Exercice 1 : (4 + 3 + 2 points)
1) Donner le gradient et la matrice Hessienne de la fonction
𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥3− 3𝑥𝑦2+ 6𝑦 + 7
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = [3𝑥−6𝑥𝑦 + 62− 3𝑦2] H𝑓(𝑥, 𝑦) = [−6𝑦 −6𝑥] 6𝑥 −6𝑦
2) Prouver que (1 ; 1) et (−1 ; −1) sont les seuls points critiques de 𝑓
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = [00] ⇔ {3𝑥−6𝑥𝑦 + 6 = 0 (2)2− 3𝑦2= 0 (1) L’équation (2) implique 𝑦 =1𝑥
En substituant dans l’équation (1), on obtient 3𝑥2− 3
𝑥2 = 0
soit
𝑥4 = 1
donc 𝑥 = 1 ou 𝑥 = −1.
Ce qui donne 𝑦 =11= 1 ou bien 𝑦 =−11 = −1.
Donc (1,1) et (−1, −1) sont les deux seuls points critiques de 𝑓.
3) Déterminer leur nature
det(𝐻𝑓(1,1)) = | 6−6 −6−6| = −36 − 36 < 0 donc 𝑓 admet un point col en (1,1).
det(𝐻𝑓(−1, −1)) = |−6 66 6| = −36 − 36 < 0 donc 𝑓 admet un point col en (−1, −1).
Exercice 2 : (6 points)
Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’une primitive ∫ (𝑥1 3+ 5𝑥2− 1 −1 )𝑑𝑥 =[𝑥4 4 + 5𝑥3 3 − 𝑥]−1 1 =1 4+ 5 3− 1 − ( 1 4− 5 3+ 1) = 10 3 − 2 = 4 3 ∫ (𝑒2 −3𝑥− 5𝑥)𝑑𝑥 0 =[ 1 −3𝑒−3𝑥− 5𝑥2 2 ]0 2 = 1 −3𝑒−6− 5 2× 4 − ( 1 −3− 0) = 1 −3𝑒−6− 29 3 ∫ 𝑒3𝑥− 1 𝑥2𝑑𝑥 −1 −∞ =[1 3𝑒3𝑥+ 1 𝑥]−∞ −1 = 1 3𝑒−3− 1 − (0 + 0) = 1 3𝑒−3− 1 Exercice 3 : (4 points)
1) Trouver 𝑎 et 𝑏 tel que
2 (3 + 𝑥)(2𝑥 + 2)= 𝑎 3 + 𝑥+ 𝑏 2𝑥 + 2
𝑎 = 2 −6 + 2= 2 −4= − 1 2 𝑏 = 2 3 − 1= 2 2 2) En déduire ∫ 2 (3 + 𝑥)(2𝑥 + 2)𝑑𝑥 1 0 =∫ −1 2× 1 3 + 𝑥+ 1 2× 2 2𝑥 + 2𝑑𝑥 1 0 = [−1 2ln(3 + 𝑥) + 1 2ln(2𝑥 + 2)]0 1 = −1 2ln(4) + 1 2ln(4) − (− 1 2ln(3) + 1 2ln(2)) = 1 2ln ( 3 2)
