correction examen L2 aes tampon decembre 2016

F A C U L T E D E D R O I T E T D ’ E C O N O M I E

E P R E U V E d e M é t h o d e s q u a n t i t a t i v e s 1

Ce sujet comporte 1 page

Aucun document autorisé, calculatrice autorisée.

Un point de présentation sera donné à ceux qui ont souligné ou surligné ou encadré leurs résultats d’une couleur différente de celle utilisée pour écrire ET qui ont utilisé au maximum une copie double et un intercalaire.

Exercice 1 : (3 + 3 + 3 points)

1) Donner le gradient et la matrice Hessienne de la fonction

𝑓(𝑥; 𝑦) = 3𝑥2𝑦 − 3𝑦2+ 𝑥3 − 6𝑦 𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = [ 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 3𝑥2− 6𝑦 − 6] 𝐻𝑓(𝑥, 𝑦) = [6𝑦 + 6𝑥 6𝑥 6𝑥 −6] 2) Prouver que (0 ; −1) (1 ; −1

2) et (−2 ; 1) sont les seuls points critiques de 𝑓

{ 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 _{= 0} 3𝑥2− 6𝑦 − 6 = 0 ⇔ { 3𝑥(2𝑦 + 𝑥) = 0 3𝑥2_{− 6𝑦 − 6 = 0} ⇔ { 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = −2𝑦 3𝑥2− 6𝑦 − 6 = 0 Si 𝑥 = 0 alors −6𝑦 − 6 = 0 donc 𝑦 = −1 Si 𝑥 = −2𝑦 alors 12𝑦2− 6𝑦 − 6 = 0 i.e. 2𝑦2− 𝑦 − 1 = 0 donc 𝑦 = 1 ou 𝑦 = −1 2

Les 𝑥 correspondants sont 𝑥 = −2×1 = −2 et 𝑥 = −2× (−1

2) = 1

3) Déterminer leur nature

det(𝐻𝑓(0 ; −1)) = |−6 0

0 −6| = 36 > 0

et comme −6 < 0, 𝑓 admet un maximum local en (0 ; −1).

det (𝐻𝑓 (1; −1

2)) = |

3 6

6 −6| = −18 − 36 < 0

𝑓 admet un point col en (1 ; −1

2).

det(𝐻𝑓(−2; 1)) = |−6 −12

−12 −6 | = 36 − 144 < 0

𝑓 admet un point col en (−2 ; 1).

Exercice 2 : (6 points)

∫ (𝑥4− 3𝑥2+ 7 1 0 )𝑑𝑥= [𝑥 5 5 − 𝑥 3_{+ 7𝑥]} 0 1 = 6,2 ∫ (𝑒−3𝑥₊ 3 𝑥2) 𝑑𝑥 2 1 = [ 1 −3𝑒 −3𝑥_{− 3×}1 𝑥]₁ 2 = 1 −3𝑒 −6₋3 2− ( 1 −3𝑒 −3_{− 3) =} 1 −3𝑒 −6₊1 3𝑒 −3₊3 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 3 0 = ∫ −𝑥𝑑𝑥 1 0 + ∫ (2𝑥 − 1)𝑑𝑥 3 1 = [−𝑥 2 2] 0 1 + [𝑥2 _{− 𝑥]} 13 = − 1 2− (−0) + 3 2_{− 3 − (1}2_{− 1) = 5,5} avec 𝑓(𝑥) = { −𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 1 2𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1 Exercice 3 : (4 points)

1) Trouver 𝑎 et 𝑏 tel que

−2 (3𝑥 + 2)(5 − 𝑥)= 𝑎 3𝑥 + 2+ 𝑏 5 − 𝑥 𝑎 = −2 5 − (−2₃₎ = − 6 17 𝑏 = −2 3×5 + 2= − 2 17 2) En déduire ∫ −2 (3𝑥 + 2)(5 − 𝑥)𝑑𝑥 2 1 = ∫ − 2 17× 3 3𝑥 + 2+ 2 17× −1 5 − 𝑥𝑑𝑥 2 1 = [− 2 17ln(3𝑥 + 2) + 2 17ln(5 − 𝑥)]1 2 = 2 17(− ln(8) + ln(3) + ln(5) − ln(4)) = 2 17ln ( 3×5 4×8) = 2 17ln ( 15 32)