La calculatrice est autorisée, un point de présentation sera donné à ceux qui ont souligné ou surligné ou encadré leurs résultats d’une couleur différente de celle utilisée pour écrire ET qui ont utilisé au maximum une copie double et un intercalaire.
Ex 1 : (2+4 points)
Résoudre les systèmes suivants
a) {−15𝑥 + 10𝑦 = −2,53𝑥 − 2𝑦 = 0,5 b) {
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 3𝑥 − 2𝑧 = 1 −𝑤 + 𝑧 = 0 3𝑤 − 5𝑥 + 𝑦 = −1
a) On peut passer de la première équation à la deuxième grâce à une multiplication par −5 Les deux équations du système sont donc équivalentes, le système est lui équivalent à la seule équation 3𝑥 − 2𝑦 = 0,5, c’est à dire 1,5𝑥 − 0,25 = 𝑦. L’ensemble des solutions du système peut s’écrire
𝒮 = {[1,5𝑥 − 0,25] ∀𝑥 ∈ ℝ} 𝑥 En écrivant 𝑥 =2
3𝑦 + 0,5
3, on aurait pu aussi écrire l’ensemble des solutions du système 𝒮 = {[ 2 3𝑦 + 0,5 3 𝑦 ] ∀𝑦 ∈ ℝ}
b) Le système s’écrit matriciellement [ 0 2 1 −1 0 3 0 −2 −1 0 0 1 3 −5 1 0 ] × [ 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 0 1 0 −1 ] Or | 0 2 1 −1 0 3 0 −2 −1 0 0 1 3 −5 1 0 | = −1× | 2 1 −1 3 0 −2 −5 1 0 | − 1× | 0 2 1 0 3 0 3 −5 1 | = −1(−3 + 10 + 4) + 9 = −2 ≠ 0
Il existe une unique solution 𝑋 = [ 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 ] avec 𝑧 = | 0 2 1 0 0 3 0 1 −1 0 0 0 3 −5 1 −1 | −2 = −1× | 2 1 0 3 0 1 −5 1 −1 | −2 = −1(−5 − 2 + 3) −2 = −2 or −𝑤 + 𝑧 = 0 donc 𝑤 = 𝑧 = −2 De plus, 3𝑥 − 2𝑧 = 1 donc 𝑥 =1 + 2𝑧 3 = −1 et enfin, 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 donc 𝑦 = 𝑧 − 2𝑥 = −2 − 2×(−1) = 0 d’où 𝒮 = {[ −2 −1 0 −2 ]}
Ex 2 : (2+3 points)
a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐷 = [ 1 2
−1 2] − 𝐼2 (détailler le calcul) b) En déduire la solution de l’équation 𝐴𝑋 = 𝑋 + 𝐶 avec 𝐴 = [ 1 2
−1 2], 𝑋 = [ 𝑥 𝑦] , 𝐶 = [−12 ] a) 𝐷 = [ 1 2 −1 2] − [ 1 0 0 1] = [ 0 2 −1 1]
det(𝐷) = 0×1 − (−1)×2 = 2 ≠ 0 donc 𝐷−1 existe.
𝐶𝑜𝑚(𝐷) = [ 1 1 −2 0] donc 𝐷−1=1 2 . [ 1 1 −2 0] 𝑡 = [0,5 −1 0,5 0 ] b) 𝐴𝑋 = 𝑋 + 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 − 𝑋 = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 − 𝐼2𝑋 = 𝐶 ⇔ (𝐴 − 𝐼2)𝑋 = 𝐶 ⇔ 𝐷𝑋 = 𝐶 ⇔ 𝑋 = 𝐷−1𝐶 = [0,5 −1 0,5 0 ] × [ 2 −1] = [ 2 1] Ex 3 : (2+3 points)
a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [
1 5 −1
−1 0 1
0 −3 2
] (détailler le calcul)
b) En déduire la solution de l’équation 𝐴(𝑋 + 𝐵) = 𝐶 avec 𝑋 = [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] , 𝐵 = [ 0 2 1 ] et 𝐶 = [ 1 0 −2 ]
a) det(𝐴) = −3 + 3 + 10 = 10 ≠ 0 donc 𝐴−1 existe
𝑐𝑜𝑚(𝐴) = [ |−3 20 1| − |−1 10 2| |−10 −30 | − | 5 −1 −3 2 | | 1 −1 0 2 | − | 1 5 0 −3| |5 −1 0 1 | − | 1 −1 −1 1 | | 1 5 −1 0| ] = [ 3 2 3 −7 2 3 5 0 5 ] donc 𝐴−1= 1 10 . [ 3 −7 5 2 2 0 3 3 5 ] = [ 0,3 −0,7 0,5 0,2 0,2 0 0,3 0,3 0,5 ] b) 𝐴(𝑋 + 𝐵) = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 + 𝐴𝐵 = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 = 𝐶 − 𝐴𝐵 𝑋 = 𝐴−1(𝐶 − 𝐴𝐵) = [ 0,3 −0,7 0,5 0,2 0,2 0 0,3 0,3 0,5 ] × ([ 1 0 −2 ] − [ 1 5 −1 −1 0 1 0 −3 2 ] × [ 0 2 1 ]) = [ 0,3 −0,7 0,5 0,2 0,2 0 0,3 0,3 0,5 ] × ([ 1 0 −2 ] − [ 9 1 −4 ]) = [ 0,3 −0,7 0,5 0,2 0,2 0 0,3 0,3 0,5 ] × [ −8 −1 2 ] = [ −0,7 −1,8 −1,7 ] Ex 4 : (3 points)
La matrice suivante est-elle inversible ? (on justifiera la réponse par un calcul)
[ 1 1 2 0 −3 −1 0 1 0 2 0 2 −1 2 0 1 1 0 0 2 3 0 0 0 −3]
| | 1 1 2 0 −3 −1 0 1 0 2 0 2 −1 2 0 1 1 0 0 2 3 0 0 0 −3 | | = −2 | 1 1 2 −3 −1 0 1 2 1 1 0 2 3 0 0 −3 | = −2× ((−1)× | −1 1 2 1 0 2 3 0 −3 | − 1× | 1 2 −3 −1 1 2 3 0 −3 |) = −2(−1×9 − 1×(−3 + 12 + 9 − 6)) = 42 ≠ 0 donc la matrice est inversible.
