correction partiel L2 aes 21 octobre 2016

Partiel L2 AES du vendredi 21 octobre 2016

La calculatrice est autorisée, un point de présentation sera donné à ceux qui ont souligné ou surligné ou encadré leurs résultats d’une couleur différente de celle utilisée pour écrire ET qui ont utilisé au maximum une copie double et un intercalaire.

Ex 1 : (2+4 points)

Résoudre les systèmes suivants

a) { 3𝑥 − 2𝑦 = 0,5 −15𝑥 + 10𝑦 = −3,5

En multipliant de part et d’autre de la première équation par −5, on obtient −15𝑥 + 10𝑦 = −2,5. Il n’existe aucun couple de nombres (𝑥; 𝑦) tels que −15𝑥 + 10𝑦 = −2,5 et −15𝑥 + 10𝑦 = −3,5. Le système n’a aucune solution.

𝒮 = ∅ b) { 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 3𝑥 − 2𝑦 = 1 −𝑤 + 𝑦 = 0 3𝑤 − 5𝑥 + 𝑧 = −1

Le système s’écrit matriciellement [ 0 2 −1 1 0 3 −2 0 −1 0 1 0 3 −5 0 1 ] × [ 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 0 1 0 −1 ] Or | 0 2 −1 1 0 3 −2 0 −1 0 1 0 3 −5 0 1 | = −1× | 23 −1 1−2 0 −5 0 1 | + 1× | 0 2 1 0 3 0 3 −5 1 | = −1(−4 − 10 + 3) − 9 = 2 ≠ 0

Il existe une unique solution 𝑋 = [ 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 ] avec 𝑦 = | 0 2 0 1 0 3 1 0 −1 0 0 0 3 −5 −1 1 | 2 = −1× | 2 0 1 3 1 0 −5 −1 1 | 2 = −1(2 − 3 + 5) 2 = −2 or −𝑤 + 𝑦 = 0 donc 𝑤 = 𝑦 = −2 De plus, 3𝑥 − 2𝑦 = 1 donc 𝑥 =1 + 2𝑦 3 = −1 et enfin,

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 donc 𝑧 = 𝑦 − 2𝑥 = −2 − 2×(−1) = 0 d’où 𝒮 = {[ −2 −1 −2 0 ]} Ex 2 : (2+3 points)

a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [−1 2_{1 2}] (détailler le calcul) b) En déduire la solution de l’équation 𝐵 − 𝐴𝑋 = 𝐶 avec 𝐴 = [−1 2

1 2], 𝑋 = [ 𝑥

𝑦] , 𝐵 = [1₀] , 𝐶 = [₋₁1 ]

a) det(𝐴) = −1×2 − 2×1 = −4 ≠ 0 donc 𝐴−1 existe.

𝐶𝑜𝑚(𝐴) = [ 2 −1 −2 −1] donc 𝐴−1₌ 1 −4 . [ 2 −2 −1 −1] = [ −0,5 0,5 0,25 0,25] b) 𝐵 − 𝐴𝑋 = 𝐶 ⇔ 𝐵 − 𝐶 = 𝐴𝑋 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1_{(𝐵 − 𝐶) = [}−0,5 0,5 0,25 0,25] × ([10] − [ 1 −1]) = [ −0,5 0,5 0,25 0,25] × [01] = [ 0,5 0,25] Ex 3 : (2+3 points)

a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [

1 5 −1

0 −2 1

0 0 2

] (détailler le calcul)

b) En déduire la solution de l’équation 𝐴(𝑋 + 𝐵) = 𝐶 avec 𝑋 = [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] , 𝐵 = [ 20 −1 ] et 𝐶 = [ 1 1 1 ]

a) det(𝐴) = −4 ≠ 0 donc 𝐴−1 existe

𝑐𝑜𝑚(𝐴) = [ |−2 1_{0 2}| − |0 1 0 2| | 0 −2 0 0| − |5 −1 0 2 | | 1 −1 0 2 | − | 1 5 0 0| | 5 −1 −2 1 | − | 1 −1 0 1 | | 1 5 0 −2| ] = [ −4 0 0 −10 2 0 3 −1 −2 ] donc 𝐴−1₌ 1 −4 . [ −4 −10 3 0 2 −1 0 0 −2 ] = [ 1 2,5 −0,75 0 −0,5 0,25 0 0 0,5 ] b) 𝐴(𝑋 + 𝐵) = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 + 𝐴𝐵 = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 = 𝐶 − 𝐴𝐵 𝑋 = 𝐴−1_{(𝐶 − 𝐴𝐵) = [}1_{0 −0,5}2,5 −0,75_0,25 0 0 0,5 ] × ([ 1 1 1 ] − [ 1 5 −1 0 −2 1 0 0 2 ] × [ 2 0 −1 ]) = [ 1 2,5 −0,75 0 −0,5 0,25 0 0 0,5 ] × ([ 1 1 1 ] − [ 3 −1 −2 ]) = [ 1 2,5 −0,75 0 −0,5 0,25 0 0 0,5 ] × [ −2 2 3 ] = [ −2 + 5 − 2,25 −0,25 1,5 ] = [ 0,75 −0,25 1,5 ] Ex 4 : (3 points)

[ 1 0 2 0 −1 −1 0 1 0 2 0 1 −1 2 0 1 1 0 0 2 3 0 1 0 −3] | | 1 0 2 0 −1 −1 0 1 0 2 0 1 −1 2 0 1 1 0 0 2 3 0 1 0 −3 | | = −2 | 1 0 2 −1 −1 0 1 2 1 1 0 2 3 0 1 −3 | = −2×(−1)× |−1 11 2 −12 3 1 −3 | = 2(−3 + 1 + 12 + 3 − 2 − 6) = 10 ≠ 0 donc la matrice est inversible.