Ex 122 p 252
1. Pour t = 0, on obtient A( 1 ; – 5 ; – 5 ) et le système devient
{
−1+23t+t '=−5t+tt '==−51 d'où{
t+t 'tt '=−=−2=−52donc le système n'a pas de solutions et A p.
2. Un vecteur directeur de (d) est ⃗u(2;1 ; 3) et p est dirigé par les vecteurs ⃗v(1 ;0 ; 1) et ⃗u(0;2 ; 1). On utilise la propriété suivante :
Si trois vecteurs ⃗u , ⃗v et w⃗ ne sont pas coplanaires, l 'égalité a ⃗u + b ⃗v + c w⃗ = ⃗0 implique que a = b = c = 0.
L’égalité a ⃗u + b ⃗v + c w⃗ = ⃗0 équivaut à
{
32a+2aa+b+c=0+b=0c=0 {
b=−2c=−12a=012aa {
b=0ca=0=0Les vecteurs ⃗u, ⃗v et w⃗ ne sont pas coplanaires donc la droite (d) et le plan p sont sécants.
Autre méthode : on cherche directement les coordonnées du point d'intersection.
On résout le système
{
−1+3t+t 't+t=2=−5+3t '=−5+k1+2kk
{
t '2t=2t '−k−k=3+3k=−4−2 k
{
t−k=2t '=−1=−2k−2
{
t 'tk=2=−1=2On en déduit les coordonnées du point d'intersection K( 5 ; – 3 ; 1 ).
