TS Correction de l'ex 155 p 194.

TS correction Ex 155 p 194

1. u1 = ln 2.

2. a)

∫

0 π3

sinⁿ(x)cos(x)dx = 1

n+1 (

√

2 )

n+1

. b) un+2 – un = – 1

n+1 (

√

2 )

n+1

.

c) u3 – u1 = – 1 3 (

√

2 )

3

= – 3

8 donc u3 = u1 – 3

8 = ln 2 – 3 8 . 3. a) sinⁿ⁺¹x

cosx – sinⁿx

cosx = sinⁿx

cosx (sin x – 1) < 0 donc la suite (un) est décroissante.

b) La suite (un) est décroissante et minorée par 0 donc elle converge..

4. a) Pour tout x  [ 0 ; π

3 ], 0  sin x 

√

2 donc K =

√

2 ( car

√

2  ] 0 ; 1 [ ).

b) En intégrant l'inégalité 1

2  cos x  1, on obtient 0  un  2π 3 Kⁿ c) K  ] 0 ; 1 [ donc lim

n→∞

Kⁿ= 0. En utilisant le théorème d'encadrement, on obtient lim

n→∞

u_n= 0.