Chapitre : Exposants réels

Chapitre : Exposants réels

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~ Activité : 1p172,173

I. Nombre x ^a avec a réel

Définition On admet que, pour tout réel x strictement positif, la notation xⁿ définie pour les entiers relatifs n peut s’étendre à tout réel a. On note alors x^a.

Exemple On place pendant5mois une somme au taux annuel de 4%. Le coefficient multiplicateur pour l’année est 1,04 = 1,04¹ = 1,04¹²¹².

Si l’on ne considère que 5 mois sur l’année, le coefficient mutiplicateur est alors : 1,04¹²⁵ '1,016

I Exercices : 25,26,27,28p184 (applications économiques)

Propriété Toutes les propriétés connues pour des exposants entiers restent vraies pour des expo- sants réels :

x^a×x^b =x^a+b x^a

x^b =x^a−b (x^a)^b =x^ab (xy)^a=x^a×y^a

x

y

a

= x^a y^a

où x ety sont des nombres réels positifs et a et b sont des réels quelconques.

Exemple 4^1,2×5^1,2 = (4×5)¹,2 = 20^1,2. Exemple x^4,3×x^−2,3 =x^4,3−2,3 =x².

I Exercices : 2,3,6,7p183 (formules)

II. racine n-ième

Propriété Soit x et y strictement positifs et soitn un entier naturel non nul. Alors :

y=xⁿ équivaut à x=y¹ⁿ On dit que x est la racinen-ième de y.

Preuve : Dans un sens on applique l’exposant _n¹, dans l’autre on vérifie en appliquant l’exposantn.

2

Ceci est par analogie avec le fait que y=x² équivaut àx=√

y (six >0).

Notation : on écrit aussi √ⁿ

y au lieu de yⁿ¹.

Exemple Une somme de 1 000 euros est déposée sur un compte rémunéré à un taux annuel t. Au bout de cinq ans, le capital est 1 216,65 euros. Quelle était la valeur du taux t?

Soit xle coefficient multiplicateur associé au taux t. Alors : On a 1 000×x⁵ = 1 216,65.

Ainsi, x⁵ = 1216,65

1000 = 1,21665.

D’après la propriété précédente on a donc x= 1,21665¹⁵ '1,04.

Or x= 1 +t, donc le taux vaut t = 1,04−1 = 0,04, soit 4%.

I Exercices : 12,13p184 (équations)

I Exercices : 19,20,21p184 (suites géométriques)

I Exercices : 29,30,31p184 (applications économiques ; recherche du taux)