Partiel du jeudi 16 mars 2017 L2 aes
Probabilités (méthodes quantitatives 2)
Matériel autorisé : calculatrice.
Un point sera donné pour la présentation si les résultats sont soulignés, encadrés ou surlignés d’une couleur différente de celle utilisée pour composer ET si un seul intercalaire est utilisé en plus de la feuille double donnée pour composer.
Exercice 1 :
On place 20 jetons dans un sac. Ces jetons sont numérotés de 1 à 20. On tire au hasard un jeton dans le sac.
1) Quelle est la probabilité de tirer le jeton n°5 ? 1 20
2) Quelle est la probabilité de tirer un jeton dont le numéro est plus grand ou égal à 15 ? 6
20
3) Quelle est la probabilité de tirer un jeton dont le numéro est un multiple de 3 ou bien dont le numéro est strictement plus petit que 2 ?
7 20
Si maintenant on tire 2 jetons successivement et sans remise (on peut aussi imaginer que ces deux jetons sont tirés en même temps, cela revient au même),
4) Quelle est la probabilité d’obtenir 2 jetons avec des numéros pairs ? (10 2) (20 2) = 45 190= 9 38≈ 0,24
5) Quelle est la probabilité d’obtenir un jeton avec un numéro plus petit ou égal à 3 et un jeton avec un numéro plus grand ou égal à 17 ?
(3 1) × ( 4 1) (20 2) = 3×4 (20 2) = 12 190= 6 95≈ 0,063 Exercice 2 :
Un jeu consiste à lancer deux fois de suite une pièce de monnaie truquée. La probabilité d’obtenir un PILE en lançant une fois la pièce de monnaie est de 0,4. On note 𝑋 la variable aléatoire qui donne le nombre de FACE obtenus après les deux lancers.
Les résultats des deux lancers sont supposés indépendants. 1) Donner la loi de probabilité de 𝑋
𝑋 = ⋯ 0 1 2
𝑝(𝑋 = ⋯ ) 0,4×0,4 = 0,16 1 − 0,36 − 0,16 = 0,48 0,6×0,6 = 0,36 Remarque : 𝑝(𝑋 = 1) aurait pu s’obtenir grâce à
𝑝(𝑋 = 1) = 𝑝((𝐹, 𝑃) ∪ (𝑃, 𝐹)) = 𝑝(𝐹, 𝑃) + 𝑝(𝑃, 𝐹) = 𝑝(𝐹)𝑝(𝑃) + 𝑝(𝑃)𝑝(𝐹) = 0,4×0,6 + 0,6×0,4 = 0,48
2) Calculer 𝐸(𝑋), 𝑉𝑎𝑟(𝑋).
𝐸(𝑋) = 1×0,48 + 2×0,36 = 1,2
Exercice 3 :
Soit 𝑋 la variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau suivant. X donne les gains réels d’un joueur (en euros) à un certain un jeu d’argent…
𝑋 = ⋯ −5 2 3 10 𝑝(𝑋 = ⋯ ) 7 10 1 10 1 10 1 10
Vu le peu de clients participant à ce jeu, l’organisateur change les règles grâce à la variable aléatoire 𝑌 donnée par 𝑌 = 𝑋 + 3.
1) Quelle est la mise d’un joueur après ce changement de règle ?
Dans la première règle du jeu, la mise est clairement de 5 euros. Dans la deuxième, lorsque 𝑋 = −5, 𝑌 = −5 + 3 = −2. La mise est donc de deux euros.
2) Calculer 𝐸(𝑌), 𝑉𝑎𝑟(𝑌) et 𝜎(𝑌). La loi de 𝑌 est 𝑌 = ⋯ −2 5 6 13 𝑝(𝑌 = ⋯ ) 7 10 1 10 1 10 1 10 donc 𝐸(𝑌) = −2× 7 10+ 5× 1 10+ 6× 1 10+ 13× 1 10= 1 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 4× 7 10+ 25× 1 10+ 36× 1 10+ 13 2× 1 10− 1 = 24,8 𝜎(𝑌) = √24,8 = 4,98
3) Le jeu 𝑌 est-il équitable ? favorable au joueur ? favorable à l’organisateur ? (justifier) Le jeu 𝑌 est favorable au joueur car 𝐸(𝑌) > 0.
Exercice 4 :
Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A et B.
L’entreprise considère qu’une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est compris entre 0,9cm et 1,1 cm.
Une étude de fonctionnement des machines a permis d’établir les résultats suivants : La machine B fournit 65 % de la production journalière.
95% de la production de la machine A est vendable. 98% de la production de la machine B est vendable.
On choisit une bille au hasard dans la production d’un jour donné. On définit les évènements suivants :
𝐵 : « la bille a été fabriquée par la machine B » 𝑉 : « la bille est vendable ».
1) Modéliser cette situation grâce à un arbre pondéré
0,98 0,65 0,02 0,35 0,95 0,05 𝐵 𝐵̅ 𝑉 𝑉̅ 𝑉 𝑉̅
2) Calculer 𝑝(𝐵 ∩ 𝑉̅) puis 𝑝(𝐵̅ ∩ 𝑉̅).
𝑝(𝐵 ∩ 𝑉̅) = 0,65×0,02 = 0,013 𝑝(𝐵̅ ∩ 𝑉̅) = 0,35×0,05 = 0,0175 3) Quelle est la probabilité que la bille ne soit pas vendable ?
𝑝(𝑉̅) = 𝑝(𝐵 ∩ 𝑉̅) + 𝑝(𝐵̅ ∩ 𝑉̅) = 0,013 + 0,0175 = 0,0305 4) Calculer 𝑝(𝐵|𝑉̅) 𝑝(𝐵|𝑉̅) =𝑝(𝐵 ∩ 𝑉̅) 𝑝(𝑉̅) = 0,013 0,0305≈ 0,426 5) Les évènements 𝑉̅ et 𝐵 sont-ils indépendants ?
𝑝(𝑉̅)×𝑝(𝐵) = 0,0305×0,65 = 0,019825 ≠ 0,013 = 𝑝(𝐵 ∩ 𝑉̅) donc les évènements ne sont pas indépendants.
