Etude num´ ´ erique

Z

−∞

f

V

_r

(µ)H

₀⁽²⁾

(k

w

r)e

^iµz

dµ (1.28)

avec k

w

le nombre d’onde dans le plan (r, ϕ) tel quek

²

=k

²_w

+µ

²

.

Ainsi, le champ de pression rayonn´e par un rail de profil vibratoire V

_r

(z) peut ˆetre

consid´er´e comme la superposition de champs ´el´ementaires cylindriques dont les

contribu-tions sont donn´ees parfV

_r

(µ). Par ailleurs, en utilisant un mod`ele de poutre pour mod´eliser

les vibrations du rail, l’expression defV

_r

(µ) est analytique. En s’appuyant sur les r´esultats

de [34], on obtient, dans le cas d’une poutre d’Euler sur support continu [51] :

f

V

_r

(µ) = ^iω

B

e

^−iµze

µ

4

−k

⁴_β

^(1.29)

Et dans le cas d’une poutre de Timoshenko sur support continu :

f

V

_r

(µ) =^iω

B

1−

_K^B

(−µ

²

+k

_c²

+

^s0_K^(ω)

)

µ

2

−k

2 p

µ

2

−k

²_d

^e

−iµze

(1.30)

Des expressions plus complexes existent ´egalement dans les cas o`u la p´eriodicit´e du support

est prise en compte [51].

1.3.4 Etude num´^´ erique

Avec les expressions pr´ec´edentes, la pression peut ˆetre calcul´ee num´eriquement soit en

discr´etisant l’int´egrale (1.25), soit en effectuant une transform´ee de Fourier rapide (FFT)

pour ´evaluer l’int´egrale (1.28) (ces deux ´equations sont ´equivalentes). La premi`ere m´ethode

est plus adapt´ee aux cas o`u l’att´enuation des ondes est importante car l’int´egrale peut ˆetre

´evalu´ee sur une longueur totale assez faible et en basses fr´equences car la longueur d’onde

´etant importante, le pas de discr´etisation peut ˆetre grossier. Inversement, la deuxi`eme

m´ethode est adapt´ee aux cas o`u l’att´enuation des ondes est faible. En effet, dans le cas

contraire, des singularit´es peuvent apparaˆıtre dans le domaine de Fourier, ce qui implique

le choix d’un pas de discr´etisation tr`es fin.

Dans cette th`ese, les simulations du champ de pression dans l’espace sont r´ealis´ees `a

partir du mod`ele 3D, par discr´etisation de l’int´egrale (1.25) dans les conditions suivantes :

– La distance ∆

z

entre deux monopˆoles successifs doit ˆetre suffisamment petite par

rapport aux longueurs d’onde dans le rail et dans l’air. Une pr´ecision suffisante est

assur´ee pour ∆

_z

= (1/5)·min(λ

_rail

, λ

_air

).

– Une source est plac´ee en z

e

, puis tous les ∆

z

jusqu’`a atteindre 60 dB d’att´enuation

pour l’onde propagative.

10. Avec la convention adopt´ee pour d´efinir la transform´ee de Fourier,µ >0 correspond `a des ondes se

La figure 1.20 reprend la figure 1.16 avec les param`etres de la discr´etisation.

Figure 1.20: Discr´etisation spatiale du rail

La suite du paragraphe propose une visualisation, en module et en phase, du champ

de pression rayonn´e par un rail soumis `a une excitation ponctuelle unitaire en z

e

, pour

plusieurs fr´equences. Le champ vibratoire dans le rail est obtenu `a partir d’un mod`ele de

poutre de Timoshenko sur supports p´eriodiques de type ballast. Les param`etres m´

eca-niques du rail sur son support sont identiques `a ceux utilis´es dans la partie 1.2 (cf. table

1.1).

Pour chaque trac´e, l’att´enuation ∆

_p

de l’onde propagative `a la fr´equence ´etudi´ee ainsi

que la position de z

_e

par rapport aux traverses sont pr´ecis´ees. La dynamique des trac´es en

amplitude est fix´ee `a 60 dB et le maximum correspond au niveau de pression maximum

calcul´e.

Att´enuation ´elev´ee (f = 340 Hz, ∆

p

= 17.7 dB/m)

Module

Abscisse sur le rail (m) (z_e = 0)

Distance à l’axe du rail (m)

0 5 10 15

5 10 15

Phase

Abscisse sur le rail (m) (z_e = 0)

Distance à l’axe du rail (m)

0 5 10 15

5 10 15

Figure 1.21: Champ de pression rayonn´e par le rail pour f = 340 Hz. Dynamique du

module de la pression : 60 dB. Effort centr´e appliqu´e entre traverses.

`

A cette fr´equence, les ondes vibratoires sont rapidement att´enu´ees le long du rail ; ce

dernier ne vibre qu’au voisinage du point d’application de l’effort et se comporte donc

comme une source ponctuelle. Les fronts d’onde (les lignes o`u la phase est constante) ont

alors des allures sph´eriques. La p´eriodicit´e du support ainsi que la position de l’excitation

par rapport aux traverses ont peu d’influence sur l’allure du champ de pression.

Att´enuation interm´ediaire (f = 560 Hz, ∆

_p

= 4.07 dB/m)

Module

Abscisse sur le rail (m) (z

e = 0)

Distance à l’axe du rail (m)

0 5 10 15

5 10 15

Phase

Abscisse sur le rail (m) (z

e = 0)

Distance à l’axe du rail (m)

0 5 10 15

5 10 15

Figure 1.22: Champ de pression rayonn´e par le rail pour f = 560 Hz. Dynamique du

module de la pression : 60 dB. Effort centr´e appliqu´e entre traverses.

Pour f = 560 Hz, l’onde propagative est moyennement att´enu´ee dans le rail, et l’att´

e-nuation de l’onde de champ proche atteint un minimum. Pour la portion d’espace proche

de la partie vibrante du rail, la phase du champ de pression rayonn´e fait clairement

appa-raˆıtre des fronts d’onde plans inclin´es par rapport `a l’axe du rail. En effet, on se rapproche

du cas analytique du cylindre vibrant de la partie 1.3.2 o`u la notion d’angle de directivit´e

que l’on retrouve ici a ´et´e abord´ee. Toutefois, `a grande distance du point d’excitation,

l’ef-fet du caract`ere ´etendu de la source disparaˆıt, et le champ acoustique retrouve un caract`ere

sph´erique. Ainsi, pour ce cas interm´ediaire, les propri´et´es du champ acoustique rayonn´e

par le rail sont h´et´erog`enes et varient fortement selon la portion de l’espace consid´er´ee.

Att´enuation faible (f = 1600 Hz, ∆

_p

= 0.28 dB/m)

Module

Abscisse sur le rail (m) (z_e = 0)

Distance à l’axe du rail (m)

0 5 10 15

5 10 15

Phase

Abscisse sur le rail (m) (z_e = 0)

Distance à l’axe du rail (m)

0 5 10 15

5 10 15

Figure 1.23: Champ de pression rayonn´e par le rail pour f = 1600 Hz. Dynamique du

module de la pression : 60 dB. Effort centr´e appliqu´e entre traverses.

Pour f = 1600 Hz, les ondes vibratoires se propagent sur une grande distance dans

le rail, qui se comporte de plus en plus comme un cylindre vibrant. Les fronts d’onde

sont plans dans tout l’espace observ´e (`a l’exception de la zone situ´ee au droit du point

d’excitation) et sont inclin´es suivant un angle de directivit´e identique `a celui ´etudi´e dans

la partie 1.3.2.5. L’allure du module du champ de pression laisse apparaˆıtre l’effet de la

p´eriodicit´e du support dans la mesure o`u la fr´equence se rapproche de la fr´equencepin-pin.

Fr´equence pin-pin (f = 1090 Hz, ∆

p

= 1.56 dB/m)

Module

Abscisse sur le rail (m) (z

e = 0)

Distance à l’axe du rail (m)

0 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Phase

Abscisse sur le rail (m) (z

e = 0)

Distance à l’axe du rail (m)

0 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figure 1.24: Champ de pression rayonn´e par le rail pour f = 1090 Hz. Dynamique du

module de la pression : 60 dB. Effort centr´e appliqu´e entre traverses.

`

A la fr´equence pin-pin, des nœuds et des ventres de vibration apparaissent le long du

rail. D’un point de vue vibratoire, les ondes sont quasi-stationnaires et vont entraˆıner un

rayonnement acoustique normal `a l’axe du rail.

1.4 Conclusion

`

A travers l’´etude des propri´et´es vibro-acoustiques du rail, nous avons dans ce chapitre

mis en avant des r´esultats essentiels concernant la caract´erisation du champ de pression

rayonn´e par le rail.

Plusieurs sortes d’ondes vibratoires se propagent dans le rail, en particulier des ondes

de flexion verticales et lat´erales. Ces types d’ondes sont compos´es d’une onde de champ

proche fortement att´enu´ee ainsi que d’une onde propagative dont l’att´enuation, beaucoup

plus faible, d´epend de la fr´equence et de la nature du support du rail. Suivant que cette

onde est effectivement propagative ou non, le champ de pression rayonn´e par le rail aura des

propri´et´es diff´erentes. Pour une att´enuation ´elev´ee, le rail se comporte comme une source

ponctuelle et rayonne une onde sph´erique ; en revanche, pour une att´enuation faible, le rail

est une source ´etendue au comportement proche de celui d’un cylindre vibrant, il rayonne

une onde plane caract´eris´ee par un angle de rayonnement li´e au rapport des nombres

d’onde structural et acoustique. Pour les cas interm´ediaires, suivant les portions de l’espace

observ´ees, le champ de pression est une superposition de ces champs ´el´ementaires. Nous

avons ´egalement vu que la p´eriodicit´e du support a une influence importante sur l’allure du

champ de pression pour les fr´equences proches de la fr´equencepin-pin. Pour ces fr´equences,

le rayonnement acoustique du rail est normal `a son axe.

Ainsi, au passage d’un v´ehicule ferroviaire, pour chaque contact roue/rail, chaque onde

vibratoire rayonne ce type de champ acoustique dans le r´ef´erentiel mobile du contact. C’est

ce champ de pression complexe que nous cherchons `a caract´eriser `a l’aide des antennes

microphoniques.

de la voie dans la litt´erature

La caract´erisation du rayonnement acoustique de la voie, et plus particuli`erement du

rail, a donn´e lieu `a relativement peu de publications. La plupart des approches, qu’elles

soient bas´ees ou non sur l’utilisation d’une antenne microphonique, sont quantitatives et

ne tiennent pas compte des sp´ecificit´es vibro-acoustiques de la source. Ce chapitre pr´esente

ces m´ethodes de caract´erisation, ainsi qu’une analyse plus approfondie du comportement

d’une antenne lin´eaire vis-`a-vis du rail r´ealis´ee par Toshiki Kitagawa dans le cadre de sa

th`ese [9].

2.1 M´ethodes de s´eparation acoustiques et vibratoires des

contributions roue/rail

2.1.1 Approche acoustique : m´ethode du champ acoustique r´everb´erant

Cette m´ethode exp´erimentale d´ecrite par A. Frid dans [52] est bas´ee sur certains

prin-cipes de l’acoustique des salles appliqu´es au volume d’air de la cavit´e d´elimit´ee sous le

v´ehicule ferroviaire par un bogie, la voie et le chˆassis.

2.1.1.1 Principe

Un bilan de la puissance acoustique dans la cavit´e est effectu´e, `a partir de certaines

mesures r´ealis´ees au passage.

Le niveau de pression sur la surface au sol de la cavit´e est mesur´e `a l’aide d’un

mi-crophone directement positionn´e entre les rails, `a mˆeme le ballast. En tenant compte des

effets de r´everb´eration et d’absorption dans la cavit´e, on d´eduit de cette mesure la

puis-sance acoustique s’´echappant par la surface libre de la cavit´e.

On mesure la puissance acoustique directement rayonn´ee par la voie. Cette mesure

est effectu´ee `a l’aide d’un microphone directif (microphone parabolique), en dehors du

passage du bogie. Avec ce mˆeme microphone on mesure enfin, lors du passage d’un bogie,

la puissance acoustique totale s’´echappant de la cavit´e. Elle comprend la puissance qui

s’´echappe de la cavit´e, la puissance rayonn´ee par la voie, ainsi que la puissance rayonn´ee

par la roue qui est donc d´eduite des mesures pr´ec´edentes.

Remarques :

La mesure de pression r´ealis´ee par le syst`eme directif n´ecessite une ´etape pr´ealable de

calibration effectu´ee ici `a partir de la mesure sous chˆassis (elle d´epend donc de la validit´e des

hypoth`eses avanc´ees). L’auteur indique que cette ´etape de calibration doit ˆetre d´evelopp´ee.

En dehors de son diam`etre (2,2 m), rien n’est pr´ecis´e quant `a l’utilisation du r´eflecteur

parabolique. En particulier, sa position par rapport `a la voie n’est pas mentionn´ee. Cette

indication est utile pour ´etudier ses caract´eristiques de directivit´e et notamment connaˆıtre

l’´etendue de la zone source vue par le r´ecepteur pour chaque bande de fr´equence.

Enfin, la m´ethode impose que les sources a´eroacoustiques soient faibles pour ne pas

entacher les mesures ; elle n’est donc pas adapt´ee aux grandes vitesses.

Dans le document Caractérisation du rayonnement acoustique d'un rail à l'aide d'un réseau de microphones (Page 42-49)