Partiel de statistiques L2 aes mars 2015
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Un point sera donné à la présentation si les résultats sont encadrés ou soulignés ou surlignés d’une couleur différente de celle utilisée pour écrire ET si l’étudiant n’utilise pas plus d’une intercalaire. Exercice 1
Une urne contient 7 billets de 500€ et 3 billets de 200€. On suppose que les 10 billets ont le même format.
Soit l’expérience aléatoire consistant à tirer 2 billets successivement et sans remise dans l’urne. (l’ordre du tirage compte)
Calculer la probabilité des évènements suivants : a) A = « tirer deux billets de 500€ »
𝑝(𝐴) = 7 × 6
10 × 9= 14 30 b) B = « tirer un billet de 500€ puis un billet de 200€ »
𝑝(𝐵) =7 × 3
90 =
7 30 c) C = « tirer un billet de 200€ puis un billet de 500€ »
𝑝(𝐵) =3 × 7
90 =
7 30 Exercice 2
En L3 aes, on distingue deux catégories d’étudiants : les boursiers et les non-boursiers. Cette année 40% sont non-boursiers.
Parmi les non-boursiers, 35% possèdent une voiture. Parmi les boursiers, 90% ne possèdent pas de voiture. On choisit au hasard un étudiant de L3 aes.
On considère les évènements : B = « l’étudiant est boursier »
V = « l’étudiant possède une voiture »
a) Modéliser cette situation par un arbre pondéré
0,1 0,6 0,9 0,4 0,35 0,65 b) Calculer 𝑝(𝐵 ∩ 𝑉) et 𝑝(𝐵̅ ∩ 𝑉) 𝑝(𝐵 ∩ 𝑉) = 𝑝(𝐵) × 𝑝𝐵(𝑉) = 0,06 𝑝(𝐵̅ ∩ 𝑉) = 𝑝(𝐵̅) × 𝑝(𝑉|𝐵̅) = 0,4 × 0,35 = 0,14 c) Calculer la probabilité que l’étudiant choisi au hasard possède une voiture
𝑝(𝑉) = 𝑝(𝐵 ∩ 𝑉) + 𝑝(𝐵̅ ∩ 𝑉) = 0,06 + 0,14 = 0,2 d) Calculer 𝑝(𝐵|𝑉) 𝑝(𝐵|𝑉) = 𝑝(𝐵 ∩ 𝑉) 𝑝(𝑉) = 0,06 0,2 = 0,3 𝐵 𝐵̅ 𝑉 𝑉̅ 𝑉 𝑉̅
Exercice 3
Sur un rayon d’une bibliothèque, il y a 10 livres en langue étrangère : 5 en anglais, 2 en tamoul et 3 en swahili. Une personne prend au hasard 4 de ces livres.
a) combien de choix différents peut-elle faire ? (104) = 10!
6! 4!=
10 × 9 × 8 × 7
24 = 210
b) quelle est la probabilité que ces 4 livres soient tous en anglais ? (54) 210= 5 210= 1 42
c) quelle est la probabilité qu’elle prenne 2 livres en anglais, un en tamoul et un en swahili ? (5 2) × (21) × (31) 210 = 6 21= 2 7
d) quelle est la probabilité qu’elle ait au moins un livre dans chaque langue ? (52) × (21) × (31) 210 + (51) × (22) × (31) 210 + (51) × (21) × (32) 210 = 60 210+ 15 210+ 30 210= 105 210= 0,5 Exercice 4
On lance deux fois un dé non truqué. La variable aléatoire 𝑋 compte le nombre de 5 obtenus. a) Donner la loi de probabilité de 𝑋
𝑋 = ⋯ 0 1 2 𝑝(𝑋 = ⋯ ) 25 36 10 36 1 36 b) Calculer l’espérance et la variance de 𝑋
𝐸(𝑋) =12 36= 1 3 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =14 36− 144 362 = 10 36= 5 18 On considère la variable aléatoire 𝑍 = −3𝑋 + 4
c) donner la loi de Z 𝑍 = ⋯ 4 1 −2 𝑝(𝑍 = ⋯ ) 25 36 10 36 1 36 d) calculer l’espérance et la variance de 𝑍 en utilisant les résultats obtenus au b)
𝐸(𝑍) = −3𝐸(𝑋) + 4 = 3 𝑉𝑎𝑟(𝑍) = 9𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 2,5 Exercice 5
Développer à l’aide du triangle de Pascal (−3𝑥 + 2)4
