Zig et Puce surfent sur le site de Mathspourtous.com qui propose à la manière de Diophante.fr des problèmes mathématiques classés selon cinq catégories :
- arithmétique : 240 problèmes numérotés de 1 à 240, - algèbre : 200 problèmes numérotés de 1 à 200, - géométrie : 220 problèmes numérotés de 1 à 220, - combinatoire : 30 problèmes numérotés de 1 à 30, - logique : 20 problèmes numérotés de 1 à 20.
Zig choisit au hasard une catégorie puis à l’intérieur de cette catégorie choisit au hasard un problème.
De son côté Puce indépendamment de Zig fait de même.
Zig est amené à résoudre un problème qui a le n°7 et Puce un problème qui a le n°77.
Soient p la probabilité conditionnelle pour que l’un et l’autre aient choisi deux catégories distinctes et m/n la fraction irréductible la plus proche possible de p avec m et n entiers < 99.
Calculer 100m + n.
Les probabilités que Zig tire le problème n°7, en arithmétique, algèbre, géométrie, combinatoire ou logique sont respectivement : 1/1200, 1/1000, 1/1100, 1/150, et 1/100 ; en les réduisant au même dénominateur 66000, les numérateurs de ces fractions sont respectivement 55, 66, 60, 440 et 660, donc leur somme, c’est à dire la probabilité pour Zig de tirer un problème n°7 est 1281/66000.
De même les probabilités pour Puce de tirer le problème n°77 exprimées en fractions de 66000 sont 55 en arithmétique, 66 en algèbre, 60 en géométrie et 0 en
combinatoire et logique, soit une probabilité de tirer un problème 77 de 181/66000.
Enfin la probabilité que Zig et Puce aient tiré les problèmes 7 et 77 en arithmétique est (55/66000)2, en algèbre (66/66000)2 et en géométrie (60/66000)2 : la probabilité qu’ils aient deux problèmes de la même matière est donc, selon le théorème de Bayes : 1-p=(552+662+602)/(1281*181)=10981/231861.
Or 231861=21*10981+1260 ; 231861/10981=21(1+1/(230601/1260) : la partie entière de 230601/1260 est 183, donc il n’existe pas de fraction plus proche de 1-p que 1/21, avec un dénominateur inférieur à 100.
La meilleure approximation de p est donc 20/21 =m/n donc 100m+n=2021.
