Solution proposée par Gaston Parrour

A2845. Une curieuse égalité

Pour tout entier n strictement positif, démontrer que la somme des parties entières par défaut des racines kième de n pour k = 2,3,…,n est égale à la somme des parties entières par défaut des logarithmes de n en base k pour k

= 2,3,..n.

En d’autres termes

(avec log_kn le logarithme de n en base k et [x] la partie entière de x).

Solution proposée par Gaston Parrour

Dans la suite S1 = Σ_k [n^1/k] et S2 = Σ_k [log_kn] pour k = 2, … n La relation mentionnée est valable pour n entier positif.

N.B. Puisque l'énoncé met en jeu des sommes de k = 2 à n, en fait n > 1 strictement On peut procéder par récurrence, à savoir : relation vraie pour n = 2

relation vraie pour n>2 quelconque ==> relation vraie pour n+1 - Le premier point ci-dessus est évident : pour n = 2 ( donc k =2) on a

S1 = 1 et S2 = [log₂2] = 1

- En ce qui concerne le second point '' relation vraie pour n>2 quelconque ==> relation vraie pour n+1'', remarquons :

→ Étant donné un entier n, on fait appel respectivement aux parties entières par défaut de n^1/k et de log_kn Cela suggère d'encadrer n successivement par une suite de puissances de la forme

(2^a2 , 2^a2+1) (3^a3, 3^a3+1) ... (m^am , m^am+1) ... (n^an . n^an+1)

N.B. Les nombres de la forme m^am de ces encadrements de n peuvent s'interpréter, de façon générale, soit comme k^am , soit comme m^k.

On est alors en mesure d'accéder aux parties entières figurant dans S1 et dans S2 → Je développe ici un exemple pour illustrer cela.

Avec par exemple n = 26 on a la suite d'encadrements :

2⁴≤ n < 2⁵ , 3² ≤ n < 3³ , 4²≤ n < 4³ , 5²≤ n < 5³ , 6¹≤ n < 6² , … , 26 ≤ n < 262 (1) N.B. Inégalités larges à gauche et inégalités strictes à droite.

Remarques :

1 - D'une façon générale,

→ il est clair que pour tout n entier positif il existe un entier m, juste supérieur à sqrt(n), et donc pour lequel m¹ < n < m² (d'où les exposants ''k'' = 1 et 2)

Ensuite, pour tout m' > m jusqu'à m' = n , les exposants de l'encadrement sont inchangés

Ici, au-delà de l'entier m = 5 , les exposants ''k'' mis en jeu pour encadrer n sont bien ''1'' et ''2'') 2 - De façon analogue,

→ à partir d'une certaine valeur k0 , on ne peut obtenir k0^ak0≤ n < k0^ako+1 si l'exposant ak0 > 1 k0 est la première valeur k vérifiant k0^² > n

Ici k0 = 6 Avec cela ,

La suite des encadrements de n donnés en (1) conduit à

→ l'élément de S1 indexé par k est le plus grand entier m qui satisfait à

m^k≤ n < m^k+1 (car la racine k-ième de l'inégalité large à gauche fournit alors [n^1/k] = m ) En appliquant cela, avec (1) on obtient :

k 2 3 4 5 … 26

[26^1/k] 5 2 2 1 … 1 ( la valeur 1 se poursuit de k = 5 jusqu'à k = 26) Et ainsi S1 = 5+2+2+ [(26-5) + 1] x 1 = 31

→ l'élément de S2 indexé par k est l'exposant ak de l'entier k auquel est associé l'encadrement suivant k^ak≤ n < k^ak+1 (car le logarithme en base k de l'inégalité à gauche fournit alors [log_kn] = ak) En appliquant cela, avec (1) on a

k 2 3 4 5 6 … 26

[log_k26] 4 2 2 2 1 … 1 ( la valeur 1 se poursuit de k = 6 jusqu'à k = 26) D'où S2 = 4 + 2 + 2 + 2 + [(26-6) + 1] x 1 = 31

N.B. L'égalité précédente S1 = S2 pour (ici) n = 26 conduit alors à une égalité semblable S'1 = S'2 pour n' = n+ 1 = 27

En effet

- Tout d'abord avec 27 = 3³ → un des encadrements (1) relatifs à n = 26 est modifié : 3² ≤ n=26 < 3³ devient 3³ ≤ n' = 27 < 3⁴

Mais il est clair que ce changement affecte de la même façon S1 et S2

- A cela s'ajoute dans les 2 nouvelles sommes un terme supplémentaire du à l'indice k = 27 Mais, comme observé précédemment, dans les deux sommes ce terme supplémentaire est ''1'' Donc on a (à partir de S1 et S2 précédents) :

k 2 3 4 5 … 27

[27^1/k] 5 3 2 1 … 1 ( la valeur 1 se poursuit de k = 5 jusqu'à k = 27) Et ainsi S'1 = 5+3+2 + [(27-5) + 1] x 1 = 33

k 2 3 4 5 6 … 27

[log_k27] 4 3 2 2 1 … 1 ( la valeur 1 se poursuit de k = 6 jusqu'à k = 27) D'où S'2 = 4+3+2 +2 + [(27-6) + 1] x 1 = 33

En résumé :

En passant de n à n+1 , (d'où un terme supplémentaire dans les sommes pour la valeur k = n+1) : - dans tous les cas il s'ajoute à chacune des sommes S1(n) et S2(n) le nombre ''1''

- si de plus l'exposant d'une des bornes inférieures des encadrements de n est augmenté (d'une unité) → les deux sommes initiales S1(n) et S2(n) en sont augmentées également (d'une unité)

Conclusion

Pour un entier n quelconque : l'exemple développé ci-dessus met en œuvre une approche qui se généralise directement ; l'utilisation d'encadrements [analogues à ceux donnés en (1)]

Avec cela les 2 points soulignés dans le résumé ci-dessus sont applicables.

→ La récurrence suggérée au commencement, peut donc s'établir en toute généralité, conduisant à S1 (n) = S2 (n) pour tout entier n> 1

N.B. Le choix de développer un cas particulier (le plus complet possible) a été fait ici pour ne pas masquer des points clefs de cette démarche par des notations générales rapidement trop lourdes.