Partiel L2 AES du Mercredi 17 octobre 2018
La calculatrice est autorisée, un point de présentation sera donné à ceux qui ont souligné ou surligné ou encadré leurs résultats d’une couleur différente de celle utilisée pour écrire ET qui ont utilisé au maximum une copie double et un intercalaire.
Ex 1 : (2+4 points)
Résoudre le système suivant.
a) {−3𝑥 +15𝑥 − 2𝑦 = −12 5𝑦 = −0,2
Les deux équations sont contradictoires car en multipliant par −5 de part et d’autre de l’égalité dans la deuxième équation, on obtient
15𝑥 − 2𝑦 = 1 donc
𝒮 = ∅
Résoudre le système suivant grâce à la méthode de Cramer
b) { 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −3 4𝑥 − 2𝑦 = 5 −𝑦 + 3𝑧 = 1 ⇔ [14 −22 −10 0 −1 3 ] × [ 𝑥 𝑦 𝑧] = [ −3 5 1 ] |14 −22 −10 0 −1 3 | = −6 + 4 − 24 = −26 ≠ 0 donc 𝑥 = |−35 −22 −10 1 −1 3 | −26 = 18 + 5 − 2 − 30 −26 = 9 26, 𝑦 = |1 −3 −14 5 0 0 1 3 | −26 = 15 − 4 + 36 −26 = 47 −26, 𝑧 = |14 −22 −35 0 −1 1 | −26 = −2 + 12 + 5 − 8 −26 = 7 −26 donc 𝒮 = {[ 9 26 47 −26 7 −26]} Ex 2 : (2+3 points)
b) En déduire la solution de l’équation 𝐴(𝑋 + 𝐵) = 4. 𝐶 avec 𝐴 = [1 −12 3 ], 𝑋 = [𝑥𝑦] , 𝐵 = [−20 ] , 𝐶 = [11] det(𝐴) = 3 + 2 = 5 ≠ 0, 𝑐𝑜𝑚(𝐴) = [3 −21 1 ] donc 𝐴−1=1 5. [ 3 1 −2 1] = [ 0,6 0,2 −0,4 0,2] 𝐴(𝑋 + 𝐵) = 4. 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 = 4. 𝐶 − 𝐴𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1(4. 𝐶 − 𝐴𝐵) ⇔ 𝑋 = 4. 𝐴−1𝐶 − 𝐵 = 4. [ 0,6 0,2 −0,4 0,2] × [11] − [ 0−2] = 4. [ 0,8 −0,2] − [−20 ] = [ 3,2 1,2] donc 𝒮 = {[3,21,2]} Ex 3 : (2+3 points)
a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [50 −1 −22 −1
0 2 0 ] (détailler le calcul) det(𝐴) = 20 ≠ 0, 𝑐𝑜𝑚(𝐴) = [−24 00 −100 −5 10 −5] donc 𝐴−1= 1 20. [ 4 −2 −5 0 0 10 0 −10 −5 ] = [ 0,2 −0,1 −0,25 0 0 0,5 0 −0,5 −0,25]
b) En déduire la solution de l’équation 𝐴𝑋 − 2. 𝐵 = 𝐶 avec 𝑋 = [ 𝑥 𝑦 𝑧] , 𝐵 = [ 2 0 −1] et 𝐶 = [ 3 2 1] 𝑋 = 𝐴−1(𝐶 + 2. 𝐵) = [0,2 −0,1 −0,250 0 0,5 0 −0,5 −0,25] × [ 7 2 −1 ] = [ 1,45 −0,5 −0,75] Ex 4 : (3 points)
Existe-t-il un inverse à la matrice 𝑀 ? (on justifiera la réponse par un calcul)
𝑀 = [ 1 0 2 5 0 −1 −1 1 0 2 0 1 −1 0 0 1 0 0 0 2 3 0 1 0 −3] | | 1 0 2 5 0 −1 −1 1 0 2 0 1 −1 0 0 1 0 0 0 2 3 0 1 0 −3 | | = −5 × | −1 −1 1 2 0 1 −1 0 1 0 0 2 3 0 1 −3 | = −5 × (1 × |−11 −11 20 0 1 −3 | − 2 × |−1 −10 1 −11 3 0 1 |) = −5(2 − 2 × (−1)) = −20 ≠ 0 donc 𝑀−1 existe.