = | 2 1 1 −1 −2 5 3 4 −2 | 25 = 8 − 4 + 15 + 6 − 40 − 2 25 = − 17 25 𝑧 = | 2 3 1 −1 2 −2 3 0 4 | 25 = 6 − 0 − 18 − 6 − 0 + 12 25 = 4 25 donc 𝒮 = {[ 36 25 −17 25 4 25 ]} Ex 2 : (2+3 points)
a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [4 5
1 −2] (détailler le calcul) det(𝐴) = −8 − 5 = −13 ≠ 0 donc 𝐴−1= 1 −13. [ −2 −1 −5 4 ] 𝑡 = [ 2 13 5 13 1 13 − 4 13 ]
b) Calculer l’inverse de la matrice 𝐵 = [
−1 2 0
1 3 −5
0 −3 2
det(𝐵) = −6 + 15 − 4 = 5 ≠ 0 donc 𝐵−1=1 5. [ −9 −2 −3 −4 −2 −3 −10 −5 −5 ] 𝑡 = [ −1,8 −0,8 −2 −0,4 −0,4 −1 −0,6 −0,6 −1 ] Ex 3 : (3+3 points)
a) Calculer le déterminant de la matrice suivante (on détaillera le calcul)
𝐶 = [ 2 1 −3 5 0 0 2 0 −1 2 0 1 −1 2 4 1 ] det(𝐶) = −2 × | 2 1 5 −1 2 1 −1 2 1 | = −2 × 0 = 0
b) Calculer le déterminant de la matrice suivante (on détaillera le calcul)
𝐷 = [ 5 0 −1 0 2 3 1 1 0 −1 0 2 1 0 4 −3 2 1 −4 2 0 1 3 0 0 ] det(𝐷) = −4 × | 5 0 −1 2 3 1 1 −1 0 2 1 4 0 1 3 0 | = −4 × (5 × | 1 1 −1 2 1 4 1 3 0 | − 3 × | 0 −1 2 2 1 4 1 3 0 |) = −4 × (5 × (−6 + 4 + 1 − 12) − 3 × (12 − 4 − 2)) = −4(−65 − 18) = 332.