Partiel du mardi 8 mars 2016 L2 aes Probabilités (méthodes quantitatives 2) Matériel autorisé : calculatrice, dé cubique. Un point sera donné pour la présentation si les résultats sont soulignés, encadrés ou surlignés d’une couleur différente de celle utilisée pour composer ET si un seul intercalaire est utilisé en plus de la feuille double donnée pour composer. Exercice 1 : Une urne contient 9 boules rouges, 4 boules blanches, 3 boules noires et 6 boules bleues. On tire au hasard une boule dans l’urne. 1) Quelle est la probabilité de tirer une boule noire ? 3 22≈ 0,136 2) Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ou une boule bleue ? 10 22= 5 11≈ 0,45 Si maintenant on tire 3 boules successivement et sans remise (on peut aussi imaginer que ces trois boules sont tirées en même temps, cela revient au même), 3) Quelle est la probabilité d’obtenir 3 boules rouges ? 9 3 22 3 = 84 1540= 3 55≈ 0,0545 4) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche, une boule noire et une boule bleue ? 4 1 × 31 × 61 22 3 = 72 1540= 18 385≈ 0,04675 5) Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux boules rouges (la troisième étant donc soit noire, soit blanche, soit bleue) ? 9 2 × 4 + 3 + 6 22 3 = 468 1540= 117 385≈ 0,304 Exercice 2 : Un jeu consiste à lancer deux dés cubiques. On note 𝑋 la variable aléatoire qui donne le nombre de cinq obtenus. 1) Donner la loi de probabilité de 𝑋 𝑋 = ⋯ 0 1 2 𝑝(𝑋 = ⋯ ) 25 36 10 36 1 36 2) Calculer 𝐸 𝑋 , 𝑉𝑎𝑟(𝑋). 𝐸 𝑋 =10 36+ 2 36= 12 36= 1 3
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋9 − 𝐸 𝑋 9 = 10 36+ 4 36− 1 9= 10 36= 5 18 Soit 𝑌 la variable aléatoire donnée par 𝑌 = 9𝑋 − 3, elle donne les gains réels (en euros) d’un joueur. 3) Quelle est la mise d’un joueur ? 3 euros 4) Calculer 𝐸 𝑌 , 𝑉𝑎𝑟(𝑌) et 𝜎(𝑌). 𝐸 𝑌 = 9𝐸 𝑋 − 3 = 0 𝑉𝑎𝑟 𝑌 = 99𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 22,5 𝜎 𝑌 = 22,5 ≈ 4,74 5) Le jeu est-il équitable ? favorable au joueur ? favorable à l’organisateur ? (justifier) Le jeu est équitable car 𝐸 𝑌 = 0 Exercice 3 : Une étude météorologique montre qu’à Saint-Denis, entre décembre et avril, il pleut en moyenne 2 jours sur 3. Les jours de pluie, la route du littoral a 80% de chances d’être embouteillée toute la journée. Les jours où il ne pleut pas, la route du littoral a 30% de chances d’être embouteillée toute la journée. 1) En notant P l’événement « il pleut à Saint-Denis », et E l’événement « la route du littoral est embouteillée toute la journée », construire l’arbre pondéré modélisant l’étude météorologique précédente
