correction de lexamen L2 aes moufia decembre 2015

Correction de l’examen du Vendredi 11 décembre 2015

Exercice 1 : (3 + 3 + 3 points)

1) Donner le gradient et la matrice Hessienne de la fonction

𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥&_{+ 2𝑥})_{𝑦 − 𝑥𝑦 +}1 2𝑦) ∇𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥)+ 4𝑥𝑦 − 𝑦 2𝑥)_{− 𝑥 + 𝑦} 𝐻 𝑓 𝑥, 𝑦 = 6𝑥 + 4𝑦 4𝑥 − 1 4𝑥 − 1 1

2) Prouver que (0 ; 0) (6₇ ;_&)&) et 1 ; −1 sont les seuls points critiques de 𝑓

Les points critiques de 𝑓 annulent sont gradient, ce sont donc les couples (𝑥, 𝑦) solutions du système

3𝑥) _{+ 4𝑥𝑦 − 𝑦 = 0} 2𝑥)_{− 𝑥 + 𝑦 = 0} ⇔ 3𝑥)+ 4𝑥(𝑥 − 2𝑥)) − (𝑥 − 2𝑥)) = 0 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥) ⇔ 3𝑥)+ 4𝑥)_{𝑦 = 𝑥 − 2𝑥}− 8𝑥&− 𝑥 + 2𝑥₎ ) = 0 ⇔ 9𝑥)_{𝑦 = 𝑥 − 2𝑥}− 8𝑥&− 𝑥 = 0₎ ⇔ (9𝑥 − 8𝑥)− 1)𝑥 = 0 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥)

Pour que (9𝑥 − 8𝑥)_{− 1)𝑥 = 0 il faut que 9𝑥 − 8𝑥})_{− 1 = 0 ou 𝑥 = 0}

Pour résoudre 9𝑥 − 8𝑥)_{− 1 = 0, on calcule Δ = 9})_{− 4× −8 × −1 = 81 − 32 = 49}

On trouve deux solutions

𝑥₆ =−9 − 7 −16 = 1 𝑒𝑡 𝑥) = −9 + 7 −16 = 1 8

grâce au fait que 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥)_{, on trouve les 𝑦 correspondants aux 𝑥 trouvés :}

𝑦 = 0 − 2×0) _{= 0} 𝑦 = 1 − 2×1) _{= −1} 𝑦 =1 8− 2× 1 8 ) = 3 32

3) Déterminer leur nature

det 𝐻 𝑓 0,0 = 0 −1

−1 1 = −1 < 0

donc 𝑓 admet en (0,0) un point col (aussi appelé point selle)

det 𝐻 𝑓 1 8, 3 32 = 9 8 − 1 2 −1 2 1 =7 8> 0 or E 7> 0 donc 𝑓 admet en 6 7, &

&) un minimum local

det 𝐻 𝑓 1, −1 = 2 3_{3 1} = −7 < 0

Exercice 2 : (6 points)

Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’une primitive (𝑥F _{+ 3𝑥 − 1} 6 G )𝑑𝑥 = 𝑥I 5 + 3𝑥) 2 − 𝑥 _G 6 = 1 5+ 3 2− 1 − 0 = 0,7 𝑒KL₊ 1 𝑥 + 1 𝑑𝑥 ) 6 = −𝑒KL_{+ ln 𝑥 + 1} 6) = −𝑒K)+ ln 3 − −𝑒K6+ ln 2 = 𝑒K6− 𝑒K)+ ln 3 2 − 1 𝑥) + 𝑒K&L𝑑𝑥 OP 6 = 1 𝑥+ 1 −3𝑒K&L ₆ OP = 0 − 1 + 1 −3𝑒K& = 𝑒K& 3 − 1 Exercice 3 : (4 points)

1) Trouver 𝑎 et 𝑏 tel que

−2 3 + 2𝑥 4𝑥 + 1 = 𝑎 3 + 2𝑥+ 𝑏 4𝑥 + 1 𝑎 = 4 10= 2 5 𝑏 = −4 5 2) En déduire −2 3 + 2𝑥 4𝑥 + 1 𝑑𝑥 6 G = 2 5× 1 3 + 2𝑥− 4 5× 1 4𝑥 + 1𝑑𝑥 6 G = 1 5× 2 3 + 2𝑥− 1 5× 4 4𝑥 + 1𝑑𝑥 6 G = 1 5ln 3 + 2𝑥 − 1 5ln 4𝑥 + 1 G 6 =1 5ln 1 3