Correction CC2-S1
- CC2-S1 - - 2020-2021 -
– Correction - Algèbre –
1. On considère les matrices carrées
A=
1 1 −1
2 0 −1
−1 1 1
et B=
4 0 −3 3 1 −3
0 0 1
a. Les matricesAet B sont-elles diagonalisables dansR?
On trouve χA = (X−2)(X+ 1)(X−1)qui est scindé sur R, puis Sp(A) ={−1,1,2} et donc, comme les racines sont simples,Aest diagonalisable dansR.
On trouve par ailleursχB = (X−4)(X−1)2 qui scindé surR, puis Sp(B) ={1,4}.1est racine double.
De plus, rg(B−I3) = 1donc, par le théorème du rang, dim(Ker(B−I3)) = 2et doncB est diagonalisable dansR.
b. CalculerA2. On trouve A2=B.
c. Déterminer une matrice inversible P et une matrice diagonaleD telles queA=P DP−1.
On détermine les sous-espaces propres deA. On trouveE−1(A) =Vect
1
−1 1
,E1(A) =Vect
1 1 1
,
E2(A) =Vect
1 1 0
, puis on aA=P DP−1avecD=
−1 0 0
0 1 0
0 0 2
etP =
1 1 1
−1 1 1
1 1 0
.
d. Retrouver sans calcul queB est diagonalisable dansR.
On sait que B =A2 donc,B =P DP−1P DP−1=P D2P−1. On conclut queB est semblable àD2 qui est diagonale et réelle. Par définition,B est diagonalisable dansR.
2. On considère maintenant un espace vectoriel E surRde dimension finie. Pour un endomorphismef deE,f2 désignef ◦f. La notation IdE désigne l’endomorphisme identité deE.
a. Soitf,g deux endomorphismes deE tels quef◦g= 0. Montrer que Im(g)⊂ker(f).
Soity∈Im(g)alors il existex∈E tel quey=g(x). Puis,f(y) =f(g(x)) =f◦g(x) = 0 puisquef◦g= 0.
On conclut que Im(g)⊂ker(f).
b. On suppose dans cette question que f est un endomorphisme diagonalisable de E. On désigne par λ1, . . . , λp, avecp∈N∗, ses valeurs propres.
i. Montrer que
∀α, β∈R, (f−αIdE)◦(f−βIdE) = (f−βIdE)◦(f−αIdE) Par linéarité de f, on a :
(f−αIdE)◦(f−βIdE) =f2−(α+β)f+α βIdE) = (f−βIdE)◦(f−αIdE) ii. Montrer que pour tout vecteur propre v def
(f−λ1IdE)◦ · · · ◦(f−λpIdE) (v) = 0
De la question précédente, on conclut que les endomorphismesgi=f−λiIdE,i∈[|1, p|]commutent deux à deux. De plus, sivest un vecteur propre defalors il existei∈[|1, p|]tel que(f−λiIdE) (v) =gi(v) = 0.
Par conséquent,(f −λ1IdE)◦· · ·◦(f −λpIdE) (v) =g1◦· · ·◦gp(v) =g1◦· · ·◦gi−1◦gi+1· · ·◦gp◦gi(v) = 0.
iii. Soitx∈E un vecteur quelconque. En décomposantxdans une base bien choisie, montrer que (f −λ1IdE)◦ · · · ◦(f−λpIdE) (x) = 0
Puisque f est diagonalisable, il existe une base B = (v1, v2, . . . , vn) de E (dim(E) = n) formée de vecteurs propres de f. Par conséquent, il existe(α1, . . . , αn)∈Rn, x=
n
X
i=1
αivi.
Par linéarité de l’endomorphisme (f−λ1IdE)◦ · · · ◦(f−λpIdE) et en tenant compte de la question précédente, on trouve bien (f −λ1IdE)◦ · · · ◦(f−λpIdE) (x) = 0.
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c. Soitα, β deux réels distincts. On suppose dans cette question quef est un endomorphisme deE tel que
(f −αIdE)◦(f−βIdE) = 0 (F)
i. Déterminer deux réelsaet btels quea(f−αIdE) +b(f−βIdE) =IdE.
On aa(f−αIdE) +b(f −βIdE) = (a+b)f−(aα+bβ)IdE =IdE. Il suffit donc de trouveraetbtels quea+b= 0et −(aα+bβ) = 1. On trouve, puisqueα6=β,a= 1
β−α et b=− 1 β−α. ii. En déduire que E=Im(f−αIdE) +Im(f−βIdE).
De la question précédente, on déduit que toutxdeE s’écritx=y+z avec y=a(f −αIdE) (x)∈Im(f−αIdE)et z=b(f−βIdE) (x)∈Im(f−βIdE).
Ainsi,E⊂Im(f−αIdE) +Im(f−βIdE). L’inclusion contraire étant évidente, on conclut E=Im(f −αIdE) +Im(f−βIdE).
iii. Déduire de (F)que Im(f −βIdE)⊂Ker(f−αIdE)et que Im(f −αIdE)⊂Ker(f−βIdE).
Les résultats des questionsa.et b.i.permettent d’écrire que Im(f−βIdE)⊂Ker(f−αIdE)et Im(f−αIdE)⊂Ker(f −βIdE).
iv. Montrer queE=Ker(f−αIdE) +Ker(f−βIdE).
Les deux questions précédentes donnent :
E=Im(f −αIdE) +Im(f−βIdE)⊂Ker(f−αIdE) +Ker(f−βIdE)⊂E, la dernière inclusion étant évidente.
On a donc bien E=Ker(f−αIdE) +Ker(f−βIdE).
v. Montrer queE=Ker(f−αIdE)⊕Ker(f−βIdE).
Compte tenu de la question précédente, il suffit de montrer que Ker(f−αIdE)∩Ker(f −βIdE) ={0}.
Soit alors x∈Ker(f−αIdE)∩Ker(f−βIdE). On a donc (f−αIdE) (x) = 0, c’est à diref(x) =αx et aussi(f −βIdE) (x) = 0, c’est à diref(x) =βx. Par conséquent,(α−β)x= 0puisx= 0carα6=β. On a donc bien E=Ker(f−αIdE)⊕Ker(f−βIdE).
vi. En déduire quef est diagonalisable.
On en déduit que la concaténation d’une baseBαde Ker(f−αIdE)et d’une baseBβde Ker(f−βIdE) forme une baseBdeE. Or les vecteurs de Bα(respectivementBβ) sont vecteurs propres def pour la valeur propreα(respectivementβ). On a donc une base BdeE formée de vecteurs propres def. On peut conclure que f est diagonalisable.
Dans le cas particulier où l’un des deux noyaux Ker(f −αIdE)ou Ker(f−βIdE)est réduit au vecteur nul, on peut considérer que la base correspondante est vide, et par conséquent quef est une homothétie.
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