Ex 1 : (2+4 points)
Résoudre les systèmes suivants
a) {−7𝑥 + 35𝑦 = 2,8 b) {𝑥 − 5𝑦 = 0,4
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
𝑦 − 2𝑧 = 1
a) {−7𝑥 + 35𝑦 = 2,8 ⇔ 𝑥 − 5𝑦 = 0,4 {−7𝑥 + 35𝑦 = −2,8−7𝑥 + 35𝑦 = 2,8 Les deux équations sont contradictoires donc
𝒮 = ∅ b) { 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 𝑦 − 2𝑧 = 1 ⇔ { 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 𝑦 = 1 + 2𝑧 ⇔ { 2𝑥 − 1 − 2𝑧 + 𝑧 = 4 𝑥 − 2 − 4𝑧 + 𝑧 = 0 𝑦 = 1 + 2𝑧 ⇔ { 2𝑥 − 𝑧 = 5 𝑥 − 3𝑧 = 2 𝑦 = 1 + 2𝑧 ⇔ { 2𝑥 − 𝑧 = 5 2𝑥 − 6𝑧 = 4 𝑦 = 1 + 2𝑧 ⇔ { 5𝑧 = 1 2𝑥 − 6𝑧 = 4 𝑦 = 1 + 2𝑧 ⇔ { 𝑧 = 0,2 2𝑥 = 5,2 𝑦 = 1,4 ⇔ { 𝑧 = 0,2 𝑥 = 2,6 𝑦 = 1,4 𝒮 = {[2,61,4 0,2]} = {[ 13 5 7 5 1 5 ]} Ex 2 : (2+3 points)
a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [ 4−1 22] (détailler le calcul) det(𝐴) = 4 × 2 − (−1) × 2 = 10 ≠ 0 donc 𝐴−1= 1 10 . [ 2 1 −2 4] 𝑡 = [0,2 −0,20,1 0,4 ]
c) En déduire la solution de l’équation 𝐴𝑋 + 2. 𝐵 = 𝐶 avec 𝑋 = [𝑥𝑦] , 𝐵 = [−14 ] , 𝐶 = [ 2−1]
𝐴𝑋 + 2. 𝐵 = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 = 𝐶 − 2. 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1(𝐶 − 2. 𝐵) = [0,2 −0,2
0,1 0,4 ] × ([−12 ] − [ 8−2]) = [0,2 −0,20,1 0,4 ] × [−61 ] = [−1,4−0,2]
Ex 3 : (2+3 points)
a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [−11 20 −15
0 −3 2 ] (détailler le calcul) det(𝐴) = −3 − (−15) − (−4) = 16 ≠ 0 donc 𝐶𝑜𝑚(𝐴) = [−(−15) −(−2)−1 2 −(−3)3 10 −4 2 ] et 𝐴−1= 1 16 . [ 15 −1 10 2 2 −4 3 3 2 ] = [ 15 16 − 1 16 10 16 2 16 2 16 − 4 16 3 16 3 16 2 16 ]
b) En déduire la solution de l’équation 𝐴(𝑋 + 𝐵) = 3. 𝐶 avec 𝑋 = [ 𝑥 𝑦 𝑧] , 𝐵 = [ 2 0 1] et 𝐶 = [ 0 1 −2] 𝐴(𝑋 + 𝐵) = 3. 𝐶 ⇔ 𝑋 + 𝐵 = 𝐴−1× (3. 𝐶) ⇔ 𝑋 = 𝐴−1× (3. 𝐶) − 𝐵 = [ 15 16 − 1 16 10 16 2 16 2 16 − 4 16 3 16 3 16 2 16 ] × [ 03 −6 ] − [20 1 ] = [ −63 16 30 16 − 3 16] − [ 32 16 0 16 16] = [ −95 16 30 16 −19 16] Ex 4 : (3 points)
Prouver que l’inverse de la matrice suivante existe (on justifiera la réponse par un calcul)
[ −2 0 3 5 0 1 −1 0 4 2 0 1 1 −2 4 1 ] | −2 0 3 5 0 1 −1 0 4 2 0 1 1 −2 4 1 | = 1 × |−2 3 54 0 1 1 4 1 | − (−1) × |−24 02 51 1 −2 1 | = (80 + 3 − (−8) − 12) + (−4 − 40 − 10 − 4) = 79 − 58 = 21 ≠ 0 donc l’inverse de [ −2 0 3 5 0 1 −1 0 4 2 0 1 1 −2 4 1 ] existe.
