Correction partiel L2 aes 15 octobre 2018

Partiel L2 AES du Lundi 15 octobre 2018

La calculatrice est autorisée, un point de présentation sera donné à ceux qui ont souligné ou surligné ou encadré leurs résultats d’une couleur différente de celle utilisée pour écrire ET qui ont utilisé au maximum une copie double et un intercalaire.

Ex 1 : (3 points)

Résoudre le système suivant grâce à la méthode de Cramer

a) {3𝑥 − 2𝑦 = −1_{5𝑥 − 2𝑦 = 4} ⇔ [3 −2_{5 −2}] × [_{𝑦] = [}𝑥 −1₄ ] Comme

|3 −2

5 −2| = 3 × (−2) − 5 × (−2) = 4 ≠ 0

Il existe une unique solution [𝑥_{𝑦] au système. La méthode de Cramer nous permet d’avoir} 𝑥 =|−1 −24 −2| |3 −2 5 −2| =2 + 8 4 = 10 4 = 2,5 et 𝑦 =|3 −15 4 | |3 −2 5 −2| =12 + 5 4 = 17 4 = 4,25 Donc 𝒮 = {[_4,252,5]} Ex 2 : (5 points)

Résoudre le système suivant (on calculera 𝑧 grâce à la méthode de Cramer, puis 𝑦, 𝑤 et 𝑥 par substitution)

b) { −𝑤 + 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3 𝑤 + 4𝑥 − 2𝑧 = 5 −2𝑦 + 3𝑧 = 1 𝑤 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 ⇔ [ −1 2 1 −1 1 4 0 −2 0 0 −2 3 1 0 −1 2 ] × [ 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 3 5 1 0 ] Comme | −1 2 1 −1 1 4 0 −2 0 0 −2 3 1 0 −1 2 | = −2 × |10 −20 −23 1 −1 2 | + 4 × |−10 −21 −13 1 −1 2 | = −2(−4 − 4 + 3) + 4(4 + 3 − 2 − 3) = 10 + 8 = 18 ≠ 0

Il existe une unique solution[ 𝑤

𝑥 𝑦 𝑧

] au système. La méthode de Cramer nous permet d’avoir

𝑧 = | −1 2 1 3 1 4 0 5 0 0 −2 1 1 0 −1 0 | 18 = −2 × |10 −2 10 5 1 −1 0 | + 4 × |−10 −2 11 3 1 −1 0 | 18 = −2 × (10 + 1) + 4 × (1 + 6 − 1) 18 =−22 + 24 18 = 2 18= 1 9

donc −2𝑦 +1 3= 1 donc 𝑦 = −1 3 donc 𝑤 = 𝑦 − 2𝑧 = −1 3− 2 9= − 5 9 donc 2𝑥 = 3 + 𝑧 − 𝑦 + 𝑤 = 3 +1 9+ 3 9− 5 9= 26 9 donc 𝑥 =13 9 Ainsi 𝒮 = {[ −5 9 13 9 −1 3 1 9 ]} Ex 3 : (2+3 points)

a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [2 −1_{2 1} ] (détailler le calcul)

b) En déduire la solution de l’équation 𝐴𝑋 − 𝐵 = 𝐶 avec 𝐴 = [2 −1_{2 1} ], 𝑋 = [_{𝑦] , 𝐵 = [}𝑥 ₋₂0 ] , 𝐶 = [ 1 −1] det(𝐴) = 2 + 2 = 4 ≠ 0, 𝑐𝑜𝑚(𝐴) = [1 −2 1 2 ] donc 𝐴−1₌1 4. [ 1 1 −2 2] = [ 0,25 0,25 −0,5 0,5] 𝐴𝑋 − 𝐵 = 𝐶 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1_{× (𝐶 + 𝐵) = [}0,25 0,25 −0,5 0,5] × [ 1−3] = [−0,5−2 ] 𝒮 = {[−0,5 −2]} Ex 4 : (3+3 points)

a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [−20 −21 −11

0 0 1

] (détailler le calcul)

b) En déduire la solution de l’équation 𝐴(𝑋 − 𝐵) = 3. 𝐶 avec 𝑋 = [ 𝑥 𝑦 𝑧] , 𝐵 = [ 1 0 −5] et 𝐶 = [ −1 0 1 ] det(𝐴) = 4 ≠ 0 𝑐𝑜𝑚(𝐴) = [−2−1 −2 00 0 −1 2 4] donc

𝐴−1₌1 4. [ −2 −1 −1 0 −2 2 0 0 4 ] = [−0,5 −0,25 −0,250 −0,5 0,5 0 0 1 ] 𝐴(𝑋 − 𝐵) = 3. 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 = 3. 𝐶 + 𝐴𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1_{(3. 𝐶 + 𝐴𝐵)} ⇔ 𝑋 = 3. 𝐴−1_{𝐶 + 𝐵 = 3. [}−0,5 −0,25 −0,25_{0 −0,5 0,5} 0 0 1 ] × [−10 1 ] + [ 10 −5 ] = 3. [0,250,5 1 ] + [ 10 −5 ] = [1,751,5 −2] 𝒮 = {[1,751,5 −2 ]}