Le cas simplifi´ e du cylindre vibrant

a haute fr´equence et que les fronts d’onde ne sont jamais parall`eles au rail. L’approche

bidimensionnelle est donc tr`es insuffisante si l’on souhaite simuler un champ de pression

r´ealiste. Des m´ethodes couplant ´el´ements finis de fronti`ere et approche ondulatoire peuvent

ˆ

etre utilis´ees [48].

1.3.2 Le cas simplifi´e du cylindre vibrant

Un cylindre vibrant infiniment long, de rayon R

c

et d’axeOz, rayonne dans l’espace^~

infini rempli d’un fluide initialement au repos :

Figure1.17: Rep`ere (0, ~r, ~z)associ´e au cylindre vibrant

1.3.2.1 Solution g´en´erale

Le mouvement du cylindre est d´ecrit par la vitesse vibratoire radiale harmonique de

sa surface, dont l’amplitude complexe est :

V

_r

(r=R

c

) =V

₀

e

^−ikzz

cos(m

0

ϕ) (1.13)

Avec :

k

_z

le nombre d’onde dans le cylindre,

m

0

le nombre quantique d´ependant du cas ´etudi´e,

(r, ϕ) les coordonn´ees polaires dans le plan perpendiculaire `a l’axe⁻O^→

_z

du cylindre.

On peut donner l’amplitude complexe de la pression dans le cas g´en´eral [49] :

p(r, ϕ, z) = ⁻ⁱ

4 ^A

^l

^H

(2) m0

(k

_w

r)e

^−ikzz

cos(m

₀

ϕ) (1.14)

A

_l

= ^{4k c ρ}

⁰

^V

⁰ ∂ ∂r

H

m⁽²⁾0

(k

_w

r)

r=Rc

Avec :

k

_w

le nombre d’onde dans le plan (r, ϕ) tel quek

²

=k

²_w

+k

²_z

H

_m⁽²⁾₀

la fonction de Hankel du deuxi`eme type, d’ordre m

₀

L’expression (1.14) montre que dans tout plan contenant l’axe⁻O^→

_z

, les ondes rayonn´ees

par le cylindre vibrant sont planes.

1.3.2.2 Monopˆole et dipˆole cylindriques

Le monopˆole cylindrique, ´egalement appel´e cylindre pulsant, est un vibreur d’ordre

z´ero (m

₀

= 0). Dans le cas limite o`u le rayonR

_c

du cylindre est tr`es inf´erieur `a la longueur

d’onde consid´er´ee (k

w

R

c

1) :

A

_l

=i ω Q

_l

(1.15)

o`u Q

_l

= 2πR

_c

V

₀

ρ

₀

est le d´ebit massique lin´eique du monopˆole.

Le dipˆole cylindrique, ´egalement appel´e cylindre oscillant, est un vibreur d’ordre un

(m

0

= 1). Dans le cas limite o`u le rayon R

c

du cylindre est tr`es inf´erieur `a la longueur

d’onde consid´er´ee (k

w

R

c

1) :

A

_l

=i ω M

_l

k

_w

(1.16)

o`u M

_l

=Q

_l

R

_c

est le moment dipolaire massique lin´eique du dipˆole.

1.3.2.3 Expression en champ lointain

Lorsque |x|=|k

_w

r| → ∞ (ce qui correspond physiquement `a r 2π/k

_w

) la fonction

de Hankel peut s’´ecrire [50] :

H

_m⁽²⁾₀

(x=k

_w

r)∼

r

2

πx^e

−i(x−(2m0+1)^π₄)

=

r

2

πk

_w

r^e

−i(kwr−(2m0+1)^π₄)

(1.17)

Cette expression s’apparente donc `a une fonction d’onde cylindrique `a d´ecroissance en

√¹

r

.

1.3.2.4 Nombre d’onde critique

En posantα=k

z

/k, on peut ´ecrirek

w

de la mani`ere suivante :

k

²_w

= k

²

−k

_z²

(1.18)

= k

²

(1−α

²

) (1.19)

Ainsi plusieurs situations se pr´esentent suivant la valeur de α :

– Siα≤1 alors 1−α

²

≥0 et k

_w

=k^√1−α

2

– Siα≥1 alors 1−α

²

≤0 et k

_w

=−ik^√α

2

−1

Remarque : Les signes sont attribu´es de mani`ere `a respecter les conventions utilis´ees

pour les fonctions de Hankel. Cette convention impose `a la variable k

w

r d’avoir sa partie

r´eelle positive et sa partie imaginaire n´egative.

On peut alors donner l’expression du champ de pression en champ lointain, pour un

monopˆole cylindrique (m

0

= 0) :

p(r, z) =















−

₄ⁱ

A^q

² πkr^√1−α2

e

^−ikr √ 1−α2+iπ/4

e

^−ikαz

si α≤1

ou

−

i 4

A^q

² −iπkr^√α2−1

e

^−kr √ α2−1+iπ/4

e

^−ikαz

si α≥1

(1.20)

Cette approximation permet d’observer deux modes de propagation. Pour α ≤ 1, la

d´ependance radiale du champ de pression est une onde propagative vers lesrcroissants avec

une amplitude en 1/^√r. Pourα ≥1 il n’y a plus de propagation : l’onde est ´evanescente

en r avec une amplitude qui d´ecroˆıt exponentiellement.

1.3.2.5 Angle de rayonnement

Lorsque α ≤1 (c’est-`a-dire lorsque k

z

≤k), la pression rayonn´ee au point M(r, ϕ, z)

peut s’´ecrire sous la forme :

p(r, ϕ, z) =−ⁱ

4^A

s

2

πkr^√1−α

2

e

^(2m0+1)i^π₄

e

^−i~k

^·

^OM~

cos(m

0

ϕ) (1.21)

avec :^~k=ksinθ ~u

r

+kcosθ ~u

z

et

θ= arccos

k

_z

k

= arccos(α) α∈[0,1] (1.22)

Cet angle de rayonnementθcorrespond `a la direction de propagation de l’onde

acous-tique par rapport `a l’axe~z du cylindre comme le montre la figure 1.18.

Remarque :lorsqueα= 0 la direction de propagation est perpendiculaire `a l’axe du

cylindre (k

z

= 0, cas 2D) ; lorsque α tend vers 1 le nombre d’onde k tend vers la valeur

critique k

_z

et l’onde devient rasante et ne se propage plus selon l’axe~r.

Figure1.18: Composition des vecteurs d’onde, angle de rayonnement

1.3.2.6 Application au cas du rail

Ce mod`ele de cylindre vibrant peut ˆetre utilis´e pour repr´esenter en premi`ere approche

le rayonnement du rail d’un cˆot´e de l’excitation, dans le cas o`u l’att´enuation des ondes est

faible, c’est-`a-dire pour les hautes fr´equences. Le nombre d’onde k

z

dans le cylindre est

assimil´e `a la partie imaginaire (propagative) de la constante de propagationγ

p

des ondes

propagatives dans le rail. `A une fr´equence et un mod`ele vibratoire donn´es correspond ainsi

une valeur deα et un angle de rayonnement θparticuliers.

Dans l’exemple suivant, le mod`ele vibratoire retenu pour le rail est une poutre d’Euler

sur support continu de type ballast. L’expression de k

z

= =(ik

β

) d´ecoule donc de la

relation de dispersion (1.2) du paragraphe 1.2.2.1. La figure 1.19 repr´esente, pour deux

fr´equences donn´ees, la phase dans le plan (r, z) de la pression rayonn´ee par un monopˆole

cylindrique infini, parcouru par une onde vibratoire non att´enu´ee.

z (m)

r (m)

Champ de pression rayonné par un monopôle cylindrique (phase) −− f = 240 Hz

0 2 4 6 8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 z (m) r (m)

Champ de pression rayonné par un monopôle cylindrique (phase) −− f = 1000 Hz

0 2 4 6 8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Figure 1.19: Phase de la pression rayonn´ee par un rail mod´elis´e acoustiquement par

un monopˆole cylindrique (mod`ele vibratoire de poutre d’Euler sur support continu de type

ballast). Gauche : f = 240 Hz, α = 0.63, θ = 51

^◦

. Droite : f = 1000 Hz, α = 0.22,

θ= 77

^◦

.

Pourf = 240 Hz, l’att´enuation de l’onde propagative dans le rail vaut 2 dB/m (cf. figure

1.5 paragraphe 1.2.2.1). Pourf = 1000 Hz, elle vaut 0.34 dB/m. Pour ces valeurs d’att´

e-nuation relativement faibles, l’onde propagative se propage effectivement sur une grande

distance le long du rail et le mod`ele de cylindre infini refl`ete correctement le rayonnement

acoustique du rail. La figure 1.19 illustre bien l’angle de directivit´e ´evoqu´e pr´ec´edemment.

Plus g´en´eralement, lorsque l’att´enuation dans le rail est faible, l’utilisation d’un mod`ele

simple de cylindre vibrant met en ´evidence la propagation d’ondes acoustiques cylindriques

dont la directivit´e d´epend du nombre d’onde dans le rail, et donc de la fr´equence

Pour les fr´equences o`u l’att´enuation de l’onde propagative dans le rail est importante,

l’hypoth`ese de cylindre vibrant infini n’est plus repr´esentative du comportement rayonnant

du rail. Par exemple, avec le mod`ele vibratoire adopt´e ici (poutre d’Euler sur support

continu de type ballast), la limite α = 1 correspond `a une fr´equence f = 80 Hz pour

laquelle l’att´enuation de l’onde propagative est proche de 10 dB/m.

Dans le document Caractérisation du rayonnement acoustique d'un rail à l'aide d'un réseau de microphones (Page 37-41)