Pression quadratique moyenne sur une ligne parall` ele au rail

Q

n

iωρ

1 +ika

Q

n

4πa⁺

N

X

j=1 j6=n

iωρ

1 +ika

Q

j

4πr

nj

e

^−ikrnj

∗

(G.16)

Apr`es d´eveloppements :

W

tot

=^X

n

ρck

²

|Q

n

|

²

8π(1 +k

2

a

2

) ⁺

X

n,j n6=j

ρck

8π(1 +k

2

a

2

)r

_nj

^<

h

Q

n

Q

^∗_i

e

^ikrnj

(ka−i)

i

(G.17)

`

A pr´esent, on fait tendreavers 0 :

W

_tot

=^X

n

ρck

²

|Q

_n

|

²

8π ⁺

X

n,j n6=j

ρck

8πr

nj

=^hQ

_n

Q

^∗_i

e

^ikrnj

i

(G.18)

avec =

Q

_n

Q

^∗_i

e

^ikrnj

=<[Q

_n

Q

^∗_i

] sin (kr

_ni

) +=[Q

_n

Q

^∗_i

] cos (kr

_ni

).

Comme=[Q

_n

Q

^∗_i

] =−=[Q

_i

Q

^∗_n

] on obtient au final :

W

_tot

=^X

n

ρck

²

|Q

_n

|

²

8π ⁺

X

n,j n6=j

ρck

²

<[Q

_n

Q

^∗_i

]

8π

sin (kr

nj

)

kr

_nj

^(G.19)

G.3 Pression quadratique moyenne sur une ligne parall`ele

au rail

Sur un segment [z

_e

, z

_max

] de longueurL :

hp

²

i= ¹

L

zmax

Z

ze

|p(R, z)|

2

2 ^{dz (G.20)}

Dans ce cas z

max

est l’abscisse sur la demi-droite [z

e

,+∞) pour laquelle la puissance

acoustique est de 20 dB inf´erieure `a la puissance maximale rencontr´ee en parcourant la

demi-droite depuisz=z

_e

.

10 log

max

z

|p(R, z)|

2

Remarque :les unit´es pr´ec´ed´ees d’un ast´erisque

^∗

indiquent que la variable en question

peut ´egalement ˆetre sans unit´e, dans le cas o`u la matrice Γest normalis´ee.

B Rigidit´e en flexion verticale Nm

²

C Crit`ere des moindres carr´es

^∗

Pa

⁴

E Module d’´elasticit´e de l’acier N/m

²

F Force N

F Fonction `a minimiser

F

_d

/B Amplitude complexe de l’onde de champ proche m/N

dans une poutre ´epaisse en flexion sur support continu

F

p

/B Amplitude complexe de l’onde propagative m/N

dans une poutre ´epaisse en flexion sur support continu

G Module de cisaillement de l’acier N/m

²

G

ω

Fonction de Green vibratoire m/N

H

_{F V}

Gain du filtrage spatial r´ealis´e par la formation de voies

H

m⁽²⁾0

Fonction de Hankel du deuxi`eme type, d’ordrem

0

I Matrice identit´e

I Moment d’inertie du rail m

⁴

I

_~r

Intensit´e acoustique radiale W/m

²

I

_~z

Intensit´e acoustique longitudinale W/m

²

K Rigidit´e au cisaillement N

L

_θ

Largeur `a la base du lobe principal de directivit´e rad

de la formation de voies en onde planes

M Matrice carr´ee complexe

M Masse du rail par unit´e de longueur kg/m

M

_ach

Nombre de Mach

M

_l

Moment dipolaire massique lin´eique du dipˆole cylindrique kg/s

M

t

Masse d’une demi traverse kg

N

_c

Nombre de microphones d’une antenne

O Origine des rep`eres

P Plan de variation Att´enuation / Nombre d’onde

P

²

Pression quadratique Pa

²

Q

_n

D´ebit volumique de la sourcen m

³

/s

Q

l

D´ebit massique lin´eique du monopˆole cylindrique kg/(ms)

Q

_l0

D´ebit massique lin´eique unitaire du monopˆole cylindrique

R Distance entre l’axe du rail et celui de l’antenne m

R

c

Rayon du cylindre vibrant m

R

eq

Rayon ´equivalent de rayonnement du rail m

R

_sb

Rapport signal `a bruit

S Matrice spectrale mod´elis´ee sur l’antenne

S

_{F OC}

Sortie complexe de la formation de voies ondes sph´eriques

S

_{F V}

Sortie complexe de la formation de voies ondes planes

U Vecteur d´ependant des vecteurs source (eq. (3.47))

^∗

Pa

²

V Matrice carr´ee sym´etrique d´ependant des vecteurs source (eq. (3.47))

^∗

Pa

²

V Vitesse du v´ehicule ferroviaire m/s

V

_r

Amplitude complexe de la vitesse vibratoire radiale harmonique

de la surface du rail m/s

f

V

_r

Transform´ee de Fourier de la vitesse vibratoire m/s

V

₀

Amplitude r´eelle de la vitesse vibratoire radiale harmonique m/s

de la surface du rail

W

tot

Puissance acoustique totale rayonn´ee par le rail Pa

²

X Vecteur des variances des sources

^∗

Pa

²

Y Fonction de l’abscisse sur le railz m

³

et de la constante de propagation γ (eq. (1.11))

a Espace inter-traverses m

a

_1,2

Coefficients solutions du syst`eme (C.12) m

^−2/N

a

np

Att´enuation dans le milieu de propagation entre la source s

et le microphonen

b Distance entre l’axe de l’antenne et la trajectoire d’une source mobile m

b Amplitude complexe du bruit sur les microphones de l’antenne Pa

b

1,2

Coefficients solutions du syst`eme (C.12) m

^−2/N

d

_p

Vecteur source normalis´e relatif `a la source p

d Distance entre les microphones d’une antenne lin´eaire m

`

a capteurs ´equidistants

f Fr´equence Hz

f

_p

Fr´equence de r´esonance d’un rail sur support b´eton

f

anti

Fr´equence de r´esonance de la traverse entre les raideurs Hz

du ballast et de la semelle (support ballast)

f

_ballast

Fr´equence de r´esonance du rail et de la traverse en phase Hz

sur la raideur du ballast (support ballast)

f

_semelle

Fr´equence de r´esonance du rail sur la raideur de la semelle Hz

(support ballast)

f

x

Fonction de vraisemblance de la r´ealisationx

h Fonction caract´eristique du fenˆetrage spatial r´ealis´e par l’antenne

k Nombre d’onde dans l’air rad/m

k

B

Nombre d’onde de flexion d’une poutre mince m

⁻¹

k

_β

Nombre d’onde complexe d’une poutre mince

en flexion sur support continu m

⁻¹

k

c

Nombre d’onde des ondes de compression m

⁻¹

k

_d

Nombre d’onde complexe de champ proche d’une poutre ´epaisse

en flexion sur support continu m

⁻¹

k

p

Nombre d’onde complexe propagatif d’une poutre ´epaisse

en flexion sur support continu m

⁻¹

k

^∗_t

Nombre d’onde des ondes de cisaillement m

⁻¹

k

w

Nombre d’onde dans le plan (r, ϕ)

k

z

Nombre d’onde structural r´eel suivant la direction~z m

⁻¹

m

₀

Nombre quantique pour les fonctions de Hankel

p Amplitude complexe de la pression acoustique dans l’espace Pa

r Coordonn´ee radiale du rep`ere cylindrique m

r

_{F C}

Distance entre le point focalF et le microphone de r´ef´erenceC m

r

F n

Distance entre le point focalF et le microphone n m

r

np

Distance entre la sourcep et le capteurn (chapitre 3) m

r

_ns

Distance entre la source ´el´ementaire d’abscissez

_s

sur le rail m

et le microphone n

r

SC

Distance entre la source S et le microphone de r´ef´erenceC m

r

_Sn

Distance entre la source S et le microphone n m

r

_s

Distance entre le point courant et la source ´el´ementaire m

d’abscisse z

s

sur le rail

r

_t

Signal temporel de rugosit´e m

r

_z

Signal spatial de rugosit´e m

s Signal source (complexe) Pa

s Raideur dynamique apparente d’une attache N/m

s

⁰

Raideur dynamique lin´eique ´equivalente du support N/m

2

s

0

Amplitude r´eelle d’une source acoustique Pa

s

_b

Raideur du ballast N/m

s

_n

Signal acoustique complexe re¸cu par le microphonen Pa

s

p

Raideur de la semelle N/m

t Temps s

v

_p

Vecteur source relatif `a la source p

w Pond´eration spatiale

x

_S

Abscisse d’une source mobile m

x

F

Abscisse du point focal m

y

_p

Amplitudes complexes sur l’antenne relatives `a la source p Pa

z Abscisse absolue sur le rail m

˜

z Abscisse relative entre deux traverses m

z

_c

Abscisse du microphone central de l’antenne m

z

e

Abscisse de l’excitation sur le rail m

˜

z

e

Abscisse erron´ee de l’excitation sur le rail m

z

_s

Abscisses des sources ponctuelles ´el´ementaires sur le rail m

∆ Att´enuation d’une onde vibratoire dB/m

∆

_∆

Pas de discr´etisation en att´enuation dB/m

∆

_kz

Pas de discr´etisation en nombre d’onde m

⁻¹

∆

p

Att´enuation de l’onde propagative dB/m

∆

z

Pas de discr´etisation en z m

Γ Fonction d’autocorr´elation

Γ Matrice de covariance (matrice interspectrale) Pa

²

α Nombre d’onde r´eduit (k

z

/k) m

⁻¹

β Constante de d´ecroissance d’une onde m

⁻¹

γ Constante de propagation complexe m

⁻¹

γ

_d

Constante de propagation complexe de l’onde de champ proche

(poutre support´ee p´eriodiquement) m

⁻¹

γ

_p

Constante de propagation complexe de l’onde propagative

(poutre support´ee p´eriodiquement) m

⁻¹

γ

_p

Densit´e spectrale de puissance de la sourcep (chapitre 3) [unit]

²

/Hz

γ

_s

Densit´e spectrale de puissance du signals [unit]

2

/Hz

γ

mn

Densit´e interspectrale de puissance entre les signaux m etn [unit]

²

/Hz

δ

_L

Peigne de diracs espac´es deL

ζ Param`etres inconnus d’un probl`eme inverse

η

_b

Facteur de pertes dans le ballast

η

_e

Coefficient de pertes internes dans l’acier

η

p

Facteur de pertes dans la semelle

θ Angle d’incidence rad

κ Coefficient de cisaillement

λ

air

Longueur d’onde dans l’air m

λ

_rail

Longueur d’onde dans le rail m

µ Fr´equence spatiale m

⁻¹

µ

_φ

Nombre d’onde correspondant `a la direction de l’excitation

ν Coefficient de poisson

ξ D´eplacement vertical du rail m

ρ Masse volumique de l’acier kg/m

3

ρ

0

Masse volumique de l’air kg/m

³

σ

²_s

Variance du signals Pa

²

τ Retard s

φ D´ephasage rad

ϕ Coordonn´ee angulaire du rep`ere cylindrique rad

χ D´ecalage spatial (figure 1.1) m

ω Pulsation rad/s

Liste des indices, exposants, accents et abr´eviations courantes

0 R´ef´erence, origine

F V Formation de voies

F OC Focalisation

M V Maximum de vraisemblance

TF Transform´ee de Fourier

eq Equivalent^´

b Relatif au bruit

max Maximum

mes Mesur´e

min Minimum

mod Mod´elis´e

n Relatif au microphonen(chapitre 3)

opt Optimis´e

p Relatif `a la source p (chapitre 3)

E[. . .] Esp´erance math´ematique

H(. . .) Matrice hessienne (chapitre 3)

ˆ Estimation

∗

Op´eration de conjugaison simple

t

Op´eration de transposition simple

†

Op´eration «transpos´ee conjugu´ee»

M

⁻1

Inversion de matrice

det(M) D´eterminant

<·> Moyenne spatiale

h , i Produit scalaire canonique surC

ⁿ

[[1, N ]] Entiers compris entre 1 etN

∇ Op´erateur gradient

Produit de Hadamard (produit terme `a terme de deux matrices)

~ Produit de convolution

= Partie imaginaire

< Partie r´eelle

C Ensemble des nombres complexes

R Ensemble des nombres r´eels

Dans le document Caractérisation du rayonnement acoustique d'un rail à l'aide d'un réseau de microphones (Page 195-199)