Correction du Partiel du mercredi 7 octobre 2015

(1)

Partiel L2 AES du mercredi 7 octobre 2015

La calculatrice est autorisée, un point de présentation sera donné à ceux qui ont souligné ou surligné leurs résultats d’une couleur différente de celle utilisée pour écrire ET qui ont utilisé au maximum une copie double et un

intercalaire.

Ex 1 :

Résoudre les systèmes suivants

a) {−1,3𝑥 − 5𝑦 = 1_{3,9𝑥 + 15𝑦 = 0}

En multipliant de part et d’autre de la première équation par −3, on obtient 3,9𝑥 + 15𝑦 = −3. Il n’existe aucun couple de nombres (𝑥; 𝑦) tels que 3,9𝑥 + 15𝑦 = −3 et 3,9𝑥 + 15𝑦 = 0. Le système n’a aucune solution.

𝒮 = ∅

b) {

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 + 3𝑧 = 1

−3𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 0 (utiliser la méthode de Cramer)

Le système s’écrit matriciellement

[ 12 −10 13 −3 3 −5 ] × [ 𝑥 𝑦 𝑧] = [ 4 1 0] Or | 12 −10 13 −3 3 −5| = 6 + 9 − 9 − 10 = −4 ≠ 0 Il existe une unique solution 𝑋 = [

𝑥 𝑦 𝑧] avec 𝑥 = |4 −11 0 13 0 3 −5 | −4 = 3 − 36 − 5 −4 = 38 4 = 19 2 = 9,5 𝑦 = | 12 41 13 −3 0 −5 | −4 = −5 − 36 + 3 + 40 −4 = −0,5 𝑧 = | 12 −1 40 1 −3 3 0 | −4 = 24 + 3 − 3 −4 = −6 d’où 𝒮 = {[−0,59,5 −6 ]} c) { 𝑤 − 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −2 −2𝑥 + 3𝑧 = 1 −𝑤 + 𝑥 + 5𝑧 = 0 3𝑤 + 𝑦 − 5𝑧 = 0

(2)

Le système s’écrit matriciellement [ 1 −1 1 −2 0 −2 0 3 −1 1 0 5 3 0 1 −5 ] × [ 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ −2 1 0 0 ] Or | 1 −1 1 −2 0 −2 0 3 −1 1 0 5 3 0 1 −5 | = 1 × |−10 −21 35 3 0 −5 | − 1 × | 10 −1 −2−2 3 −1 1 5 | = (−30 − 9 + 10) − (−10 + 3 + 4 − 3) = −29 + 6 = −23 ≠ 0 Il existe une unique solution 𝑋 = [

𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 ] avec 𝑧 = | 1 −1 1 −2 0 −2 0 1 −1 1 0 0 3 0 1 0 | −23 = 1 × |−10 −2 11 0 3 0 0| − 1 × | 1 −1 −2 0 −2 1 −1 1 0 | −23 = (−1) × 3 − 1 × (1 + 4 − 1) −23 = −7 −23= 7 23 or −2𝑥 + 3𝑧 = 1 donc −2𝑥 + 3 × 7 23= 1 ⇔ 21 23− 1 = 2𝑥 ⇔ − 2 23= 2𝑥 ⇔ − 1 23= 𝑥 De plus, −𝑤 + 𝑥 + 5𝑧 = 0 donc 𝑤 = 𝑥 + 5𝑧 = − 1 23+ 5 × 7 23= 34 23 et enfin, 3𝑤 + 𝑦 − 5𝑧 = 0 donc 𝑦 = 5𝑧 − 3𝑤 = 5 × 7 23− 3 × 34 23= − 67 23 d’où 𝒮 = {[ 34 23 − 1 23 −67 23 7 23 ]} Ex 2 :

a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [−1 1₂ ₃] (détailler le calcul)

b) En déduire la solution de l’équation 𝐴(𝑋 + 𝐵) = 𝐶 avec 𝑋 = [𝑥_{𝑦] , 𝐵 = [}₋₅1 ] , 𝐶 = [2₀]

(3)

𝐶𝑜𝑚(𝐴) = [ 3_{−1 −1}−2] donc 𝐴−1₌ 1 −5 . [ 3 −1 −2 −1] = [ −0,6 0,2 0,4 0,2] b) 𝐴(𝑋 + 𝐵) = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 + 𝐴𝐵 = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 = 𝐶 − 𝐴𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1_{(𝐶 − 𝐴𝐵) = [}−0,6 0,2 0,4 0,2] × ([20] − [−1 12 3] × [ 1−5]) = [ −0,6 0,2 0,4 0,2] × ([20] − [ −6−13]) = [−0,6 0,2_0,4 _{0,2] × [}₁₃8] = [−2,2_{5,8 ]} Ex 3 :

a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [

2 0 −1

1 4 1

0 −3 1 ] (détailler le calcul) b) En déduire la solution de l’équation 𝐴𝑋 − 2. 𝐵 = 𝐶 avec 𝑋 = [

𝑥 𝑦 𝑧] , 𝐵 = [ 0 1 1] et 𝐶 = [ 1 −1 −2]

a) det(𝐴) = 8 + 3 + 6 = 17 ≠ 0 donc 𝐴−1 existe

𝑐𝑜𝑚(𝐴) = [ |_{−3 1}4 1| − |1 1_{0 1}| |1_{0 −3}4 | − | 0₋₃ −1₁ | |2 −1₀ ₁ | − |2_{0 −3}0 | |0 −1₄ ₁ | − |2 −1₁ ₁ | |2 0_{1 4}_{| ]} = [7 −1 −33 2 6 4 −3 8 ] donc 𝐴−1₌ 1 17 . [ 7 3 4 −1 2 −3 −3 6 8 ] = [ 7 17 3 17 4 17 − 1 17 2 17 − 3 17 − 3 17 6 17 8 17 ] b) 𝐴𝑋 − 2. 𝐵 = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 = 𝐶 + 2. 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1_{(𝐶 + 2. 𝐵) =} [ 7 17 3 17 4 17 − 1 17 2 17 − 3 17 − 3 17 6 17 8 17 ] × ([−11 −2 ] + 2. [01 1 ]) = [ 7 17 3 17 4 17 − 1 17 2 17 − 3 17 − 3 17 6 17 8 17 ] × ([−11 −2 ] + [02 2 ]) = [ 7 17 3 17 4 17 − 1 17 2 17 − 3 17 − 3 17 6 17 8 17 ] × [11 0 ] = [ 10 17 1 17 3 17]