Exercice 1 : (3 + 3 + 3 points)
1) Donner le gradient et la matrice Hessienne de la fonction
𝑓(𝑥; 𝑦) = 4𝑥3− 2𝑥𝑦2+ 2𝑥 𝛻𝑓(𝑥; 𝑦) = [12𝑥2−4𝑥𝑦− 2𝑦2+ 2]
𝐻𝑓(𝑥; 𝑦) = [−4𝑦 −4𝑥] 24𝑥 −4𝑦
2) Prouver que (0 ; −1) et (0 ; 1) sont les seuls points critiques de 𝑓
Les points critiques (𝑥; 𝑦) vérifient 𝛻𝑓(𝑥; 𝑦) = [00], c’est à dire {12𝑥2−4𝑥𝑦 = 0− 2𝑦2+ 2 = 0 La deuxième équation implique 𝑥 = 0 ou bien 𝑦 = 0
Si 𝑥 = 0 alors la première équation devient −2𝑦2+ 2 = 0, c’est à dire 𝑦2 = 1 donc
𝑦 = 1 ou 𝑦 = −1. Cela donne deux points critiques (0 ; −1) et (0 ; 1).
Si 𝑦 = 0 alors la première équation devient 12𝑥2+ 2 = 0 c’est à dire 𝑥2 = − 2
12< 0. Cette
équation n’a pas de solution, ce qui prouve que (0 ; −1) et (0 ; 1) sont les seuls points critiques.
3) Déterminer leur nature
det (𝐻𝑓(0; 1)) = | 0 −4
−4 0 | = −16 < 0 donc 𝑓 admet en (0; 1) un point col.
det (𝐻𝑓(0; −1)) = |0 44 0| = −16 < 0 donc 𝑓 admet en (0; −1) un point col.
Exercice 2 : (6 points)
Calculer les intégrales suivantes à l’aide de primitives
∫ (−3𝑥 + 4𝑥1 2+ 7𝑥3 0 )𝑑𝑥 = [−3𝑥2 2 + 4 𝑥3 3 + 7 𝑥4 4]0 1 = −3 2+ 4 3+ 7 4− 0 = 19 12 ∫ (𝑒−3𝑥+ 1 𝑥 − 5) 𝑑𝑥 2 −2 = ∫ (𝑒−3𝑥+ −1 −𝑥 + 5) 𝑑𝑥 2 −2 = [1 −3𝑒−3𝑥+ ln(−𝑥 + 5)]−2 2 = 1 −3𝑒−6+ ln(3) − ( 1 −3𝑒6+ ln(7)) = 1 −3𝑒−6+ 1 3𝑒6+ ln ( 3 7) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1 −1 avec 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 03 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1 −1 = ∫ 𝑥𝑑𝑥0 −1 + ∫ 3𝑑𝑥1 0 = [𝑥2 2]−1 0 + [3𝑥]01 = 0 −(−1)2 2 + 3 − 0 = 2,5
Exercice 3 : (4 points)
1) Trouver 𝑎 et 𝑏 tel que
−2 (5𝑥 + 1)(1 + 2𝑥)= 𝑎 5𝑥 + 1+ 𝑏 1 + 2𝑥 𝑎 = −10 3 , 𝑏 = 4 3 2) En déduire ∫ −2 (5𝑥 + 1)(1 + 2𝑥)𝑑𝑥 2 1 ∫ −2 (5𝑥 + 1)(1 + 2𝑥)𝑑𝑥 2 1 = ∫ −2 3× 5 5𝑥 + 1+ 2 3× 2 1 + 2𝑥 2 1 𝑑𝑥 = [−2 3ln(5𝑥 + 1) + 2 3ln(1 + 2𝑥)]1 2 =2 3ln ( 10 11)
