Caractérisation spatiale du rayonnement acoustique d'un rail à l'aide d'un réseau de microphones - Simulations

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Caractérisation spatiale du rayonnement acoustique d’un rail à l’aide d’un réseau de microphones - Simulations

Baldrik Faure, Olivier Chiello, Marie-Agnès Pallas, Christine Serviere

To cite this version:

Baldrik Faure, Olivier Chiello, Marie-Agnès Pallas, Christine Serviere. Caractérisation spatiale du

rayonnement acoustique d’un rail à l’aide d’un réseau de microphones - Simulations. CFA 2010 -

10ème Congrès Français d’Acoustique, Apr 2010, Lyon, France. �hal-00542597�

10`eme C ongr`es F ran¸cais d’ A coustique

Lyon, 12-16 Avril 2010

Caract´erisation spatiale du rayonnement acoustique d’un rail `a l’aide d’un r´eseau de microphones - Simulations

Baldrik Faure

, Olivier Chiello

, Marie-Agn` es Pallas

, Christine Servi` ere

1INRETS, 25 avenue Fran¸cois Mitterrand Case 24, F-69675 Bron Cedex,{baldrik.faure, olivier.chiello, marie-agnes.pallas}@inrets.fr

2GIPSA-Lab, Domaine Universitaire BP 46, F-38402 Saint Martin d’H`eres Cedex, christine.serviere@gipsa-lab.grenoble-inp.fr

Le bruit de roulement est la source de bruit principale des transports ferroviaires pour des vitesses inf´ erieures ` a 300 km/h. L’objectif de cette ´ etude est, ` a partir des signaux acoustiques mesur´ es par un r´ eseau de microphones, de caract´ eriser le champ acoustique rayonn´ e par le rail pour ´ evaluer sa contri- bution au bruit de roulement. G´ en´ er´ e au niveau du contact entre la roue et le rail, cette composante du bruit r´ esulte de la propagation d’ondes vibratoires plus ou moins att´ enu´ ees dans le rail. Le champ acoustique rayonn´ e pr´ esente des propri´ et´ es h´ et´ erog` enes qui d´ ependent de la fr´ equence, des amplitudes des forces d’excitation, ainsi que des caract´ eristiques vibratoires du rail sur son support (att´ enuations, nombres d’onde).

Les m´ ethodes classiques d’identification de sources par formation de voies ne sont pas adapt´ ees ` a ce type de champ acoustique li´ e ` a une source ´ etendue de grande longueur de coh´ erence. Dans cette ´ etude, le rail est mod´ elis´ e par une ligne de sources ponctuelles corr´ el´ ees. Les param` etres d´ eterminant le champ acoustique sont estim´ es par minimisation de l’erreur entre les matrices interspectrales mesur´ ee et mod´ elis´ ee. Les prin- cipaux r´ esultats des simulations sont pr´ esent´ es, et diff´ erentes hypoth` eses sur le mod` ele vibro-acoustique discut´ ees.

1 Introduction

Dans un contexte de d´ eveloppement des transports ferroviaires urbains et p´ eri-urbains, la r´ eduction des nuisances sonores apparaˆıt comme un enjeu majeur.

Afin d’agir efficacement ` a la source, il est indispensable d’identifier et d’´ etudier les sources responsables de ces nuisances. Pour des vitesses inf´ erieures ` a 300 km / h, le bruit de roulement constitue la source principale du bruit ferroviaire [1].

La mod´ elisation du bruit de roulement a ´ et´ e initi´ ee par Remington et reprise par Thompson [2], notam- ment ` a travers le mod` ele TWINS [3]. Dans ce mod` ele, le d´ eplacement vertical relatif au niveau du contact roue/rail (dˆ u aux irr´ egularit´ es des surfaces de roule- ment) engendre des vibrations qui se propagent dans la voie. Le rayonnement acoustique des ´ el´ ements tels que le rail, les roues et les traverses constitue le bruit de roule- ment. Ce mod` ele a montr´ e que la contribution du rail au bruit de roulement reste importante pour des fr´ equences comprises entre 500 et 1200 Hz [2]. Ces pr´ edictions ont en partie pu ˆ etre observ´ ees lors de campagnes de me- sures utilisant des m´ ethodes d´ eriv´ ees du principe de for- mation de voies ; une source importante et ´ etendue a ´ et´ e identifi´ ee au niveau du rail [4]. Cependant, le principe du traitement d’antenne tel qu’il est utilis´ e actuellement est mal adapt´ e ` a ce type de source [5]. En effet, le compor- tement vibro-acoustique du rail, en particulier la propa- gation de vibrations sur une tr` es grande distance dans certaines gammes de fr´ equences, conduit ` a le consid´ erer comme une source ´ etendue ayant une grande longueur de coh´ erence.

Dans l’´ etude pr´ esent´ ee ici, le rayonnement acous-

tique du rail est caract´ eris´ e par des param` etres vi- bratoires (amplitudes des excitations, nombres d’ondes complexes) que l’on cherche ` a estimer ` a l’aide d’un r´ eseau de microphones. La m´ ethode propos´ ee consiste

`

a minimiser l’erreur entre les matrices interspectrales mod´ elis´ ee et mesur´ ee sur les microphones de l’antenne.

Dans un premier temps, le mod` ele vibro-acoustique retenu pour le rail est pr´ esent´ e. Les caract´ eristiques du champ acoustique qui en r´ esultent sont ensuite ´ etudi´ ees.

Enfin, par minimisation de l’erreur entre mod` ele et me- sures, certains param` etres vibratoires sont ´ evalu´ es dans le cas simple d’une ou plusieurs excitations fixes, en ne consid´ erant qu’un seul type d’onde vibratoire. Des r´ esultats de simulations viennent appuyer et compl´ eter l’´ etude analytique.

2 Mod´ elisation du rail

2.1 Mod` ele vibratoire

Un mod` ele continu classique est adopt´ e [6] dans

lequel le rail est assimil´ e ` a une poutre ´ epaisse de

Timoshenko. Pour cette ´ etude, une pose sur ballast

est retenue. Les syst` emes ballast-traverse-semelle sont

mod´ elis´ es par des imp´ edances m´ ecaniques localis´ ees de

type ressort-masse-ressort not´ ees s ( ω ). Pour des lon-

gueurs d’onde inf´ erieures ` a l’espacement a entre tra-

verses (jusqu’` a environ 1500 Hz), ces supports dis-

crets peuvent ˆ etre remplac´ es par un support continu

de raideur lin´ eique ´ equivalente s

( ω ) = s ( ω ) /a . Une

repr´ esentation sch´ ematique de ce mod` ele est donn´ ee fi-

gure 1.

Figure 1 – Mod´ elisation du rail sur son support

Lorsqu’il est excit´ e par une force appliqu´ ee en un point, le rail est parcouru par des ondes vibratoires qui se propagent de part et d’autre du point d’exci- tation : des ondes de flexion, de compression, ou en- core des ondes de torsion. Dans cette ´ etude, seules les ondes de flexion verticale sont prises en consid´ eration.

Le d´ eplacement vertical du rail en r´ eponse ` a une force unitaire en z

, appel´ e fonction de Green, s’´ ecrit [7] :

G

( z, z

) = F

e

+ iF

e

(1) Dans l’´ equation 1, on distingue deux types d’ondes de flexion qui peuvent se propager dans le rail, de part et d’autre de l’excitation. Elles sont caract´ eris´ ees par une amplitude et un nombre d’onde complexe qui d´ ependent des param` etres physiques du rail et de son support (les param` etres utilis´ es dans cette ´ etude sont donn´ es table 1). On peut ainsi distinguer :

- une onde potentiellement propagative d’amplitude F

et de nombre d’onde complexe k

;

- une onde de champ proche d’amplitude F

et de nombre d’onde complexe k

. Cette onde fortement att´ enu´ ee est ´ egalement appel´ ee onde ´ evanescente, elle existe dans un proche voisinage du point d’excitation.

Rail Support

Module d’´elasticit´e

(N/m²) 2·10¹¹ Masse d’une demie traverse (kg) 80 Coefficient de

pertes internes 4·10⁻³ Raideur de la se- melle (N/m) 3·10⁸ Module de cisaille-

ment (N/m²) 7.7·10¹⁰ Facteur de pertes dans la semelle 3.10⁷ Masse volumique

(kg/m³) 8000 Raideur du ballast

(N/m) 7.5·10⁷ Rigidit´e en flexion

verticale (Nm²) 6.4·10⁶ Facteur de pertes dans le ballast 3·10⁷ Masse par unit´e de

longueur (kg/m) 60 Coefficient de ci- saillement 0.4

Table 1 – Param` etres m´ ecaniques de la voie [7]

La figure 2 repr´ esente l’att´ enuation en dB / m de ces deux ondes ainsi que les fr´ equences caract´ eristiques du syst` eme. Ces fr´ equences correspondent aux r´ esonances des diff´ erents ´ el´ ements de la voie. Pour une onde de type e

, l’att´ enuation Δ en dB / m est calcul´ ee ainsi : Δ = ( γ ) × 20 log e . Avec ( γ ) la partie r´ eelle de γ .

2.2 Mod´elisation acoustique

Comme dans la r´ ef´ erence [8], le rail est assimil´ e ` a une ligne de monopˆ oles r´ epartis continˆ ument sur son axe comme le montre la figure 3.

0 200 400 600 800 1000 1200

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Fréquence (Hz)

Atténuation (dB/m)

Onde propagative Onde de champ proche

350 Hz 550 Hz 125 Hz

Figure 2 – Att´ enuation des ondes de flexion verticales dans le rail

Figure 3 – Mod´ elisation du rail par une ligne de sources ponctuelles

La pression acoustique en un point de l’espace de coordonn´ ees cylindriques ( r, z ) est alors donn´ ee par l’int´ egrale :

p ( r, z ) =

zs=−∞

iωdQ ( z

) e

4 πr

( z, z

) (2) avec :

z

l’abscisse d’un monopˆ ole ´ el´ ementaire sur l’axe z , r

la distance entre le monopˆ ole d’abscisse z

et le point d’observation.

dQ ( z

) est le d´ ebit massique ´ el´ ementaire de la source plac´ ee ` a l’abscisse z

; il est proportionnel ` a la vitesse vibratoire du rail en ce point. Pour effectuer le calcul num´ erique de la pression, l’int´ egrale (2) est discr´ etis´ ee.

La distance D

entre deux monopˆ oles successifs doit ˆ etre suffisamment petite par rapport aux longueurs d’onde vibratoires dans le rail et dans l’air. Une pr´ ecision suffisante est assur´ ee pour :

D

= 1

5 min( λ

, λ

) (3) en imposant D

< 0 . 1 m pour assurer une bonne esti- mation proche du rail.

Une source est plac´ ee en z

, puis tous les D

m` etres

de part et d’autre du point d’excitation jusqu’` a at-

teindre 60 dB d’att´ enuation pour l’onde vibratoire pro-

pagative. L’amplitude de chaque source est proportion-

nelle ` a la vitesse vibratoire du rail, elle-mˆ eme d´ etermin´ ee

en utilisant le mod` ele d´ ecrit dans la section 2.1. Ainsi,

les sources ´ el´ ementaires sont coh´ erentes et les champs

associ´ es interf` erent ; ceci conf` ere au champ acoustique

r´ esultant des propri´ et´ es particuli` eres (cf. [8]).

3 Particularit´es du champ acous- tique rayonn´e par le rail

La figure 2 montre que l’att´ enuation de l’onde propa- gative varie avec la fr´ equence de l’excitation. L’onde de champ proche est quant ` a elle fortement att´ enu´ ee quelle que soit la fr´ equence. Les cartographies suivantes illus- trent les cons´ equences de ces diff´ erents comportements sur le champ acoustique rayonn´ e par le rail pour deux fr´ equences caract´ eristiques.

Abscisse sur le rail (m) (z₀ = 0)

Distance à l’axe du rail (m)

0 4 8 12

4 8 12

Figure 4 – Phase du champ acoustique rayonn´ e par le rail ` a 350 Hz

Sur la figure 4, la phase du champ de pression est trac´ ee pour f = 350 Hz, lorsque l’att´ enuation de l’onde propagative est importante (Δ = 16 dB / m). Les fronts d’onde sph´ eriques indiquent que le rail se comporte comme une source ponctuelle localis´ ee au point d’ex- citation.

Abscisse sur le rail (m) (z₀ = 0)

Distance à l’axe du rail (m)

0 4 8 12

4 8 12

Figure 5 – Phase du champ acoustique rayonn´ e par le rail ` a 1000 Hz

Sur la figure 5, la phase du champ de pression est trac´ ee pour f = 1000 Hz, fr´ equence pour laquelle l’onde propagative est peu att´ enu´ ee (Δ = 0 . 35 dB / m). Les fronts d’onde plans indiquent que le rail se comporte comme une source ´ etendue. Ces ondes cylindriques sont rayonn´ ees suivant un angle par rapport ` a l’axe du rail.

Appel´ e angle de directivit´ e, cet angle est li´ e li´ e au rap- port k

/k ( k est le nombre d’onde dans l’air) et varie donc avec la fr´ equence.

Entre ces cas extrˆ emes, le champ acoustique pr´ esente une structure spatiale interm´ ediaire complexe. Ceci

confirme que le choix d’un type de traitement d’antenne classique (onde sph´ erique ou onde cylindrique) n’est pas adapt´ e au rail, dont le rayonnement poss` ede des pro- pri´ et´ es h´ et´ erog` enes avec la fr´ equence. D’o` u la n´ ecessit´ e de d´ evelopper de nouvelles m´ ethodes.

4 M´ ethode d’optimisation pa- ram´ etrique

Le champ de pression d´ ecrit pr´ ec´ edemment est me- sur´ e au moyen d’un r´ eseau de N

microphones. Pour une fr´ equence f , on construit la matrice interspectrale Γ de dimension N

× N

. Parall` element, une matrice spectrale mod´ elis´ ee Γ

est calcul´ ee ` a partir du mod` ele vibro-acoustique d´ ecrit dans les sections 2.1 et 2.2. Elle d´ epend de plusieurs param` etres (amplitudes des forces de contact, nombres d’onde complexes dans le rail) que l’on cherche ` a d´ eterminer par minimisation d’un crit` ere bas´ e sur l’erreur quadratique entre les matrices spec- trales Γ et Γ

:

Λ =

m,n

Γ

− Γ

(4) o` u l’indice m, n indique l’´ el´ ement de la matrice sur la ligne m et la colonne n .

4.1 Cas simple : un seul contact d’am- plitude inconnue

On consid` ere dans un premier temps le cas d’un contact unique ` a l’abscisse z

. Les nombres d’onde com- plexes dans le rail sont connus pour l’onde propagative et l’onde de champ proche ; les param` etres dynamiques de la voie ont par exemple ´ et´ e d´ etermin´ es au marteau de choc. Seule l’amplitude du champ, li´ ee ` a l’amplitude de l’excitation et au facteur de rayonnement, est inconnue.

Pour ce cas simple, une ´ ecriture analytique de la solution du probl` eme de minimisation est possible. Le champ de pression p ( r, z ) donn´ e par l’´ equation (2) est proportion- nel ` a un champ de pression ´ el´ ementaire p

( r, z ) :

p ( r, z ) = A · p

( r, z )

= A ·

zs=−∞

−ω

G

( z

, z

)

s(z,zs)

d

(5) o` u A est l’amplitude complexe du champ ´ el´ ementaire.

Le crit` ere Λ peut donc s’´ ecrire :

Λ =

m,n

|Γ

− |A|

( P

· P

)

|

=

m,n

|Γ

− |A|

M

|

(6) avec :

P

le vecteur des N

pressions ´ el´ ementaires sur l’an- tenne

M la matrice spectrale ´ el´ ementaire mod´ elis´ ee.

En posant |A|

= α ( α > 0), le crit` ere (6) atteint un minimum lorsque sa d´ eriv´ ee par rapport ` a α est nulle :

∂ Λ

∂α = 0 ⇔ α =

m,n

M

Γ

m,n

|M

|

(7) o` u Γ

est le conjugu´ e de Γ

.

Remarque : A est suppos´ e ici d´ eterministe. Dans le

cas d’une variable al´ eatoire, les expressions (6) et (7)

restent valables : il suffit de substituer ` a |A|

la variance

σ

de A .

4.2 Performances de l’estimateur en pr´ esence de bruit

Dans le cas o` u un bruit additif spatialement blanc, centr´ e et de puissance moyenne σ

, se superpose aux signaux mesur´ es, la matrice spectrale est donn´ ee par :

Γ ˆ = Γ + σ

I

(8) avec I

la matrice identit´ e de dimension N

(nombre de microphones).

En pratique, ˆ Γ est estim´ ee par une moyenne sur K observations. Soit ˆ α l’estim´ ee de α en pr´ esence de bruit.

En utilisant les ´ equations (7) et (8), on peut ´ ecrire le biais relatif (´ equation 9) et la variance relative (´ equation 10) de l’estimateur :

α ˆ − α

α = 1

N

· 1 R

(9)

V ar ( ˆ α ) α

= 1

K ·

2 N

R

+ 1

N

R

(10) o` u R

est le rapport signal ` a bruit lin´ eaire, d´ efini par le rapport de σ

et de la puissance moyenne sur les microphones de l’antenne.

Les ´ equations (9) et (10) montrent que les per- formances de l’estimateur ne d´ ependent pas de la fr´ equence. Mˆ eme lorsqu’il y a autant de bruit que de signal, l’erreur d’estimation sur α reste inf´ erieure ` a 1 dB en moyenne.

Sous cette hypoth` ese de bruit spatialement blanc, seule la diagonale des matrices spectrales porte la contri- bution du bruit, introduisant de ce fait le biais ´ evoqu´ e pr´ ec´ edemment. Pour pallier ` a ce probl` eme, il est pos- sible de modifier le crit` ere ` a minimiser, en excluant les

´ el´ ements diagonaux des matrices spectrales. L’estima- teur ainsi d´ efini n’est plus biais´ e, mais une attention toute particuli` ere devra ˆ etre port´ ee aux r´ esultats obte- nus dans les cas plus complexes.

4.3 Performances de l’estimateur en pr´ esence d’erreurs sur le mod` ele

La m´ ethode d´ ecrite pr´ ec´ edemment repose sur la mi- nimisation d’une erreur entre mesures et pr´ evisions is- sues d’un mod` ele. Jusqu’` a pr´ esent, les param` etres de ce mod` ele sont suppos´ es connus, ` a l’exception de l’ampli- tude A de l’excitation. Cette partie pr´ esente les r´ esultats d’une ´ etude de robustesse vis-` a-vis d’erreurs sur ces pa- ram` etres, sans bruit de mesure sur les microphones.

La matrice spectrale mesur´ ee est simul´ ee ` a par- tir du mod` ele vibro-acoustique. Pour la matrice spec- trale mod´ elis´ ee, des erreurs sont introduites sur les pa- ram` etres suivants : position du contact, att´ enuation ou nombre d’onde de l’onde propagative. Dans les illustra- tions num´ eriques, pour une fr´ equence f donn´ ee l’an- tenne comporte 13 microphones, espac´ es de fa¸con ` a v´ erifier le crit` ere de Shannon spatial ( d ≤ λ

/ 2) ; sa longueur L est donc sp´ ecifique ` a chaque fr´ equence. L’an- tenne est dispos´ ee parall` element au rail ` a 3 m de celui-ci.

La position du centre de l’antenne z

sur cet axe est un

param` etre qui varie de 0 ` a 5 m (l’origine z

= 0 ´ etant face au contact z

).

Lorsqu’une erreur est introduite sur l’att´ enuation de l’onde propagative, la robustesse est v´ erifi´ ee pour les fortes att´ enuations : pour une erreur de ±10 dB / m sur l’att´ enuation, on constate moins de 1 dB d’erreur sur l’estimation de α . Pour les faibles att´ enuations, une impr´ ecision sur l’att´ enuation peut se traduire par une forte erreur sur l’estimation de α , et ceci d’autant plus que l’antenne est excentr´ ee du point de contact (figure 6). Plus g´ en´ eralement, c’est lorsque l’antenne est en face du contact que l’erreur d’estimation est minimale.

0 1 2 3 4 5

0 5 10 15

Atténuation en dB/m (Valeur exacte de Δ : 0.28 dB/m)

Erreur en dB sur l’estimation de α

Zc = 0 m Zc = 1 m Zc = 2 m Zc = 3 m Zc = 4 m Zc = 5 m

Figure 6 – Erreur d’estimation sur α en fonction de l’erreur sur l’att´ enuation, ` a 1000 Hz (Δ = 0 . 28 dB / m) Dans le cas d’une erreur sur le nombre d’onde de l’onde propagative, les observations sont similaires : bonne robustesse en basse fr´ equence, erreur d’estima- tion minimale lorsque l’antenne est en face du contact ( z

= 0). En hautes fr´ equences, o` u les ondes rayonn´ ees par le rail s’apparentent ` a des ondes planes (cf. section 3), l’angle de rayonnement mis en ´ evidence est directe- ment li´ e au nombre d’onde dans le rail [8]. Une erreur sur le nombre d’onde dans le rail ´ equivaut ` a consid´ erer un angle de rayonnement inexact au niveau du champ acoustique mod´ elis´ e. La figure 7 illustre ce comporte- ment ` a 1000 Hz. Les courbes sont similaires ` a celle de la r´ eponse ` a une onde plane d’une antenne avec forma- tion de voies : la m´ ethode est d’autant moins robuste que l’ouverture L/λ de l’antenne est grande. Enfin, les

0 5 10 15

0 10 20 30 40 50

Nombre d’onde en m⁻¹ (Valeur exacte du NbO : 4.29 m⁻¹)

Erreur en dB sur l’estimation de α Zc = 0 m

Zc = 1 m Zc = 2 m Zc = 3 m Zc = 4 m Zc = 5 m

Figure 7 – Erreur d’estimation sur α en fonction de l’erreur sur le nombre d’onde, ` a 1000 Hz

(( k

) = 4 . 3 m

)

r´ esultats montrent que la position z

du contact est un param` etre ` a connaˆıtre avec pr´ ecision, surtout pour les basses fr´ equences. En effet, en hautes fr´ equences, lorsque les ondes rayonn´ ees par le rail sont planes, la position de l’antenne dans un tel champ invariant dans l’espace importe peu. En pratique, cette information de position du contact par rapport ` a l’antenne sera a priori assez bien connue.

4.4 Amplitude et att´enuation inconnues

4.4.1 Etude du crit` ´ ere ` a minimiser

On suppose ` a pr´ esent que deux param` etres sont inconnus, ` a savoir l’amplitude de l’excitation et l’att´ enuation de l’onde propagative dans le rail. La so- lution de ce probl` eme, par une approche de minimisa- tion de l’erreur entre les matrices spectrales mesur´ ee et mod´ elis´ ee, n’a pas de solution analytique simple. La r´ esolution n´ ecessite l’utilisation d’une m´ ethode d’opti- misation. Au pr´ ealable, nous analysons le comporte- ment du crit` ere ` a minimiser, et notamment l’existence

´ eventuelle de minima locaux ou de zones plus vastes o` u la fonction coˆ ut varie faiblement autour de la solution.

On consid` ere une antenne microphonique de structure similaire ` a celle de la section 4.3.

Quelle que soit la fr´ equence observ´ ee, et quelle que soit la position z

du centre de l’antenne par rapport au contact, on constate l’existence d’une vall´ ee le long de laquelle Λ varie tr` es peu. La figure 8 illustre cette remarque pour f = 550 Hz et z

= 3 m ; le crit` ere Λ est trac´ e en ´ echelle logarithmique sur une grande plage de variation pour l’amplitude et l’att´ enuation. La forme et l’orientation de la vall´ ee d´ ependent de la fr´ equence et de la position de l’antenne. L’algorithme d’optimisa-

Amplitude |A|²

Atténuation (dB/m)

0 1 2 3 4

x 10⁻³ 6

7 8 9 10 11 12 13

14 −300

−200

−100 0 100 200 300 Point Solution 400

Figure 8 – Visualisation de Λ autour du point solution ( f = 550 Hz, z

= 3 m)

tion que nous utilisons dans un premier temps, est un algorithme de programmation s´ equentielle quadratique (m´ ethode SQP), particuli` erement adapt´ e aux probl` emes non lin´ eaires sous contraintes comme le nˆ otre [9]. Mˆ eme lorsque l’on initialise ` a proximit´ e du minimum, l’algo- rithme converge vers une mauvaise solution quelle que soit le cas ´ etudi´ e (fr´ equence, position de l’antenne). Le probl` eme ainsi d´ efini est mal conditionn´ e.

4.4.2 Utilisation de deux positions pour l’an- tenne

L’existence d’une vaste zone (ou vall´ ee) o` u la fonc- tion coˆ ut varie faiblement autour de la solution, indique que notre probl` eme d’optimisation est mal conditionn´ e.

Pour surmonter cette difficult´ e, nous avons d´ efini un nouveau crit` ere utilisant deux jeux de matrices spec- trales pour deux positions z

du centre de l’antenne diff´ erentes. Soit Λ

le crit` ere calcul´ e ` a la position z

et Λ

le crit` ere pour la position z

. On d´ efinit le crit` ere suivant :

Λ = Λ ˜

· Λ

(11)

Ce choix d’utiliser deux positions d’antenne diff´ erentes est motiv´ e par le fait que lors de mesures in situ , le v´ ehicule se d´ eplace par rapport ` a l’antenne.

Dans cet article, les signaux sont certes suppos´ es station- naires, mais l’objectif final ´ etant de r´ ealiser ce type de mesure au passage, on peut raisonnablement supposer que les diff´ erents contacts seront ”vus” pour plusieurs positions de l’antenne. La figure 9 repr´ esente le crit` ere Λ pour ˜ f = 550 Hz, z

= 3 m et z

= 5m. L’antenne utilis´ ee est la mˆ eme que dans la section 4.4.1.

Amplitude |A|²

Atténuation (dB/m)

0 1 2 3 4

x 10⁻³ 6

7 8 9 10 11 12 13

14 −300

−200

−100 0 100 200 300 Point Solution 400

Figure 9 – Visualisation du Crit` ere ˜ Λ ( f = 550 Hz, z

= 3 m, z

= 5 m)

Le crit` ere ˜ Λ tel qu’il est d´ efini pr´ esente un minimum

plus marqu´ e que lorsqu’il est d´ efini en n’utilisant qu’une

seule position pour l’antenne. Le point solution se situe ` a

la crois´ ee des vall´ ees minimum de Λ

et Λ

. Les premiers

tests effectu´ es avec un algorithme d’optimisation bas´ es

sur une m´ ethode SQP montrent que la convergence

vers la solution est syst´ ematique ; le probl` eme ainsi

pos´ e est mieux conditionn´ e. De nombreux param` etres

d’entr´ ee peuvent et doivent ˆ etre ajust´ es afin d’am´ eliorer

les performances de l’algorithme ; le choix des condi-

tions initiales est notamment d´ eterminant. L’objectif de

notre ´ etude ne portant pas sur cet aspect, nous nous

arrˆ eterons ` a ces r´ esultats pr´ eliminaires obtenus pour une

utilisation na¨ıve de l’algorithme. Nous avons n´ eanmoins

pu v´ erifier qu’avec le crit` ere (11), la convergence est as-

sur´ ee sur l’ensemble de la gamme de fr´ equence, mˆ eme

lorsque l’on initialise loin de la solution, ou proche d’une

vall´ ee minimum.

4.5 N contacts d’amplitude inconnue

On consid` ere ` a pr´ esent N contacts, associ´ es ` a N roues sur le rail. Les contacts sont suppos´ es d´ ecorr´ el´ es et d’amplitudes inconnues. Par extension de la section 4.1, chaque contact d’indice u ` a l’abscisse z

( u ∈ [[1 , N ]]) en- gendre un champ acoustique qui s’´ ecrit sous forme d’un champ ´ el´ ementaire p

( r, z ) multipli´ e par une amplitude complexe A

. Le champ acoustique total rayonn´ e par le rail excit´ e par l’ensemble de ces N contacts s’´ ecrit :

p ( r, z ) =

u=1

A

· p

( r, z )

=

u=1

A

·

−∞

−ω

G

( z

, z

)

4πrs(z,zs)

d

(12) Sous l’hypoth` ese de d´ ecorr´ elation des N excitations, la matrice spectrale mod´ elis´ ee sur les N

capteurs s’´ ecrit :

Γ

=

σ

Γ

(13)

avec :

σ

la variance de l’amplitude du contact u ,

Γ

la matrice spectrale sur les N

capteurs relative au contact u .

Des ´ equations (13) et (4) on d´ eduit le crit` ere Λ pour N contacts :

Λ =

n,m

|Γ

|

− 2

u

α

U

+

u,v

α

α

V

(14) avec :

U

=

m,n

( P

)

Γ

( P

)

,

P

le vecteur de la pression unitaire mod´ elis´ ee sur l’an- tenne, relatif au contact u ,

V

=

m

( P

)

( P

)

2

, α

= σ

Ainsi, d’apr` es l’´ equation (14), trouver les α

qui mi- nimisent Λ revient ` a r´ esoudre :

∀u ∈ [[1 , N ]] ∂ Λ

∂α

= 0 (15)

D’apr` es les ´ equations (14) et (15) minimiser le crit` ere Λ pour N contacts revient ` a r´ esoudre le syst` eme matri- ciel :

⎡

⎢ ⎣

V

· · · V

.. . . .. .. . V

· · · V

⎤

⎥ ⎦

⎡

⎢ ⎣ α

.. . α

⎤

⎥ ⎦ =

⎡

⎢ ⎣ U

.. . U

⎤

⎥ ⎦ (16)

La solution d’un tel syst` eme est unique si et seule- ment si la matrice V est inversible. Dans ce cas, si les α

trouv´ es sont positifs, ils sont ´ egalement solu- tion du probl` eme d’optimisation. Dans les autres cas, lorsque la matrice V n’est pas inversible ou que les α

trouv´ es ne sont pas tous positifs, il faudra utiliser un al- gorithme d’optimisation pour minimiser le crit` ere (14) sous contrainte de positivit´ e des α

. En l’absence de bruit, les r´ esultats obtenus par inversion de la matrice V sont bien les solutions du probl` eme d’optimisation, sur l’ensemble de la gamme de fr´ equence ´ etudi´ ee (jus- qu’` a 3000 Hz).

5 Conclusion

Le caract` ere ´ etendu du rail en fait une source acous- tique difficile ` a caract´ eriser avec les m´ ethodes de trai- tement d’antenne classiques ; le champ acoustique qu’il rayonne pr´ esente en effet des propri´ et´ es trop h´ et´ erog` enes avec la fr´ equence. Dans cet article, une m´ ethode d’op- timisation param´ etrique bas´ ee sur la minimisation d’un crit` ere d’erreur quadratique est propos´ ee ; il s’agit de l’erreur commise entre la matrice spectrale mesur´ ee sur l’antenne et une matrice spectrale calcul´ ee ` a partir d’une mod´ elisation vibro-acoustique du rail. Des simulations ont permis de v´ erifier la robustesse de cette m´ ethode aux erreurs de mod´ elisation pour un cas simple o` u seule l’amplitude de l’excitation est inconnue. Lorsque deux param` etres sont inconnus, l’utilisation de plusieurs po- sitions pour l’antenne rend le probl` eme d’optimisation mieux conditionn´ e. Enfin, pour N contacts d’amplitude inconnue, les premiers r´ esultats sont encourageants. Ac- tuellement, des cas plus complexes sont ´ etudi´ es : super- position de plusieurs ondes avec des param` etres incon- nus suppl´ ementaires (nombres d’onde).

R´ ef´erences

[1] Mellet C., L´ etourneaux F., et al. , ”High speed train noise emission : Latest investigation of the ae- rodynamic/rolling noise contribution”, Journal of Sound and Vibration 293(3-5), 535-546 (2006).

[2] Thompson D.J., Jones C.J.C., ”A review of the mo- delling of wheel/rail noise generation”, Journal of Sound and Vibration 231(3), 519-536 (2000).

[3] Thompson D.J., Hemsworth B., Vincent N., ”Expe- rimental validation of the TWINS prediction pro- gram for rolling noise, Part 1 : description of the model and method”, Journal of Sound and Vibra- tion 193, 123-135 (1996).

[4] Pallas M.-A., Lelong J., et al. , ”Tram noise emis- sion : spectral analysis of the noise source contri- butions”, EuroNoise 08 , 2863-8 (2008).

[5] Kitagawa T., Thompson D.J., ”Comparison of wheel/rail noise radiation on Japanese railways using the TWINS model and microphone array measurements”, Journal of Sound and Vibration 293, 496-509 (2006).

[6] Knothe K., Grassie S.L., ”Modeling of railway track and vehicle/track interaction at high frequencies”, Vehicle System Dynamics 22, 209-262 (1993).

[7] Hamet J.-F., ”Railway noise : use of the Timo- shenko model in rail vibration studies”, acta acus- tica 85, 54-62 (1999).

[8] Thompson D.J., Jones C.J.C., ”Investigation into the validity of two-dimensional models for sound radiation from waves in rails”, J. Acoust. Soc. Am.

113 (4), 1965-1974 (2003).

[9] Biggs M.C., ”Constrained Minimization Using Re-

cursive Quadratic Programming” Towards Glo-

bal Optimization (L.C.W. Dixon and G.P. Szergo,

eds.), 341-349 (1975).