• Aucun résultat trouvé

Correction partiel L2 aes 17 octobre 2018

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Correction partiel L2 aes 17 octobre 2018"

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

Partiel L2 AES du Mercredi 17 octobre 2018

La calculatrice est autorisée, un point de présentation sera donné à ceux qui ont souligné ou surligné ou encadré leurs résultats d’une couleur différente de celle utilisée pour écrire ET qui ont utilisé au maximum une copie double et un intercalaire.

Ex 1 : (2+4 points)

Résoudre le système suivant.

a) {−3𝑥 +15𝑥 − 2𝑦 = −12 5𝑦 = −0,2

Les deux équations sont contradictoires car en multipliant par −5 de part et d’autre de l’égalité dans la deuxième équation, on obtient

15𝑥 − 2𝑦 = 1 donc

𝒮 = ∅

Résoudre le système suivant grâce à la méthode de Cramer

b) { 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −3 4𝑥 − 2𝑦 = 5 −𝑦 + 3𝑧 = 1 ⇔ [14 −22 −10 0 −1 3 ] × [ 𝑥 𝑦 𝑧] = [ −3 5 1 ] |14 −22 −10 0 −1 3 | = −6 + 4 − 24 = −26 ≠ 0 donc 𝑥 = |−35 −22 −10 1 −1 3 | −26 = 18 + 5 − 2 − 30 −26 = 9 26, 𝑦 = |1 −3 −14 5 0 0 1 3 | −26 = 15 − 4 + 36 −26 = 47 −26, 𝑧 = |14 −22 −35 0 −1 1 | −26 = −2 + 12 + 5 − 8 −26 = 7 −26 donc 𝒮 = {[ 9 26 47 −26 7 −26]} Ex 2 : (2+3 points)

(2)

b) En déduire la solution de l’équation 𝐴(𝑋 + 𝐵) = 4. 𝐶 avec 𝐴 = [1 −12 3 ], 𝑋 = [𝑥𝑦] , 𝐵 = [−20 ] , 𝐶 = [11] det(𝐴) = 3 + 2 = 5 ≠ 0, 𝑐𝑜𝑚(𝐴) = [3 −21 1 ] donc 𝐴−1=1 5. [ 3 1 −2 1] = [ 0,6 0,2 −0,4 0,2] 𝐴(𝑋 + 𝐵) = 4. 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 = 4. 𝐶 − 𝐴𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1(4. 𝐶 − 𝐴𝐵) ⇔ 𝑋 = 4. 𝐴−1𝐶 − 𝐵 = 4. [ 0,6 0,2 −0,4 0,2] × [11] − [ 0−2] = 4. [ 0,8 −0,2] − [−20 ] = [ 3,2 1,2] donc 𝒮 = {[3,21,2]} Ex 3 : (2+3 points)

a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [50 −1 −22 −1

0 2 0 ] (détailler le calcul) det(𝐴) = 20 ≠ 0, 𝑐𝑜𝑚(𝐴) = [−24 00 −100 −5 10 −5] donc 𝐴−1= 1 20. [ 4 −2 −5 0 0 10 0 −10 −5 ] = [ 0,2 −0,1 −0,25 0 0 0,5 0 −0,5 −0,25]

b) En déduire la solution de l’équation 𝐴𝑋 − 2. 𝐵 = 𝐶 avec 𝑋 = [ 𝑥 𝑦 𝑧] , 𝐵 = [ 2 0 −1] et 𝐶 = [ 3 2 1] 𝑋 = 𝐴−1(𝐶 + 2. 𝐵) = [0,2 −0,1 −0,250 0 0,5 0 −0,5 −0,25] × [ 7 2 −1 ] = [ 1,45 −0,5 −0,75] Ex 4 : (3 points)

Existe-t-il un inverse à la matrice 𝑀 ? (on justifiera la réponse par un calcul)

𝑀 = [ 1 0 2 5 0 −1 −1 1 0 2 0 1 −1 0 0 1 0 0 0 2 3 0 1 0 −3] | | 1 0 2 5 0 −1 −1 1 0 2 0 1 −1 0 0 1 0 0 0 2 3 0 1 0 −3 | | = −5 × | −1 −1 1 2 0 1 −1 0 1 0 0 2 3 0 1 −3 | = −5 × (1 × |−11 −11 20 0 1 −3 | − 2 × |−1 −10 1 −11 3 0 1 |) = −5(2 − 2 × (−1)) = −20 ≠ 0 donc 𝑀−1 existe.

Références

Documents relatifs

Lidar measurements of stratospheric aerosols were made at several Arctic and mid-latitude stations as part of the European Arctic Stratospheric Ozone Experiment (EASOE)

As a result of their much larger slip and stress drop, the large events in the QD simulations are more likely to propagate through the unfavorable fault patch, again contrary to

Si vous avez autant de (flair – flaire) que vous le prétendez, je suggère que nous cessions cet (entretien – entretient) stérile et que nous allions dans la forêt chercher

Regarding the modal diameters and concentrations of the two modes and what we learned from size distributions related to fires, the first mode then is as- sociated to Asian

Since most of the noise sources are located close to the surface of the Earth, we show that the time derivative of the cross-correlation of long-period seismograms with multiple

Therefore, by taking the two different time ranges estimated for each Cenozoic formation within the Qaidam basin (Figure 2), we derive two different volumes of material eroded from

An improved magnetic anomaly map derived from both scalar and vector magnetic anomaly data, coupled with a better knowledge of the slab geometry in one hand, of the magnetic

Then, the confrontation of our observations to those previously made by Dow (1977) and Alpern and Cheymol (1978) led us to admit the existence of various groups of recycled