Exercice 1 (élaboré par Emmanuel Martin-Cocher) : (3 + 3 + 3 points) 1) Donner le gradient et la matrice Hessienne de la fonction
𝑓(𝑥; 𝑦) = 2𝑥2𝑦 + 0,5𝑦2− 4𝑥3− 2𝑦 Correction : ∇𝑓(𝑥; 𝑦) = [4𝑥𝑦 − 12𝑥 2 2𝑥2+ 𝑦 − 2] 𝐻(𝑓(𝑥; 𝑦)) = [4𝑦 − 24𝑥 4𝑥 4𝑥 1]
2) Prouver que (0 ; 2) (−2 ; −6) et (0,5 ; 1,5) sont les seuls points critiques de 𝑓
Correction : ∇𝑓(𝑥; 𝑦) = [0 0] ⇔ { 4𝑥𝑦 − 12𝑥2 = 0 2𝑥2 + 𝑦 − 2 = 0 ⇔ { 𝑥(4𝑦 − 12𝑥) = 0 2𝑥2+ 𝑦 − 2 = 0 La première équation implique 𝑥 = 0 ou bien 4𝑦 − 12𝑥 = 0, c’est à dire 𝑦 = 3𝑥
1er cas : si 𝑥 = 0 alors la deuxième équation devient 2 × 02+ 𝑦 − 2 = 0, c’est à dire 𝑦 = 2. Donc
(0; 2) est le premier point critique de 𝑓.
2e cas : si 𝑦 = 3𝑥 alors la deuxième équation devient 2𝑥2+ 3𝑥 − 2 = 0.
Avec Δ = 32− 4 × 2 × (−2) = 25, on obtient deux solutions 𝑥1 =−3 − √25
2 × 2 = −2 𝑒𝑡 𝑥2=
−3 + √25
2 × 2 = 0,5 Ainsi, 𝑦1 = 3 × (−2) = −6 et 𝑦2 = 3 × 0,5 = 1,5,
d’où les deux derniers points critiques annoncés par l’énoncé.
3) Déterminer leur nature
Correction :
det (𝐻(𝑓(0; 2)) = |4 × 2 − 24 × 0 4 × 0
4 × 0 1 | = |
8 0
0 1| = 8 > 0 donc 𝑓 admet un minimum local en (0; 2) (car 8> 0).
det (𝐻(𝑓(0,5; 1,5)) = |4 × 1,5 − 24 × 0,5 4 × 0,5
4 × 0,5 1 | = |
−6 2
2 1| = −10 < 0 donc 𝑓 admet un point col en (0,5; 1,5).
det (𝐻(𝑓(−2; −6)) = |4 × (−6) − 24 × (−2) 4 × (−2)
4 × (−2) 1 | = |
24 −8
−8 1 | = −40 < 0 donc 𝑓 admet un point col en (−2; −6).
Exercice 2 : (6 points)
Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’une primitive ∫ (−2𝑥3+ 5𝑥 + 1 2 0 )𝑑𝑥= [−2𝑥 4 4 + 5𝑥2 2 + 𝑥] 0 2 = (−2 × 2 4 4 + 5 × 22 2 + 2) − (− 2 × 04 4 + 5 × 02 2 + 0) = 4
∫ (𝑒−2𝑥− 1 𝑥2) 𝑑𝑥 +∞ 1 = [ 1 −2𝑒 −2𝑥+1 𝑥]1 +∞ = ( 1 −2𝑒 −2×(+∞)+ 1 +∞) − ( 1 −2𝑒 −2×1+1 1) = 0 + 0 +1 2𝑒 −2− 1 =1 2𝑒 −2− 1 ∫ 6𝑥 2− 1 2𝑥3− 𝑥 + 2𝑑𝑥 2 1 = [ln(2𝑥3− 𝑥 + 2)]12 = ln(2 × 23− 2 + 2) − ln(2 × 13− 1 + 2) = ln(16) − ln(3) = ln (16 3 ) Exercice 3 : (4 points)
1) Trouver 𝑎 et 𝑏 tel que
1 (𝑥 + 2)(3𝑥 + 2)= 𝑎 𝑥 + 2+ 𝑏 3𝑥 + 2 Correction 𝑎 = −1 4, 𝑏 = 3 4. 2) En déduire ∫ 1 (𝑥 + 2)(3𝑥 + 2)𝑑𝑥 2 1 = ∫ −1 4× 1 𝑥 + 2+ 1 4× 3 3𝑥 + 2𝑑𝑥 = [− 1 4ln(𝑥 + 2) + 1 4ln(3𝑥 + 2)]1 2 2 1 = −1 4ln ( 20 24) = − 1 4ln ( 5 6) = 1 4ln ( 6 5) .
