F e e e e e e Unexercicesupplémentaire:prêtimmobilier–Correction

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Document disponible àhttp://www.univ-montp3.fr/miap/ens/AES/L1/optionmath^.

AES option mathématique Année 2004–2005

Un exercice supplémentaire : prêt immobilier – Correction

— SOLUTION — I)

1)On a vu en cours que la valeur actuelle d’un prêt surnpériodes en remboursantapar période au taux périodiqueiest

V0=a1−(1+i)⁻ⁿ

i .

Ici, la période est le mois et le taux périodique est doncip=₁₂ⁱ . Le nombre de périodes étant 12N, on obtient

V0=12a1−¡

1+₁₂ⁱ ¢−12N

i . (1)

2)De (1), on déduit

a= i V0

12h 1−¡

1+₁₂ⁱ ¢−12Ni. SiV0=150000e^,ⁱ=0, 045 etN=15, on trouve

a=1147, 49e SiV0=150000e,i=0, 0475 etN=20, on trouve

a=969, 34e

3)En utilisant (1) aveca=650e,i=0, 0475 etN=20, on trouve que la somme empruntable est V0=100584, 37e^.

F⁴⁾L’intérêt à payer pendant la périodekest Ik=D_k−1ip. Puisque l’annuité est constante égale àa, on a

D_k−1= a ip

£1−(1+ip)^k⁻¹⁻ⁿ¤

1

(2)

si le nombre total d’annuités estn. Ainsi, I(j,`)=Ij+Ij+1+ · ·· +I_`

=(Dj−1+Dj+ · ·· +D_`−1)ip

=a£

1−(1+ip)^j⁻¹⁻ⁿ+1−(1+ip)^j−n+ · ·· +1−(1+ip)^`−1−n¤ .

Le terme 1 apparaît une fois dansDj−1, une fois dansDj, etc, il apparaît`−j+1 fois au total et donc, en sortant chacun de ces 1 et en factorisant par (1+ip)^j⁻¹⁻ⁿ le terme restant, on a

I(j,`)=a(`−j+1)− a (1+ip)ⁿ⁻^j⁺¹

£1+(1+ip)+ · ·· +(1+ip)^`−j¤ .

On reconnaît la somme des`−j+1 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1+ip, d’où

I(j,`)=a(`−j+1)− a ip

(1+ip)^`−^j⁺¹−1 (1+ip)ⁿ⁻^j⁺¹ .

5)L’annéekcommence au mois 12(k−1)+1 et termine au mois 12k, doncI(k)=I(12k−11, 12k) et puisqueip=₁₂ⁱ , on a

I(k)=12a−12a i

¡1+₁₂ⁱ ¢12

−1

¡1+₁₂ⁱ ¢12(N−k+1).

L’amortissement est ce qui contribue au remboursement de la somme due, une fois enlevé ce qu’on a utilisé pour rembourser l’intérêt. En un an, on a versé douze mensualités de valeura. L’amortissement de l’annéekest donc 12a−I(k), c’est-à-dire

M(k)=12a i

¡1+₁₂ⁱ ¢12

−1

¡1+₁₂ⁱ ¢12(N−k+1).

Le capital restant dû au début de la périodep+1 (donc dumois p+1) est Dp=a1−(1+ip)^p−n

ip

.

Le début de l’annéek+1 étant le début de la période 12k+1, on aD(k)=D12ket donc D(k)=12a1−¡

1+₁₂ⁱ ¢12k−12N

i .

6)L’intérêt versé la première année estI(k) aveck=1, l’amortissement versé la première année estM(k) aveck=1 et la somme due en fin de première année estD(k) aveck=1. On a

I(1)=4711, 09e M(1)=3088, 91e D(1)=97495, 46e. En faisant de même aveck=20, on peut compléter le tableau suivant.

Année Intérêt versé pendant l’année

Amortissement versé

pendant l’année Capital dû en fin d’année

1 4711, 09e 3088, 91e 97495, 46e

3 4403, 88e ^{3396, 12}e ^{90860, 46}e

9 3286, 51e ^{4513, 49}e ^{66727, 26}e

15 1801, 51e ^{5998, 49}e ^{34653, 89}e

20 197, 04e ^{7602, 96}e ⁰e

2

(3)

Au total, l’emprunt a coûté 156000e. Le coût de cet emprunt est donc 55415, 63e, soit 55% de la somme obtenue au début de cet emprunt.

F⁷⁾^Pendant^Lannées, on emprunte une fractionxde la somme totale empruntée à 0% et on emprunte le reste (donc une fraction 1−xde la somme totale empruntée) au tauxi pendantN an- nées. On remboursea1par mois pour l’emprunt à 0% eta2par mois pour l’autre emprunt (puisque les annuités sont supposées constantes, on continue à remboursera2par mois même une fois l’emprunt à 0% remboursé). Pour l’emprunt à 0%, on a donc

xV0=12La1 (2)

(les annuités mensuelles dea1sont versées pendantLannées, soit 12Lmois, la valeur prêtée estxV0

et il n’y a pas d’intérêts). Pour le second prêt, on a (1−x)V0=12a2

1−¡

1+₁₂ⁱ ¢−12N

i (3)

(voir la question 1). Les équations (2) et (3) donnent a1+a1=xV0

12L+(1−x)V0

12

i 1−¡

1+₁₂ⁱ ¢−12N

= 1 12

Ãx

L+(1−x) i 1−¡

1+₁₂ⁱ ¢−12N

!

V0. (4)

On veut remboursera=a1+a2chaque mois, donc (4) donne

V0= 12a

x

L+(1−x) ⁱ

1−³ 1+₁₂ⁱ´₋12N

et donc

V0=

12aLh 1−¡

1+₁₂ⁱ ¢−12Ni h

1−¡

1+₁₂ⁱ ¢−12Ni

x+(1−x)Li .

Ici,a=650e^,^L=12 ans,N=20 ans,i=0, 0475 etx=0, 2 donc Monsieur Dupont peut emprunter V0=99105, 34.e

FF ⁸⁾On garde les notations de la question précédente. La seule chose qui change est l’annuité du prêt à intérêt non nul. Elle est a2 pendant lesLpremières années mais devienta pendant les années suivantes. La valeur actuelle de cet emprunt est donc

(1−x)V0=

12L

X

k=1

a2(1+ip)⁻^k+

12N

X

k=12L+1

a(1+ip)⁻^k

=a2

ip

£1−(1+ip)^−12L¤

+ a

(1+ip)^12Lip

£1−(1+ip)^−12(N−L)¤

. (5)

D’autre part, pour le prêt à taux 0, on a

xV0=12La1

donc

a1=xV0

12L. 3

(4)

Puisquea1+a2=a, on a

a2=a−xV0

12L et (5) devient

(1−x)V0=a−^xV_12L⁰ ip

£1−(1+ip)^−12L¤

+ a

(1+ip)^12(N−L)ip

£1−(1+ip)^−12(N⁻^L)¤ . On en déduit

V0=

a i_p

£1−(1+ip)^−12L¤

+_(1+i_p₎12(N−L)^a ip

£1−(1+ip)^−12(N−L)¤ 1−x+_12Li^x_p£

1−(1+ip)^−12L¤ .

Ici,a=650e,L=12 ans,N=20 ans,ip=0, 0475/12 etx=0, 2 donc Monsieur Dupont peut emprunter V0=112065, 26.e

9)Monsieur Dupont peut acheter un appartement de 56 mètres carrés.

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