Correction examen L2 aes moufia decembre 2018

Exercice 1 : (4 + 3 + 2 points)

1) Donner le gradient et la matrice Hessienne de la fonction

𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥3_{− 3𝑥𝑦}2_{+ 6𝑦 + 7}

∇𝑓(𝑥, 𝑦) = [3𝑥_{−6𝑥𝑦 + 6}2− 3𝑦2] H𝑓(𝑥, 𝑦) = [_{−6𝑦 −6𝑥]} 6𝑥 −6𝑦

2) Prouver que (1 ; 1) et (−1 ; −1) sont les seuls points critiques de 𝑓

∇𝑓(𝑥, 𝑦) = [0₀] ⇔ {3𝑥_{−6𝑥𝑦 + 6 = 0 (2)}2− 3𝑦2= 0 (1) L’équation (2) implique 𝑦 =1_𝑥

En substituant dans l’équation (1), on obtient 3𝑥2₋ 3

𝑥2 = 0

soit

𝑥4 _{= 1}

donc 𝑥 = 1 ou 𝑥 = −1.

Ce qui donne 𝑦 =1₁= 1 ou bien 𝑦 =₋₁1 = −1.

Donc (1,1) et (−1, −1) sont les deux seuls points critiques de 𝑓.

3) Déterminer leur nature

det(𝐻𝑓(1,1)) = | 6_{−6 −6}−6| = −36 − 36 < 0 donc 𝑓 admet un point col en (1,1).

det(𝐻𝑓(−1, −1)) = |−6 6_{6 6}| = −36 − 36 < 0 donc 𝑓 admet un point col en (−1, −1).

Exercice 2 : (6 points)

Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’une primitive ∫ (𝑥1 3_{+ 5𝑥}2_{− 1} −1 )𝑑𝑥 =[𝑥4 4 + 5𝑥3 3 − 𝑥]₋₁ 1 =1 4+ 5 3− 1 − ( 1 4− 5 3+ 1) = 10 3 − 2 = 4 3 ∫ (𝑒2 −3𝑥_{− 5𝑥)𝑑𝑥} 0 =[ 1 −3𝑒−3𝑥− 5𝑥2 2 ]₀ 2 = 1 −3𝑒−6− 5 2× 4 − ( 1 −3− 0) = 1 −3𝑒−6− 29 3 ∫ 𝑒3𝑥₋ 1 𝑥2𝑑𝑥 −1 −∞ =[1 3𝑒3𝑥+ 1 𝑥]_−∞ −1 = 1 3𝑒−3− 1 − (0 + 0) = 1 3𝑒−3− 1 Exercice 3 : (4 points)

1) Trouver 𝑎 et 𝑏 tel que

2 (3 + 𝑥)(2𝑥 + 2)= 𝑎 3 + 𝑥+ 𝑏 2𝑥 + 2

𝑎 = 2 −6 + 2= 2 −4= − 1 2 𝑏 = 2 3 − 1= 2 2 2) En déduire ∫ 2 (3 + 𝑥)(2𝑥 + 2)𝑑𝑥 1 0 =∫ −1 2× 1 3 + 𝑥+ 1 2× 2 2𝑥 + 2𝑑𝑥 1 0 = [−1 2ln(3 + 𝑥) + 1 2ln(2𝑥 + 2)]₀ 1 = −1 2ln(4) + 1 2ln(4) − (− 1 2ln(3) + 1 2ln(2)) = 1 2ln ( 3 2)