Caractérisation du rayonnement acoustique d'un rail à l'aide d'un réseau de microphones

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l’aide d’un réseau de microphones

Baldrik Faure

To cite this version:

Baldrik Faure. Caractérisation du rayonnement acoustique d’un rail à l’aide d’un réseau de micro-

phones. Traitement du signal et de l’image [eess.SP]. Université de Grenoble, 2011. Français. �NNT :

2011GRENT087�. �tel-00721959�

THÈSE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE

Spécialité : Signal, Image, Parole, Télécoms

Arrêté ministériel : 7 août 2006

Présentée par

Baldrik FAURE

Thèse dirigée par Christine SERVIÈRE,

co-encadrée par Olivier CHIELLO et Marie-Agnès PALLAS,

préparée au sein des Laboratoires

Laboratoire Transports et Environnement de l’IFSTTAR et Grenoble Images Parole Signal Automatique (GIPSA-Lab),

dans l'école doctorale

Électronique Électrotechnique Automatique et Traitement du Signal

Caractérisation du rayonnement acoustique d'un rail à l'aide d'un réseau de microphones

Thèse soutenue publiquement le 22 septembre 2011 devant le jury composé de :

M. Jean-Louis LACOUME

Professeur émérite à Grenoble INP, Président du jury

M. Antoine CHAIGNE

Professeur à l’École Nationale Supérieure de Techniques Avancées, Rapporteur

M. Jean-Claude PASCAL

Professeur émérite à l’Université du Maine, Rapporteur

M. David THOMPSON

Professeur à l’Université de Southampton, Examinateur

M

Christine SERVIÈRE

Chargée de recherche HDR à Grenoble INP, Directrice de thèse, Examinatrice

M. Olivier CHIELLO

Chargé de recherche à l’IFSTTAR, Co-encadrant, Examinateur

M

Marie-Agnès PALLAS

Chargée de recherche à l’IFSTTAR, Co-encadrante, Invitée

M. Franck POISSON

Le secteur des transports ferroviaires en France est marqu´ e par un dynamisme li´ e no- tamment ` a l’essor du r´ eseau ` a grande vitesse et ` a la r´ eimplantation du tramway dans de nombreuses agglom´ erations. Dans ce contexte, la r´ eduction des nuisances sonores apparaˆıt comme un enjeu majeur pour son d´ eveloppement. Afin d’agir efficacement ` a la source, il est indispensable d’identifier et d’´ etudier pr´ ecis´ ement les sources responsables de ces nuisances au passage des v´ ehicules. Parmi les approches possibles, les antennes micropho- niques et les traitements associ´ es sont particuli` erement adapt´ es ` a la caract´ erisation des sources ponctuelles mobiles, omnidirectionnelles et d´ ecorr´ el´ ees.

Pour les vitesses inf´ erieures ` a 300 km/h, le bruit de roulement constitue la source principale du bruit ferroviaire ; il r´ esulte du rayonnement acoustique des ´ el´ ements tels que les roues, le rail et les traverses. Le rail, dont la contribution au bruit de roulement est pr´ epond´ erante aux moyennes fr´ equences (entre 500 Hz et 1000 Hz environ), est une source

´ etendue et coh´ erente pour laquelle les principes classiques de traitement d’antenne ne sont pas adapt´ es.

La m´ ethode de caract´ erisation propos´ ee dans cette th` ese est une m´ ethode inverse d’op- timisation param´ etrique utilisant les signaux acoustiques issus d’une antenne micropho- nique. Les param` etres inconnus d’un mod` ele vibro-acoustique sont estim´ es par minimisa- tion d’un crit` ere des moindres carr´ es sur les matrices spectrales mesur´ ee et mod´ elis´ ee au niveau de l’antenne. Dans le mod` ele vibro-acoustique, le rail est assimil´ e ` a un monopˆ ole cylindrique dont la distribution longitudinale d’amplitude est li´ ee ` a celle des vitesses vibra- toires. Pour le calcul de ces vitesses, les diff´ erents mod` eles propos´ es mettent en ´ evidence des ondes vibratoires se propageant dans le rail de part et d’autre de chaque excitation. Cha- cune de ces ondes est caract´ eris´ ee par une amplitude au niveau de l’excitation, un nombre d’onde structural r´ eel et une att´ enuation. Ces param` etres sont estim´ es par minimisation du crit` ere, puis utilis´ es pour reconstruire le champ acoustique.

Dans un premier temps, des simulations sont r´ ealis´ ees pour juger des performances de la m´ ethode propos´ ee, dans le cas d’excitations ponctuelles verticales. En particulier, sa robustesse est test´ ee en pr´ esence de bruit ou d’incertitudes sur les param` etres sup- pos´ es connus du mod` ele. Les effets de l’utilisation de mod` eles d´ egrad´ es sont ´ egalement

´ etudi´ es. Concernant l’estimation des amplitudes, les r´ esultats ont montr´ e que la m´ ethode est particuli` erement robuste et efficace pour les excitations les plus proches de l’antenne.

En revanche, pour l’estimation des autres param` etres, les performances sont sup´ erieures pour les positions d’antenne excentr´ ees. De mani` ere g´ en´ erale, le nombre d’onde est cor- rectement estim´ e sur l’ensemble des fr´ equences ´ etudi´ ees. Dans les cas ` a faible att´ enuation, un traitement classique par formation de voies en ondes planes suffit. En ce qui concerne l’estimation de l’att´ enuation, la faible sensibilit´ e du crit` ere limite l’efficacit´ e de la m´ ethode propos´ ee.

Enfin, certains r´ esultats obtenus ` a partir des simulations ont ´ et´ e v´ erifi´ es lors de me-

sures in situ. L’excitation d’un rail exp´ erimental par un marteau de chocs a tout d’abord

permis de valider le mod` ele vibratoire pour la flexion verticale. Pour tester la m´ ethode

d’optimisation param´ etrique, le rail a ´ egalement ´ et´ e excit´ e verticalement ` a l’aide d’un pot

vibrant. Les principaux r´ esultats des simulations ont ´ et´ e retrouv´ es, et des comportements

particuliers relatifs ` a la pr´ esence de plusieurs ondes dans le rail ont ´ et´ e observ´ es, ouvrant des perspectives de g´ en´ eralisation du mod` ele vibratoire utilis´ e.

Mots-cl´ es : Transport ferroviaire, bruit de roulement, antenne microphonique, traitement

d’antenne, formation de voies, rail, optimisation, crit` ere des moindres carr´ es.

In France, railway transport has been boosted by the expansion of the high-speed rail service and the resurgent implantation of tram networks in many city centers. In this context, the reduction of noise pollution becomes a crucial issue for its development. In order to directly act on the source area, it is necessary to precisely identify and study the sources responsible for this nuisance at train pass-by. Among all the potential approaches, microphone arrays and related signal processing techniques are particularly adapted to the characterization of omnidirectional and uncorrelated moving point sources.

For speeds up to 300 km/h, rolling noise is the main railway noise source. It arises from the acoustic radiation of various elements such as wheels, rail or sleepers. The rail, which mainly contributes to rolling noise at mid-frequencies (from 500 Hz to 1000 Hz approxi- mately), is an extended coherent source for which classical array processing methods are inappropriate.

The characterization method proposed in this thesis is an inverse parametric opti- mization method that uses the acoustical signals measured by a microphone array. The unknown parameters of a vibro-acoustical model are estimated through the minimization of a least square criterion applied to the entries of the measured and modelled spectral matrices. In this vibro-acoustical model, the rail is considered as a cylindrical monopole whose lengthwise amplitude distribution is obtained from the vibratory velocity one. The different models proposed to obtain this velocity highlight the propagation of vibration waves towards both sides of every forcing point. Each wave is characterized by an ampli- tude at the forcing point, a real structural wavenumber and a decay rate. These parameters are estimated by the minimization of the least square criterion, and are then used in the vibro-acoustical model to rebuild the acoustical field radiated by the rail.

First, simulations are performed in order to appraise the performances of the proposed method, in the case of vertical point excitations. In particular, its robustness to additive noise and to uncertainties in the model parameters that are supposed to be known is tested. The effect of using simplified models is also investigated. Results show that the method is efficient and robust for the amplitude estimation of the nearest contacts to the array. On the other hand, the estimation of the other parameters is improved when the array is shifted away from the contact points. The wavenumber is generally well estimated over the entire frequency range, and when the decay rate is low, a single beamforming technique may be sufficient. Concerning the decay rate estimation, the efficiency of the method is limited by the low sensitivity of the criterion.

At last, measurements are performed in order to verify some results obtained from the simulations. The vibratory model is first validated for the vertical flexural waves trough the use of an impact hammer. Then, the parametric optimization method is tested by the vertical excitation of the rail with a modal shaker. The main simulation results are found, and some particular behavior due to other waves existing in the rail can be obser- ved, opening the perspective of a generalized method including more complex vibratory modelings.

Keywords : Railway transport, rolling noise, microphone array, array processing, beam-

forming, rail, optimization, least square criterion.

« Une th` ese ? Mais quand est-ce que tu vas r´ eellement te mettre ` a travailler ? » Voici l’image du travail de th` ese qu’ont eu parents, amis, entourage, et plus g´ en´ erale- ment celles et ceux qui n’ont pas eu la chance de connaˆıtre une telle aventure, scientifique et humaine. Pour avoir largement contribu´ e ` a la r´ eussite de ce projet, je souhaite tout d’abord et tout particuli` erement remercier les soutiens de tous les jours, mes encadrants au sein du Laboratoire Transports et Environnement de l’IFSTTAR, Marie-Agn` es PAL- LAS et Olivier CHIELLO. Non sans difficult´ e j’imagine, il ont su canaliser mon ´ energie ` a bon escient ; quand il le fallait, ils m’ont ´ epaul´ e, orient´ e, sugg´ er´ e et parfois mˆ eme empˆ e- ch´ e ! Ils ont su maˆıtriser la bˆ ete et lui inculquer un sens du devoir scientifique, un sens du plaisir par la rigueur. En dehors de l’ar` ene, nous avons pu partager d’excellentes tranches de vies autour de nos passions communes, comme la musique ou les campagnes de mesures hivernales pour ne citer qu’elles.

A la baguette, je souhaite ´ ` egalement remercier chaleureusement Christine SERVI ` ERE, ma directrice de th` ese du D´ epartement Images et Signal du Gipsa-Lab de Grenoble. Chris- tine est en effet responsable (mais pas coupable) de mon parcours dans la recherche, depuis mon projet de fin d’´ etudes qu’elle a encadr´ e ` a l’ENSIEG, jusqu’` a cette th` ese qu’elle a en- suite port´ ee ` a ma connaissance, puis dirig´ ee. Toujours en phase, nous avons pu travailler ensemble de mani` ere efficace, simple et agr´ eable.

Je souhaite pareillement remercier le prestigieux jury ayant accept´ e d’examiner mes travaux ; tout d’abord Jean-Louis LACOUME en tant que pr´ esident, ainsi que Jean- Claude PASCAL et Antoine CHAIGNE en tant que rapporteurs. Enfin, je remercie David THOMPSON et Franck POISSON pour leurs avis d’experts dans le domaine du bruit ferroviaire.

Au cours de ces trois ann´ ees et quelques mois, j’ai eu la chance de rencontrer de nom- breuses personnes avec lesquels les ´ echanges scientifiques et humains ont ´ et´ e aussi vari´ es qu’appr´ eciables. En premier lieu mes coll` egues de l’´ equipe Acoustique Physique du LTE : Jean-Fran¸ cois, le grand sage de l’´ equipe qui aujourd’hui envoie les balles de golf ` a la vitesse du son, Jo¨ el, le nouveau sage, toujours pris dans le traffic, Philippe, l’´ eternel doctorant gonfl´ e ` a bloc, et Jean-Michel, Mac Guyver avec un st´ ethoscope, parlant le PULSE comme personne, et r´ esistant aux temp´ eratures les plus extrˆ emes, malheureusement pas comme notre pot vibrant ! Une pens´ ee toute sp´ eciale ` a Roger, mon co-bureau, qui a partag´ e/subi mes humeurs en montagnes russes. Un vert et un grenat sur la mˆ eme moquette, le terrain d’entente ´ etait tout trouv´ e ! Tels de vrais petits gones, tous les jeux de balles y sont pas- s´ es : le jorky, le foot ` a Parilly, et surtout le lanc´ e/´ evitage d’objets divers et vari´ es ` a chaque tentative de cr´ eation de tableau sous L

TEX. D’ailleurs, il faudra bien que tu t’y mettes un jour ! J’ajoute un mot pour les autres, membres de LTE ou d’ailleurs, qui ont rendu unique chaque journ´ ee pass´ ee ` a l’INRETS, entre autres tournois de volleyball, entre-midis pingpong, pots de d´ epart et Cie.

Je remonte ` a pr´ esent le temps pour revenir au pied des montagnes grenobloises, car

c’est ici, entre flocons et cours de traitement du signal, que tout ` a commenc´ e. Avec les

Loupf F ck ´ evidemment, les anciennes g´ en´ erations du cercle, les nouvelles, les NRJ, les SiSy,

bref, tous ceux qu’on croisait plus volontiers au bar ` a TNT de LE SONO MUSIC qu’aux TPs du vendredi matin... La bise aux locataires du 7 Avenue G´ en´ eral Champon : Virginie titulaire du brevet virginiade cat´ egorie plat ` a tartes, Cyril le responsable vinaigrette ` a l’huile, et Alex pour qui faire une piperade n’a jamais ´ et´ e la mer ` a boire. Toutes nos excuses ` a la famille Dominguez. Franche accolade aux locataires du 82 Cours Berriat, avec en prem’s Julien a.k.a. fils Bonnel, ´ egalement connu sous son blaz de gangster gentleman, Juju-Bobo. Compagnon de tout trip, du dinosaure Lego

aux concerts de m´ etal qui tache, en passant les Pas et les courses de Karting dans le salon. D’ailleurs, hein ? ! Qui fournit le r´ etroprojecteur mˆ eme le dimanche matin ? C’est Gaspar ´ evidemment ! Avec lui les journ´ ees, les soir´ ees, les nuits mˆ eme sont meilleures : peau gomm´ ee aux soins Roger crackvaill` es, cheveux liss´ es kloran´ es, oranges se pressant toutes seules le matin... Le luxe version Monop’.

D` es mon d´ epart, les goules ont envahi l’appartement ; c’´ etait sans compter sur Bertrand qui a ´ elimin´ e ces bestioles ` a coup de souris, et de billes sur la moquette. ´ Evidemment, et mˆ eme s’il est ` a pr´ esent bien loin, il y avait un d´ enominateur commun ` a ces deux num´ eros d’appartement : Raph a.k.a. Rafioul ou Rafal pour les intimes de la premi` ere ligne. Sans le savoir, Raph a rendu service ` a tout un tas de personnes ; il m’a fait appr´ ecier d’autres musiques que le m´ etal ! Sans lui, je n’aurais jamais su que le Hip Hop K1RI, ¸ ca passait C.R.E.A.M. ! Sans lui, pas de Rapper’s Delight dans mon ghetto blaster, pas d’Atmosphere dans la R19 sans chaˆınes, partie rider les montagnes de poudreuse. Pas une prise de tˆ ete en cinq ans, que des fous rires et des ´ epop´ ees m´ emorables. J’ajouterais ´ egalement quelques mots pour ceux qui ont eu la lourde tˆ ache d’encadrer tous ces ´ el´ ements plus qu’instables, les professeurs de la sp´ ecialit´ e ATIS. Je tairais leur noms, ils ont encore une belle carri` ere devant eux... En tout cas, ils ont ´ etrangement donn´ e goˆ ut ` a la recherche ` a beaucoup d’entre nous ! Nous dirons simplement que l’ann´ ee 2006/2007 ´ etait un tr` es bon mill´ esime !

Que notre pote Antoine, notre maminou veille sur nous autres IEGays, comme il aimait tant nous appeler.

De la noix ` a la praline, des montagnes aux collines, il n’y eut qu’un pas que j’ai franchi lors de l’´ et´ e 2008. ` A pied, ` a cheval ou en velo’v, on applaudi les guignols. Avec Ludo et Xav, l’alchimie a tout de suite pris. Pour faire de bons polyfr` eres d’armes, le dosage devait ˆ

etre, et a toujours ´ et´ e parfait : un savant m´ elange de tubes des muscl´ es, d’essais du CSBJ, de buvette gradu´ ee, et surtout, un agitateur, pour que ¸ ca mousse sur quelques notes de blues. Dans la troupe, pas de langue de bois mais deux Nicos. Mon premier est un roi du p´ eno, un fier guerrier berjallien qui d´ ezingue les demis emmˆ el´ es, aussi bien coude lev´ e en terres Irlandaises que tˆ ete baiss´ ee sur un terrain vert. Mon second est un prince de la d´ elicatesse au doigt´ e in´ egal´ e. Bourreau des cœurs et des oreilles avec seulement six cordes

`

a son arc, il est le seul ` a pouvoir poser cacartes sur table en toute circonstance. Aussi et surtout, il y a Marjolaine, la plus belle d´ ecouverte que j’ai faite au cours de ma th` ese.

Quelques mots, pas plus, car tout ceci, elle le sait d´ ej` a, et que de le lui dire encore une fois, alors ¸ca mon coco, elle ne le supporterait pas ! Peut ˆ etre est-ce simplement parce que je ne sais pas vraiment qui remercier, pour ce que je lui dois et ce qu’elle m’a apport´ e.

Pour terminer cette escapade Lyonnaise par une touche musicale (sic), je l` eve ma mousse-tache ` a tous les membres de REMIND. ´ Ecrire cet album en mˆ eme temps que ma th` ese ´ etait une aventure p´ erilleuse, men´ ee ` a bien ` a la force de l’Impact 2-16, tant dans la joie que dans la torture. N’est-ce pas l` a l’unique recette pour faire un bon disque de Trash Metal ? En tout cas je ne retiens d´ ej` a plus que les bons moments que le Maˆıtre Du Je nous a fait passer ensemble.

Passons ` a pr´ esent par la Lorraine et sa pr´ efecture Metz, capitale du royaume de la

Klauchy Krou. Plus qu’un gang, plus qu’un posse, nous sommes une bande ` a part, une

famille de joyeux trublions qui avons d´ epass´ e de loin les quatre cents coups. De Fabert

au coin Kayak, de la rue des Parmentiers au city stade, d´ ej` a plus d’une dizaine d’ann´ ees se sont ´ ecoul´ ees et bien plus encore nous attendent. La r´ eussite de cette th` ese, je vous la dois un peu ` a tous. Aussi et surtout, je la dois ` a ma famille. Mˆ eme si vous avez mis un an ` a comprendre que je n’´ etais pas encore en stage, mˆ eme si vous n’avez mesur´ e le travail accompli que lors de la soutenance, mˆ eme si pour vous une antenne se fixe au toit et qu’un train fait toujours autant bruit apr` es ma th` ese, vous m’avez toujours soutenu, aveugl´ ement, sans aucune mesure, et dans tout ce que j’ai pu entreprendre. J’ai de la chance de vous avoir, et j’en suis conscient, alors merci ; sachez tout de mˆ eme que vous n’ˆ etes pas au bout de vos peines !

Enfin, je terminerais par un petit mot pour ma nouvelle famille d’accueil ` a la SNCF.

Mˆ eme si le gros du travail ´ etait accompli avant que je vous rejoigne, vous m’avez tous

encourag´ e dans la mont´ ee du dernier col, ` a coups de piqˆ ures de bonne humeur et de

transfusions de sens de l’humour. Pierre-Emile, Florent, Estelle et Florence, j’aurais fini

ma th` ese bien plus tˆ ot si j’avais su que c’´ etait pour bosser avec vous !

Remerciements 7

Introduction 15

1 Ph´ enom` enes ` a l’origine du bruit rayonn´ e par la voie 19

1.1 G´ en´ eralit´ es sur le bruit de roulement . . . . 20

1.1.1 M´ ecanismes de g´ en´ eration . . . . 20

1.1.2 L’excitation . . . . 20

1.1.3 Comportement vibro-acoustique de la roue . . . . 21

1.1.4 Comportement vibro-acoustique de la voie . . . . 22

1.1.5 Contributions respectives de la roue et de la voie . . . . 22

1.2 Comportement vibratoire du rail . . . . 22

1.2.1 Mod´ elisation des ´ el´ ements de la voie . . . . 23

1.2.2 Le rail sur support continu uniforme . . . . 25

1.2.3 Le rail sur supports p´ eriodiques . . . . 30

1.2.4 Le rail avec d´ eformation de section . . . . 34

1.2.5 Conclusion . . . . 35

1.3 Rayonnement acoustique du rail . . . . 35

1.3.1 Les diff´ erents mod` eles . . . . 36

1.3.2 Le cas simplifi´ e du cylindre vibrant . . . . 36

1.3.3 Cas simplifi´ es de rayonnement isotrope dans le plan (~ x, ~ y) . . . . 40

1.3.4 Etude num´ ´ erique . . . . 41

1.4 Conclusion . . . . 44

2 La caract´ erisation du rayonnement acoustique de la voie dans la litt´ era- ture 47 2.1 M´ ethodes de s´ eparation acoustiques et vibratoires des contributions roue/rail 47 2.1.1 Approche acoustique : m´ ethode du champ acoustique r´ everb´ erant . . 47

2.1.2 Approches acoustiques et vibratoires . . . . 48

2.2 Utilisation d’antennes microphoniques . . . . 50

2.2.1 Principe de la formation de voies . . . . 50

2.2.2 Approche INRETS pour une source lin´ eique . . . . 57

2.2.3 Analyse par la dynamique des cartographies . . . . 58

2.2.4 Comportement d’une antenne lin´ eaire vis-` a-vis du rail . . . . 59

2.3 Conclusion . . . . 63

3 Approche signal des m´ ethodes multi-capteurs 65 3.1 Vecteur source . . . . 66

3.2 Maximum de vraisemblance . . . . 67

3.2.1 Maximum de vraisemblance en pr´ esence d’une source d´ eterministe . 68 3.2.2 Maximum de vraisemblance en pr´ esence d’une source al´ eatoire . . . 70

3.3 Crit` ere des moindres carr´ es . . . . 71

3.3.1 Ecriture du crit` ´ ere . . . . 71

3.3.2 Cas d’une source al´ eatoire de param` etre ζ connu . . . . 71

3.3.3 Cas d’une source al´ eatoire de param` etre ζ inconnu . . . . 72

3.3.4 Cas de N

sources al´ eatoires ind´ ependantes de param` etres ζ

connus 73 3.3.5 Cas de N

sources al´ eatoires ind´ ependantes de param` etres ζ

inconnus 75 3.3.6 Positivit´ e des variances dans le cas de plusieurs sources . . . . 75

3.3.7 Variance du bruit . . . . 75

3.4 Conclusion . . . . 76

4 D´ eveloppement de m´ ethodes adapt´ ees au rail : ´ evaluation des perfor- mances par simulations 77 4.1 Formation de voies en pr´ esence d’un champ acoustique cylindrique . . . . . 78

4.1.1 Espace transform´ e des nombres d’onde structuraux . . . . 78

4.1.2 Estimation du nombre d’onde structural ` a partir de la formation de voies . . . . 79

4.2 L’estimateur des moindres carr´ es appliqu´ e au cas du rail . . . . 83

4.2.1 Construction du vecteur source dans le cas du rail . . . . 83

4.2.2 Crit` eres de repr´ esentativit´ e . . . . 86

4.2.3 Autres caract´ eristiques des simulations . . . . 88

4.3 Estimation de l’amplitude dans le cas d’un seul contact . . . . 88

4.3.1 Influence du bruit de mesure . . . . 89

4.3.2 Incertitudes sur les param` etres suppos´ es connus . . . . 91

4.3.3 Mod` ele source d´ egrad´ e par rapport au mod` ele r´ eel . . . 101

4.4 Estimation des amplitudes dans le cas de contacts multiples . . . 115

4.4.1 Position du probl` eme . . . 115

4.4.2 Erreur sur l’att´ enuation . . . 116

4.4.3 Erreur sur le nombre d’onde . . . 118

4.4.4 Plusieurs contacts - Synth` ese . . . 120

4.5 Estimation du nombre d’onde complexe dans le cas d’un seul contact . . . . 120

4.5.1 Repr´ esentation des fonctions ` a maximiser ou ` a minimiser . . . 121

4.5.2 Mod` ele r´ eel et mod` ele source identiques . . . 122

4.5.3 D´ egradations du mod` ele source . . . 127

4.6 Estimation du nombre d’onde complexe dans le cas de contacts multiples . 133 4.6.1 Position du probl` eme . . . 133

4.6.2 R´ esultats . . . 134

4.6.3 Plusieurs contacts - synth` ese . . . 136

4.7 Conclusion . . . 138

5 Exp´ erimentations vibro-acoustiques 139 5.1 Le site exp´ erimental . . . 139

5.2 Mesures vibratoires - Excitation du rail ` a l’aide d’un marteau de chocs . . . 140

5.2.1 Description des mesures . . . 140

5.2.2 Flexion verticale - R´ esultats . . . 142

5.2.3 Flexion lat´ erale - R´ esultats . . . 144

5.2.4 Validation du mod` ele vibratoire . . . 146

5.3 Mesures acoustiques - Excitation du rail ` a l’aide d’un pot vibrant . . . 147

5.3.1 Description des mesures . . . 148

5.3.2 Formation de voies . . . 149

5.3.3 Estimation du nombre d’onde complexe par optimisation param´ etrique154

5.3.4 Synth` ese concernant l’identification du nombre d’onde complexe . . 159

6 Conclusion 163

6.1 Synth` ese . . . 163

6.2 Limitations, perspectives . . . 165

Bibliographie 167 A Annexe - Les diff´ erents types de pose de voie 173 B Annexe - Le rail sur support continu 177 B.1 Poutre mince d’Euler . . . 177

B.1.1 Constantes de propagation . . . 177

B.1.2 Fonction de Green . . . 177

B.2 Poutre ´ epaisse de Timoshenko . . . 178

B.2.1 Constantes de propagation . . . 179

B.2.2 Fonction de Green . . . 179

B.3 Comparaison des diff´ erentes constantes de propagation . . . 180

C Annexe - Le rail sur supports p´ eriodiques 181 C.1 Constantes de propagation . . . 181

C.2 Fonction de Green . . . 182

C.3 Poutre d’Euler . . . 183

D Annexe - Probl´ ematique des sources mobiles 185 D.1 Cin´ ematique . . . 185

D.2 Champ de pression d’une source en mouvement . . . 186

E Annexe - Maximum de vraisemblance en pr´ esence d’une source al´ eatoire187 F Annexe - Approximation de la matrice spectrale mesur´ ee dans le sous- espace engendr´ e par les vecteurs source 189 G Annexe - Indicateurs de repr´ esentativit´ e du champ acoustique 191 G.1 Directivit´ e du champ acoustique sur une ligne parall` ele au rail . . . 191

G.1.1 Intensit´ e acoustique . . . 191

G.1.2 Vitesse acoustique . . . 191

G.1.3 Directivit´ e moyenne . . . 192

G.2 Puissance totale rayonn´ ee . . . 193

G.3 Pression quadratique moyenne sur une ligne parall` ele au rail . . . 194

H Annexe - Liste des symboles 195

Depuis l’invention de la roue vers −3500, le secteur des transports, des hommes ou des marchandises, n’a cess´ e au cours de l’histoire de s’imposer comme un acteur essentiel de la vie ´ economique et comme un cr´ eateur de liens sociaux. Une seconde r´ evolution fut le d´ eveloppement au xvii

si` ecle de la machine ` a vapeur qui fit entrer les transports dans une nouvelle ` ere. ` A l’heure de la r´ evolution industrielle, la locomotive ` a vapeur a fait des chemins de fers un rouage fondamental de l’industrialisation. D` es lors, les transports se sont d´ evelopp´ es ` a une vitesse fulgurante, ils se sont rapidement perfectionn´ es, diversifi´ es, organis´ es et int´ egr´ es dans la soci´ et´ e. Depuis plusieurs d´ ecennies, le secteur b´ en´ eficie ´ ega- lement d’avanc´ ees consid´ erables au niveau des syst` emes de traitement des informations, d´ ecuplant ainsi son potentiel ´ evolutif.

Aujourd’hui, l’av` enement de l’automobile et de l’aviation ainsi que la demande crois- sante de mobilit´ e des usagers, imposent aux transports de s’int´ egrer dans une vision globale de l’am´ enagement du territoire, r´ epondant aux contraintes d’intermodalit´ e, de comp´ etiti- vit´ e et de durabilit´ e, tout en r´ eduisant leurs impacts sur l’environnement. Les transports ferroviaires apportent une solution judicieuse ` a cette probl´ ematique notamment grˆ ace ` a l’essor du r´ eseau ` a grande vitesse et ` a la r´ eimplantation du tramway dans de nombreuses agglom´ erations. En cons´ equence, de nouvelles sources de gˆ ene comme le bruit sont appa- rues chez les riverains [1, 2]. Ainsi, la r´ eduction des nuisances sonores apparaˆıt d´ esormais comme un enjeu majeur pour le d´ eveloppement des transports ferroviaires. Afin d’agir efficacement ` a la source et ´ eviter les coˆ uteuses solutions palliatives de type « ´ ecran anti- bruit », il est indispensable d’identifier et d’´ etudier pr´ ecis´ ement les sources responsables de ces nuisances, aussi bien sur le v´ ehicule que sur l’infrastructure.

Parmi les diverses approches possibles, les antennes microphoniques permettent une caract´ erisation de ces sources en mati` ere de localisation spatiale, de niveau de bruit et de contenu fr´ equentiel. Cette technique est utilis´ ee depuis plusieurs ann´ ees de fa¸ con op´ era- tionnelle par des organismes de recherche ou des bureaux d’´ etudes sp´ ecialis´ es [3–6]. Les traitements associ´ es d´ erivent g´ en´ eralement du principe de formation de voies, adapt´ es d’une part au contexte d’un diagnostic en champ proche (focalisation), et d’autre part au caract` ere instationnaire li´ e au mouvement du v´ ehicule (suivi des sources et d´ edoppl´ e- risation). Ces m´ ethodes sont, dans leur principe, optimales pour des sources ponctuelles, omnidirectionnelles et d´ ecorr´ el´ ees. En premi` ere approximation, les roues et les ´ equipements bruyants compacts comme les moteurs ou les syst` emes de ventilation peuvent v´ erifier ces conditions.

Cependant, pour les vitesses allant au moins jusqu’` a 300 km/h, la source principale du bruit ´ emis au passage d’un v´ ehicule ferroviaire est le bruit de roulement [5]. G´ en´ er´ e au niveau du contact entre les roues et le rail, il r´ esulte du rayonnement des structures mises en vibration, que ce soit sur le mat´ eriel roulant ou sur l’infrastructure [7,8]. Le comportement vibroacoustique du rail, en particulier la propagation de vibrations sur une tr` es grande distance dans certaines gammes de fr´ equences, conduit ` a le consid´ erer comme une source

´ etendue ayant une grande longueur de coh´ erence. Le principe du traitement d’antenne tel

qu’il est utilis´ e actuellement est donc mal adapt´ e ` a ce type de source [9]. Or, pour les

diff´ erents acteurs des transports ferroviaires (gestionnaires des infrastructures, exploitants

et fabricants de mat´ eriels roulants) il est indispensable de pouvoir estimer correctement les contributions respectives de la voie et des roues au bruit de roulement, afin de mettre en place les mesures correctives adapt´ ees. L’enjeu de cette s´ eparation est d’autant plus important depuis la mise en place de l’interop´ erabilit´ e ferroviaire et la r´ epartition des responsabilit´ es entre ces diff´ erents acteurs. Les travaux pr´ esent´ es dans ce document sont consacr´ es ` a la caract´ erisation de la composante du bruit de roulement rayonn´ ee par le rail.

Les traitements d’antenne classiques tels que la formation de voies reposent sur la connaissance pr´ ealable des caract´ eristiques des sources. Pour d´ evelopper une m´ ethode de caract´ erisation adapt´ ee au rail, il est donc n´ ecessaire, dans un premier temps, d’´ etudier de mani` ere d´ etaill´ ee les propri´ et´ es de cette source acoustique particuli` ere. Ainsi, apr` es une br` eve introduction sur les ph´ enom` enes ` a l’origine du bruit de roulement, le premier chapitre r´ esume les r´ esultats principaux concernant le comportement vibroacoustique du rail ` a travers la pr´ esentation de diff´ erents mod` eles propos´ es dans la litt´ erature. Une ´ etude plus d´ etaill´ ee pourra ˆ etre trouv´ ee dans le chapitre 1 du rapport bibliographique [10]. De mani` ere g´ en´ erale, ces mod` eles mettent en ´ evidence la propagation d’ondes vibratoires dans le rail dont les propri´ et´ es sont ´ etudi´ ees en fonction des hypoth` eses du mod` ele, de la fr´ equence et de la nature de la voie (voie b´ eton, voie sur ballast, syst` eme d’attaches p´ eriodique). L’essentiel des r´ esultats pr´ esent´ es concerne la r´ eponse ` a une excitation verticale ponctuelle en basses et moyennes fr´ equences, cas pour lequel l’hypoth` ese de poutre en flexion est appropri´ ee.

Lorsque ces ondes vibratoires sont peu att´ enu´ ees, un mod` ele analytique de source cy- lindrique peut ˆ etre utilis´ e pour approcher le rayonnement acoustique du rail. Ce mod` ele simple conduit ` a un r´ esultat th´ eorique essentiel dans le cadre de nos travaux : les ondes acoustiques sont rayonn´ ees avec une directivit´ e longitudinale marqu´ ee par rapport ` a l’axe du rail. Cet angle de rayonnement d´ epend directement des caract´ eristiques de l’onde vi- bratoire et donc de la fr´ equence. Plus g´ en´ eralement, pour prendre en compte l’att´ enuation des ondes vibratoires, le rail est assimil´ e ` a un ensemble de sources monopolaires coh´ e- rentes, ´ equi-r´ eparties sur son axe, dont l’amplitude complexe est li´ ee ` a la vitesse vibratoire le long du rail. Ce mod` ele permet de montrer l’h´ et´ erog´ en´ eit´ e des propri´ et´ es spatiales et fr´ equentielles du champ acoustique ` a caract´ eriser.

Ensuite, le chapitre 2 propose une revue de diff´ erentes m´ ethodes de caract´ erisation acoustique : les traitements classiques par formation de voies, ainsi que certaines m´ e- thodes sp´ ecifiques au rayonnement du rail. Plusieurs techniques sont ainsi pr´ esent´ ees selon les types de mesures effectu´ ees : utilisation de microphones directifs ou de v´ ehicules de r´ ef´ erence, mesures vibratoires, mesures par antenne microphonique. En rapport avec la probl´ ematique abord´ ee dans cette th` ese ainsi que les r´ esultats du chapitre 1, les limites de ces m´ ethodes sont soulev´ ees, justifiant le d´ eveloppement d’une nouvelle proc´ edure. Une

´

etude plus d´ etaill´ ee pourra ˆ etre trouv´ ee dans les chapitres 2, 3 et 4 du rapport bibliogra- phique [10].

La m´ ethode propos´ ee dans cette th` ese est une m´ ethode d’optimisation param´ etrique

qui repose sur l’utilisation des mod` eles pr´ esent´ es dans le chapitre 1. Le champ acoustique

rayonn´ e par le rail est reconstruit ` a partir de ce mod` ele vibroacoustique (mod` ele source)

dont certains param` etres caract´ eristiques sont estim´ es par minimisation d’un crit` ere des

moindres carr´ es sur les matrices spectrales. Le chapitre 3 propose une approche signal

de cette m´ ethode, en introduisant la notion de vecteur source. Les similitudes entre la

m´ ethode propos´ ee et les m´ ethodes d’estimation classiques en traitement du signal, comme

le maximum de vraisemblance ou les techniques de formation de voies sont d´ etaill´ ees dans

le cas d’une source unique. Le cas de sources multiples d´ ecorr´ el´ ees est ´ egalement ´ etudi´ e

dans l’optique d’une caract´ erisation du champ acoustique r´ esultant de plusieurs excitations

vibratoires sur le rail (contacts roues/rail).

Dans le chapitre 4, la m´ ethode est appliqu´ ee au rail ` a travers l’expression des vecteurs sources, en ne consid´ erant principalement qu’un seul type d’onde (flexion verticale), pour une ou plusieurs excitations fixes. Selon le mod` ele vibroacoustique retenu, ses performances sont ´ etudi´ ees num´ eriquement en explorant ind´ ependamment diff´ erents aspects. Pour les cas o` u le probl` eme d’optimisation est lin´ eaire vis-` a-vis des param` etres inconnus (amplitudes complexes des vecteurs sources), la robustesse de la m´ ethode est ´ evalu´ ee pour les pertur- bations suivantes : pr´ esence de bruit additif sur les mesures, incertitudes existant sur les param` etres ondulatoires suppos´ es connus (att´ enuation, nombre d’onde) et utilisation d’un mod` ele source d´ egrad´ e (p´ eriodicit´ e du support et effet de cisaillement n´ eglig´ es, hypoth` ese de poutre n´ eglig´ ee). Pour les cas o` u le probl` eme d’optimisation n’est pas lin´ eaire vis-` a-vis des param` etres inconnus, les performances de la m´ ethode sont ´ evalu´ ees pour les perturba- tions suivantes : pr´ esence de bruit et utilisation d’un mod` ele source d´ egrad´ e (p´ eriodicit´ e et cisaillement n´ eglig´ es, recherche de plusieurs ondes avec un mod` ele source mono-onde).

Une approche permettant d’identifier le nombre d’onde structural dans le rail ` a partir d’un traitement de formation de voies est ´ egalement propos´ ee en d´ ebut de chapitre.

Enfin, le chapitre 5 est consacr´ e ` a la validation exp´ erimentale du mod` ele vibroacous- tique adopt´ e, ainsi qu’` a celle de la m´ ethode propos´ ee. Les r´ esultats concernent deux types de mesures effectu´ ees sur un rail exp´ erimental. Dans un premier temps, la validation du mod` ele vibroacoustique est assur´ ee par des essais au marteau de chocs. Cette premi` ere phase permet ´ egalement de d´ eterminer les param` etres m´ ecaniques sp´ ecifiques au site ex- p´ erimental. Dans un second temps, le rail est excit´ e par un pot vibrant afin de rechercher les comportements pr´ evus par les simulations. La m´ ethode d’optimisation est appliqu´ ee ` a la caract´ erisation du champ rayonn´ e, et les apports de la m´ ethode sont ´ evalu´ es relativement

`

a la formation de voies en ondes planes.

la voie

Sur un v´ ehicule ferroviaire, il existe de nombreuses sources acoustiques associ´ ees ` a dif- f´ erents ´ el´ ements du v´ ehicule et r´ esultant de ph´ enom` enes physiques multiples. Elles peuvent ˆ etre regroup´ ees en trois classes : bruits d’origine a´ erodynamique, bruits d’origine m´ eca- nique propres au v´ ehicule et bruits de contact roue/rail.

Les bruits d’origine a´ erodynamique sont g´ en´ er´ es lorsque l’´ ecoulement de l’air autour du v´ ehicule est perturb´ e, par exemple au niveau du nez, du pantographe, des bogies ou encore des c´ esures entre les voitures. Le bruit a´ erodynamique contribue majoritairement au bruit total pour les vitesses sup´ erieures ` a 300 km/h [5].

Les bruits d’origine m´ ecanique propres au v´ ehicule concernent les moteurs et les autres constituants de la chaˆıne motrice, certains ´ equipements ´ electriques comme les ventilateurs, ou encore les syst` emes de freinage. Elles sont g´ en´ eralement localis´ ees spatialement et leur rayonnement, proche de celui d’une source ponctuelle, est bien caract´ eris´ e par les m´ ethodes classiques de traitement d’antenne (cf. partie 2.2.1.2). La contribution de ces sources au bruit total ´ emis par un v´ ehicule ferroviaire est importante surtout pour les faibles vitesses, inf´ erieures ` a 50 km/h.

Les bruits de contact roue/rail sont li´ es aux efforts de contact induits par le d´ eplacement du v´ ehicule sur la voie. Il r´ esulte de la mise en vibration puis du rayonnement des structures telles que les roues, le rail, les traverses et les autres ´ el´ ements qui constituent la voie.

Suivant la nature de l’excitation au niveau des contacts, on distingue trois cat´ egories de bruit de contact [7] :

– Le bruit d’impact [11–14]

Il est li´ e aux discontinuit´ es du contact engendr´ e par les plats de roue ou les d´ efauts ponctuels du rail, par exemple au niveau des joints ou des aiguillages. Il est localis´ e spatialement et, de par la nature impulsionnelle de l’excitation, temporellement.

– Le bruit de crissement [12, 15–18]

Dans les courbes ` a faible rayon, il existe une vitesse de glissement lat´ erale au niveau des contacts. Les forces de frottement qui s’y appliquent sont instables et engendrent des vibrations auto-entretenues principalement de la roue, mais aussi du rail et de la voie. Dans ce cas, l’excitation est caract´ eris´ ee par un spectre de raies.

– Le bruit de roulement

Li´ e aux irr´ egularit´ es des surfaces de roulement (tˆ ete du rail, bande de roulement de la roue), il est la source pr´ epond´ erante de bruit de contact roue/rail. Syst´ ema- tiquement pr´ esent d` es lors que le v´ ehicule est en mouvement, il constitue la source principale de bruit ferroviaire pour des vitesses comprises entre 50 et 300 km/h [5].

On consid` ere g´ en´ eralement que son niveau ´ evolue avec la vitesse V en 30 log V [8].

Dans ce cas, le spectre de l’excitation est large bande.

L’objectif de ce chapitre est de pr´ esenter les ph´ enom` enes qui sont ` a l’origine du bruit

de roulement, en particulier le bruit ´ emis par le rail, depuis l’excitation jusqu’au rayon-

nement acoustique. Apr` es une premi` ere partie consacr´ ee aux m´ ecanismes de g´ en´ eration

et aux caract´ eristiques vibroacoustique principales des diff´ erents ´ el´ ements, l’´ etude se foca-

lise ensuite sur le rail dont la caract´ erisation constitue la probl´ ematique de la th` ese. Ses comportements vibratoire et acoustique sont d´ ecrits ` a partir de mod` eles qui seront utilis´ es ult´ erieurement pour la m´ ethode de caract´ erisation propos´ ee.

1.1 G´ en´ eralit´ es sur le bruit de roulement

1.1.1 M´ ecanismes de g´ en´ eration

La mod´ elisation du bruit de roulement a ´ et´ e initi´ ee par P.J. Remington en 1976 [19,20], et largement d´ evelopp´ ee par D.J. Thompson [7, 21–25]. Dans ces travaux, les rugosit´ es combin´ ees de la roue et du rail engendrent un d´ eplacement vertical relatif de la roue par rapport au rail. Il en r´ esulte la mise en vibration du syst` eme roue/rail qui, par le biais de m´ ecanismes d’interaction, conduit ` a des efforts ponctuels multi-directionnels au niveau du contact. Dans le cas o` u l’amplitude des d´ eplacements est faible (faibles amplitudes de rugosit´ e), les diff´ erents ph´ enom` enes peuvent ˆ etre consid´ er´ es comme lin´ eaires, permettant une approche fr´ equentielle. Le champ acoustique global rayonn´ e est la superposition des champs rayonn´ es par les diff´ erents ´ el´ ements mis en vibration. Cette approche a notamment

´

et´ e impl´ ement´ ee d` es les ann´ ees 90 dans un outil informatique de pr´ ediction du bruit de roulement appel´ e TWINS

[26].

1.1.2 L’excitation

L’´ etat de surface des bandes de roulement de la roue et du rail est caract´ eris´ e par la rugosit´ e, d´ ecrivant le profil vertical des irr´ egularit´ es en fonction de l’abscisse le long de la bande de roulement. Par le biais du d´ eplacement ` a la vitesse V de la roue sur le rail, le spectre spatial se traduit en un spectre fr´ equentiel (fig. 1.1).

Signal spatial de rugosit´e Signal temporel de rugosit´e

Espace Temps

Longueur d’onde P´eriode

Amplitude des irr´egularit´es Amplitude des irr´egularit´es Fr´equence spatialeµ(en m⁻¹) Fr´equence temporellef(en Hz)

⇓ ⇓

rz(z) rt(t) =rz(V t)

Signal al´eatoire stationnaire Signal al´eatoire stationnaire Corr´elation : Corr´elation : Γrz(χ) =E[rz(z)rz(z−χ)] Γrt(τ) =E[rt(t)rt(t−τ)]

TF TF

Densit´e spectrale de puissance : Densit´e spectrale de puissance :

γr_z(µ) =R

RΓr_z(χ)e^{−2πµ χ}dχ γr_t(f) =R

RΓr_t(τ)e^{−2πf τ}dτ

Commeµ=_V^f on a : γrt(f) =_V¹ γrz

f V

Figure 1.1: Spectre spatio-temporel de rugosit´ e

Les longueurs d’ondes qui contribuent ` a la g´ en´ eration du bruit pour les vitesses usuelles des v´ ehicules ferroviaires, peuvent aller de 5 mm ` a 200 mm environ avec des amplitudes

1. TWINS : Track-Wheel Interaction Noise Software

verticales comprises entre 0.1 µm et 50 µm. Enfin, il est important de noter que le contact entre la roue et le rail n’est pas ponctuel ; il intervient en r´ ealit´ e sur une surface ellip- tique qui agit comme un filtre de contact. Ce filtrage spatial limite l’influence des petites longueurs d’onde de la rugosit´ e [24].

1.1.3 Comportement vibro-acoustique de la roue

Les roues des v´ ehicules ferroviaires sont fabriqu´ ees en acier et sont solidaires de l’essieu par montage. Le plus souvent, des roues ` a bandage sont utilis´ ees : une couche m´ etallique d’usure est fix´ ee autour du voile. Le bandage comporte par ailleurs un boudin, garantissant le guidage de la roue sur le rail. La g´ eom´ etrie du voile d´ epend du type de roue. Un exemple de profil de roue repr´ esentant ces diff´ erents ´ el´ ements est donn´ e figure 1.2.

Figure 1.2: Profil d’une roue ferroviaire.

Pour les fr´ equences sup´ erieures ` a 400 Hz, le comportement vibratoire de la roue est proche de celui d’un disque, en dessous de cette fr´ equence il faut plutˆ ot consid´ erer l’essieu complet. Une approche modale peut alors ˆ etre utilis´ ee pour analyser ses vibrations [7] : le champ vibratoire de la roue est la superposition des d´ eform´ ees des modes dans la bande de fr´ equence d’´ etude. La r´ eponse est importante (r´ esonance) lorsque la fr´ equence d’excitation est proche des fr´ equences propres correspondantes. Selon la g´ eom´ etrie de la roue et surtout du voile, les fr´ equences et les d´ eform´ ees des modes sont diff´ erentes. On utilise fr´ equemment la m´ ethode des ´ el´ ements finis pour les d´ eterminer [22, 27].

D’un point de vue acoustique, une grande partie de l’´ energie est rayonn´ ee par le voile en flexion (vibrations axiales). Le reste de l’´ energie est plutˆ ot rayonn´ e par le bandage (vi- brations radiales). L’efficacit´ e de rayonnement

est diff´ erente selon les modes de vibration, mais toujours assez faible en dessous de 500 Hz. ` A l’inverse, au del` a de 500 Hz environ, le rayonnement est important [27].

A l’´ ` echelle d’un v´ ehicule ferroviaire, la roue est une source que l’on peut qualifier de ponctuelle en premi` ere approximation, et dont le rayonnement acoustique semble correcte- ment estim´ e par les m´ ethodes de traitement d’antenne classiques d´ etaill´ ees dans la partie 2.2.1.

2. L’efficacit´e de rayonnement est d´efinie par C.E. Wallace dans [28] comme le rapport entre la puissance acoustique rayonn´ee par une structure et la puissance acoustique rayonn´ee par un piston plan de mˆeme surface et de mˆeme vitesse vibratoire moyenne.

1.1.4 Comportement vibro-acoustique de la voie

Une voie ferr´ ee est une structure m´ ecanique form´ ee de diff´ erents ´ el´ ements qui sup- portent et guident les v´ ehicules ferroviaires. La voie la plus courante en France, utilis´ ee notamment pour les trains, est constitu´ ee de deux files de rail fix´ ees sur des traverses en b´ eton ou en bois, elles-mˆ emes reposant sur une couche de ballast. Des semelles sont inter- cal´ ees entre chaque traverse et le pied du rail. Pour les voies de tramway en milieu urbain, on rencontre plus souvent une pose sur dalle avec ou sans traverse. Ce type de pose permet de recouvrir les voies d’un revˆ etement bitumineux ou pav´ e afin de les partager avec les v´ ehicules routiers et les pi´ etons. L’annexe A propose une revue de diff´ erents types de pose.

Le comportement vibro-acoustique du rail est ´ evoqu´ e en d´ etail dans la suite du chapitre.

Il faut toutefois rappeler que les autres ´ el´ ements de la voie (traverses, ballast et dalle le cas ´ ech´ eant) contribuent ´ egalement au bruit de roulement, en particulier aux basses fr´ equences. Contrairement ` a la roue, les vibrations dans la voie peuvent se propager sur une longue distance. L’approche modale n’est plus pertinente dans la mesure o` u la structure est quasiment infinie. Les sources de bruit associ´ ees ` a la voie pr´ esentent un support spatial

´

etendu, comme l’ont montr´ e certaines mesures [29].

1.1.5 Contributions respectives de la roue et de la voie

Un r´ esultat important obtenu ` a l’aide des outils pr´ edictifs tels que TWINS concerne la contribution sonore relative des ´ el´ ements de la voie suivant la gamme de fr´ equence consid´ er´ ee. Dans le cas d’une voie de chemin de fer classique, on peut ´ enoncer les g´ en´ eralit´ es suivantes [7] :

– Le bruit rayonn´ e par les traverses domine en basse fr´ equence (jusqu’` a environ 500 Hz).

– Le rayonnement de la roue devient dominant en haute fr´ equence (` a partir du premier mode radial de roue, soit 1 kHz environ). Le spectre pr´ esente des fortes ´ emergences

`

a proximit´ e des fr´ equences propres des modes de roue radiaux et axiaux ` a un cercle nodal.

– Le rail est la source dominante dans les moyennes fr´ equences (jusqu’au premier mode radial de roue) mais sa contribution reste tout de mˆ eme importante aux fr´ equences plus ´ elev´ ees.

Remarque : Il est important de noter que les fronti` eres entre ces domaines d´ ependent

´

etroitement des caract´ eristiques m´ ecaniques des ´ el´ ements consid´ er´ es (voie, roue, rail, etc...).

1.2 Comportement vibratoire du rail

La partie pr´ ec´ edente a soulign´ e l’importance du rayonnement acoustique du rail dans le bruit ferroviaire :

– pour des vitesses inf´ erieures ` a 300 km/h, le bruit de roulement constitue la source principale de bruit ferroviaire [5],

– pour des fr´ equences comprises entre 500 Hz et 1 kHz, le rayonnement du rail est la composante principale du bruit de roulement [7],

– la source acoustique form´ ee par le rail a un support spatial ´ etendu.

Pour comprendre le rayonnement du rail et d´ evelopper une m´ ethode de caract´ eri- sation adapt´ ee, il est n´ ecessaire d’analyser pr´ ealablement son comportement vibratoire.

Dans cette partie sont expos´ es diff´ erents mod` eles vibratoires largement d´ evelopp´ es dans

la litt´ erature, ainsi que les r´ esultats essentiels qui en r´ esultent. Une attention particuli` ere

est port´ ee aux mod` eles qui seront utilis´ es par la suite pour bˆ atir la nouvelle m´ ethode de caract´ erisation.

On consid` ere ici que le rail est soumis ` a une excitation ponctuelle verticale, et seule la r´ eponse vibratoire verticale du rail est examin´ ee. Les formulations th´ eoriques restent ce- pendant valables pour les vibrations lat´ erales, seuls les valeurs des param` etres m´ ecaniques et le domaine fr´ equentiel de validit´ e des diff´ erents mod` eles sont modifi´ es dans ce cas. Des ondes vibratoires se propageant de part et d’autre du point d’excitation sont mises en

´ evidence. Les r´ esultats essentiels de cette partie r´ esident dans l’expression des vibrations verticales le long du rail, suivant les mod` eles utilis´ es.

1.2.1 Mod´ elisation des ´ el´ ements de la voie 1.2.1.1 Mod´ elisation du rail

Pour la mod´ elisation du rail, l’hypoth` ese de poutre est souvent utilis´ ee [30–37], notam- ment ` a travers le mod` ele de poutre mince d’Euler-Bernoulli

(cf. 1.2.2.1) et le mod` ele de poutre ´ epaisse de Timoshenko (cf. 1.2.2.2). L’hypoth` ese de poutre atteint ses limites en hautes fr´ equences : au del` a de 3 − 4 kHz pour les vibrations verticales, et au del` a de 1 kHz pour les vibrations lat´ erales [38]. En dehors de ces domaines les d´ eformations de la section (en particulier celles du pied du rail) doivent alors ˆ etre prises en compte. Des m´ ethodes alliant approche ondulatoire le long du rail et discr´ etisation par ´ el´ ements finis de sa section sont g´ en´ eralement utilis´ ees dans ce cas [23, 31, 39–41] (cf. 1.2.4) mais d’autres techniques existent [42].

1.2.1.2 Mod´ elisation du support

La mod´ elisation du support du rail est d´ etermin´ ee en premier lieu par la nature des

´ el´ ements qui le constituent. De nombreux types de pose existent (cf. annexe A) caract´ e- ris´ es notamment par la plate-forme et le syst` eme de fixation du rail. La propagation des vibrations dans la plate-forme (le plus souvent constitu´ ee par du ballast ou par une dalle de b´ eton) est souvent n´ egligeable au-del` a de 100 Hz environ, et un mod` ele d’imp´ edance m´ ecanique localis´ ee peut alors ˆ etre utilis´ e.

Dans le cas d’une pose discontinue, le rail est g´ en´ eralement fix´ e ` a des traverses, via des semelles en ´ elastom` ere. Le plus souvent, la traverse peut ˆ etre consid´ er´ ee comme rigide, ce qui conduit ` a des mod` eles ` a quelques degr´ es de libert´ e dont le plus courant prend en compte (pour une file de rail) :

– une raideur complexe

s

caract´ erisant la semelle et le syst` eme de fixation du rail en g´ en´ eral,

– une masse M

caract´ erisant une demi-traverse,

– une raideur complexe s

caract´ erisant la plate-forme (dalle, ballast).

Dans ce cas, la raideur dynamique apparente du support (en r´ egime harmonique) a pour expression :

s(ω) = s

M

ω

− s

M

ω

− (s

+ s

) (1.1)

o` u ω est la pulsation.

Dans le cas d’une dalle, la raideur de la plate-forme ´ etant tr` es grande, seule la raideur de la semelle intervient : s(ω) = s

. On peut par ailleurs d´ eduire de l’´ equation (1.1) les

3. Dans ce document, on utilise plutˆot les expressions simplifi´eespoutre d’Euler ouhypoth`ese d’Euler.

4. Une raideurscomplexe indique que les ph´enom`enes de dissipation sont pris en compte, `a travers un facteur de pertesη. On ´ecrira ainsi :s=s(1 +ηi),s´etant une raideur r´eelle.

comportements aux limites du support :

ω→0

lim 1 s(ω) = 1

s

+ 1

s

et lim

ω→∞

s(ω) = s

Aux tr` es basses fr´ equences, la raideur apparente correspond ` a celles du ballast et de la semelle plac´ ees en s´ erie. Aux tr` es hautes fr´ equences elle est ´ egale ` a celle de la semelle, les supports b´ eton et ballast sont dans ce cas ´ equivalents.

Lorsque l’on s’int´ eresse aux vibrations du rail, cette mod´ elisation du support par des imp´ edances m´ ecaniques localis´ ees ` a seulement quelques degr´ es de libert´ e est satisfaisante dans la plupart des cas. Pour augmenter localement la pr´ ecision, ou d` es lors que l’on s’int´ eresse aux d´ eformations du support, des mod` eles plus complets peuvent ˆ etre utilis´ es int´ egrant par exemple la mod´ elisation de chaque traverse par une poutre [43] ou par un mod` ele ´ el´ ements finis [44, 45].

1.2.1.3 Mod´ elisation de l’ensemble de la voie

On peut distinguer deux types de mod` eles selon que l’on conserve la nature discr` ete du support ou non (voir figure 1.3) :

– le rail sur support continu uniforme (cf. 1.2.2) pour lequel une raideur lin´ eique ´ equi- valente s

(ω) = s(ω)/a est d´ efinie, a ´ etant l’espace inter-traverses,

– le rail sur supports ponctuels p´ eriodiques (cf. 1.2.3).

Figure 1.3: Mod´ elisation continue d’un rail sur appuis discontinus

Les valeurs des param` etres m´ ecaniques du rail et de son support utilis´ ees pour les ap- plications num´ eriques de ce chapitre sont donn´ ees table 1.1 [35]. Ces valeurs correspondent

`

a l’´ etude des vibrations verticales, on rappelle toutefois que les formulations pour les vi- brations lat´ erales sont identiques ; seule la valeur de certains param` etres change, ce qui a pour effet de d´ eplacer les fr´ equences caract´ eristiques du syst` eme.

La prise en compte des ph´ enom` enes dissipatifs dans le rail se traduit sur le module

d’´ elasticit´ e E, le module de cisaillement G et la rigidit´ e en flexion verticale B ` a travers

le coefficient de pertes internes η

: E = E(1 + iη

), B = EI et G = E/(2 + 2ν). Pour

l’ensemble de l’´ etude les ph´ enom` enes dissipatifs sont pris en compte, on omettra cependant

de souligner le nom de ces variables afin d’all´ eger les notations.

Rail Support

Module d’´elasticit´e (N/m²) E= 2.1·10¹¹ Masse d’une demi-traverse (kg) Mt= 80 Coefficient de pertes internes ηE= 4·10⁻³ Raideur de la semelle (N/m) sp= 3·10⁸ Moment d’inertie (m⁴) I= 3.05·10⁻⁵ Facteur de pertes dans la semelle ηp= 0.1 Coefficient de poisson ν= 0.3 Raideur du ballast (N/m) sb= 7.5·10⁷ Module de cisaillement (N/m²) G=E/(2 + 2ν) Facteur de pertes dans le ballast η_b= 0.4 Masse volumique (kg/m³) ρ= 8000

Rigidit´e en flexion verticale (Nm²) B=EI Masse par unit´e de longueur (kg/m) M= 60 Coefficient de cisaillement κ= 2.4

Table 1.1: Param` etres m´ ecaniques typiques de la voie, ondes de flexion verticales. Ces valeurs sont issues de travaux pr´ ec´ edents [35]. En particulier, il faut noter que le taux d’amortissement dans le rail est plutˆ ot faible en comparaison ` a celui utilis´ e en pratique.

1.2.2 Le rail sur support continu uniforme

Dans ce chapitre, le rail est mod´ elis´ e successivement par une poutre mince d’Euler et une poutre ´ epaisse de Timoshenko. Dans cette partie, les appuis discontinus sont mod´ elis´ es de fa¸ con continue ; la pose sur dalle et la pose sur traverses et ballast sont abord´ ees. Le rail, orient´ e selon l’axe ~ z, est soumis ` a l’excitation d’une force ponctuelle appliqu´ ee en z

comme l’indique la figure 1.4.

Figure 1.4: Mod´ elisation de la voie avec support continu

On se place en r´ egime harmonique ` a la pulsation ω, les grandeurs consid´ er´ ees sont des amplitudes complexes (on omet d’´ ecrire la d´ ependance temporelle en e

). De mani` ere g´ en´ erale, les ´ equations v´ erifi´ ees par le d´ eplacement vertical du rail ξ ont pour base de solutions les ondes de la forme e

. La grandeur complexe γ (ω) est appel´ ee constante de propagation, sa partie r´ eelle d´ efinit l’att´ enuation

et sa partie imaginaire d´ efinit le nombre d’onde. Pour chaque cas ´ etudi´ e (selon le mod` ele de poutre et le type de support), on formulera les deux fonctions suivantes :

– la relation de dispersion γ (ω),

– la fonction de Green G

(z, z

) qui repr´ esente le d´ eplacement ξ du rail excit´ e par une force ponctuelle unitaire en z = z

.

Les calculs permettant d’arriver aux r´ esultats ´ enonc´ es sont donn´ es dans l’annexe B et les param` etres m´ ecaniques utilis´ es pour les applications num´ eriques sont ceux de la table 1.1.

5. L’att´enuation ∆ en dB/m est donn´ee par : ∆ =<(γ)20 logeo`u<(γ) d´esigne la partie r´eelle deγ.

1.2.2.1 Le mod` ele d’Euler

Avec les hypoth` eses d’Euler, la relation de dispersion s’´ ecrit [35] : γ

(ω) = k

1 − s

(ω) M ω

(1.2) Avec :

k

le nombre d’onde de flexion d’une poutre mince tel que k

=

.

L’´ equation de dispersion (1.2) admet donc quatre solutions k

, −k

, ik

et −ik

o` u k

est la solution ` a partie r´ eelle positive et ` a partie imaginaire n´ egative.

La fonction de Green est donn´ ee par [35] : G

(z, z

) = − 1

4k

1 B

h

e

+ ie

i

(1.3) Ainsi, lorsque le rail est soumis ` a une excitation ponctuelle, deux ondes vibratoires se propagent de part et d’autre du point d’application :

– une onde potentiellement propagative e

tr` es peu att´ enu´ ee dans certaines bandes de fr´ equences,

– une onde de champ proche e

fortement att´ enu´ ee, et l´ eg` erement r´ etropro- pagative. Cette onde ´ egalement appel´ ee onde ´ evanescente existe dans un voisinage proche du point d’excitation. Par exemple, ` a 500 Hz, l’effet de champ proche ne se fait sentir que sur une zone de l’ordre du m` etre.

Fr´ equences caract´ eristiques

Suivant le signe de la partie r´ eelle de γ

, des fr´ equences caract´ eristiques peuvent ˆ etre mises en ´ evidence.

Dans le cas du rail sur support b´ eton pour lequel la raideur s(ω) est ´ egale ` a la raideur des seules semelles s

(la raideur s

de la plate-forme est grande devant s

), on peut distinguer la fr´ equence particuli` ere f

=

q

p

a M

(f

= 460 Hz ici

). Cette fr´ equence correspond ` a la r´ esonance d’un syst` eme masse/ressort dans lequel la masse serait le rail et le ressort le support continu.

Dans le cas du rail sur support ballast pour lequel les ensembles {semelles + traverses + ballast} sont mod´ elis´ es par des syst` emes {raideur - masse - raideur} comme d´ ecrit pr´ ec´ edemment par la figure 1.3, plusieurs fr´ equences caract´ eristiques sont mises en

´

evidence :

– f

correspondant ` a la r´ esonance en phase du rail et de la traverse sur la raideur du ballast (la raideur de la semelle intervient peu). (f

= 130 Hz

)

– f

correspondant ` a la r´ esonance de la traverse entre les raideurs du ballast et de la semelle (les mouvements du rail sont faibles). (f

= 340 Hz

)

– f

correspondant ` a la r´ esonance du rail sur la raideur de la semelle, le d´ eplace- ment de la traverse restant faible. (f

= 560 Hz

)

Constantes de propagation

De part et d’autre des fr´ equences caract´ eristiques du syst` eme, les ondes vibratoires se propagent avec des propri´ et´ es diff´ erentes.

Sur un support rigide, l’att´ enuation des ondes propagatives se produit essentiellement aux basses fr´ equences, elle est d’autant plus ´ elev´ ee que la raideur des semelles est forte.

6. Pour les param`etres typiques de la table 1.1.

L’att´ enuation de ces ondes aux basses fr´ equences est nettement meilleure pour une voie sur dalle que pour une voie sur ballast. En revanche, sur voie ballast, il existe deux zones fr´ equentielles ` a forte att´ enuation. En hautes fr´ equences, le comportement du rail sur son support (dalle ou ballast) est proche de celui d’un rail isol´ e : la propagation des ondes potentiellement propagatives n’est plus affect´ ee par le support.

Les figures 1.5 et 1.6 illustrent ces propri´ et´ es (trac´ e de l’att´ enuation et du nombre d’onde pour l’onde propagative et l’onde de champ proche en fonction de la fr´ equence).

Onde propagative

Fréquence (Hz)

Atténuation (dB/m)

10² 10³

10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

Support béton Support ballast

f anti f ballast

f semelle f p

10² 10³

10¹ 10²

Onde de champ proche

Fréquence (Hz)

Atténuation (dB/m)

Support béton Support ballast

Figure 1.5: Att´ enuation des ondes de vibration verticales le long d’un rail - Cas d’une poutre mince d’Euler sur support continu. Gauche : onde potentiellement propagative.

Droite : onde de champ proche.

10² 10³

1 2 3 4 5 6 7

Onde propagative

Fréquence (Hz)

Nombre d’onde (m −1) Support béton

Support ballast

10² 10³

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0

Onde de champ proche

Fréquence (Hz) Nombre d’onde (m −1)

Support béton Support ballast

Figure 1.6: Nombre d’onde des ondes de vibration verticales le long d’un rail - Cas d’une poutre mince d’Euler sur support continu. Gauche : onde potentiellement propaga- tive. Droite : onde de champ proche.

1.2.2.2 Le mod` ele de Timoshenko

Le mod` ele de poutre ´ epaisse de Timoshenko inclut les effets de cisaillement et d’inertie rotationnelle. Dans ce cas, la relation de dispersion devient :

γ

+

k

+ k

− s

(ω) K

γ

−

k

− k

k

− s

(ω) B

1 − B

K k

= 0 (1.4)