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TS – Lycée Desfontaines
Géométrie dans l Géométrie dans l Géométrie dans l
Géométrie dans l
’espace espace espace espace Correction de l
Correction de l Correction de l
Correction de l
’exercice 12 exercice 12 exercice 12 exercice 12 (Batterie nationale , Exo 8 p 11) (Batterie nationale , Exo 8 p 11) (Batterie nationale , Exo 8 p 11) (Batterie nationale , Exo 8 p 11)
Dans cet exercice les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, une seule des trois propositions a), b) ou c) est exacte.
On demande d'indiquer laquelle.
L'espace est rapporté à repère orthonormal (O,Åi,Åj, Åk).
1. Soient A et B deux points distincts de l'espace.
L'ensemble des points M de l'espace tels que ÄMA=ÄMBest le plan médiateur du segment [AB] donc "réponse b"
2. On considère les points E(0;1;-2) et F(2;1;0).
Les coordonnées du barycentre G de
{
(E;1)(F;3) sont}
1×xE+3×xF
1+3 ;1×yE+3×yF
1+3 ;1×zE+3×zF 1+3 cad
1×0+3×2
1+3 ;1×1+3×1
1+3 ;1×(-2)+3×0
1+3 soit (1.5;1;-0.5) (réponse b)
3. Soit d la droite de représentation paramétrique
x=2−t y=3t
z=-3 , t☻Ë On considère les points A(2;3;-3), B(2;0;-3) et C(0;6;0)
- tout pt de d doit avoir pour côte -3 (z=-3) dc C∉d -
x=2−t y=3t z=-3 ñ
x=2−t y=0+3t z=-3+0t
donc B☻d.
- A☻d ssi ∃t☻IR/
xA=2−t yA=3t zA=-3 . Or
2=2−t 3=3t -3=-3
ñt=0
t=1. . Donc A∉d. Conclusion : dý(AB) et dý(BC) et dý(CA) (réponse c)
4. Déterminons les coordonnées du point d’intersection des droites de représentations paramétriques respectives
x=2+t y=1−t z=1+t
, t☻Ë et
x=-t′
y=-2−1.5t′
z=3+t′ , t’☻Ë :
Dire que I(x;y;z) appartient à D et à D’ revient à dire qu’il existe deux réels t et t′ tels que
x=2+t y=1−t z=1+t et
x=-t′
y=-2−1.5t′
z=3+t′
Résolvons donc le système suivant (S):
2+t=-t′
1−t=-2−1.5t′
1+t=3+t′ (S)ñ
t′=-2−t
1−t=-2−1.5(-2−t) 1+t=3−2−t
ñ
t′=-2−t -2.5t=0
2t=0 ñ
t=0 t′=-2
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(S) admet un couple solution (0;-2) donc les droites ont un unique point commun dont les coordonnées sont
x=2+0 y=1−0 z=1+0 cad
x=2 y=1
z=1 donc les droites admettent comme unique point commun le point J(2;1;1) (réponse b) 5. Considérons les droites d et d′ de représentations paramétriques respectives
x=1 y=1+2t
z=1+t , t☻Ë et
x=3−2t′
y=7−4t′
z=2−t′ , t’☻Ë : - Montrons que d et d′ ne sont pas parallèles :
Åu
0 2 1
est un vecteur directeur de d et Äu′
-2
-4 -1
est un vecteur directeur de d′.
Les coordonnées de Åu et Äu′ ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs Åu et Äu′ ne sont pas colinéaires. Ainsi les droites d et d′ ne sont pas parallèles.
- Montrons que les droites d et d′ n’ont pas de point commun : Si M(x;y;z)☻d∩d′ ssi ∃t☻IR et t′☻IR tels que
x=1 y=1+2t z=1+t et
x=3−2t′
y=7−4t′
z=2−t′ . Résolvons donc le système suivant (S):
1=3−2t′
1+2t=7−4t′ 1+t=2−t′
(S)ñ
t′=1
2t=6−4×1 t=1−1
ñ
t′=1 t=1 t=0
(S) n’admet aucun couple solution donc les droites ne sont pas sécantes - Conclusion : Les droites sont non coplanaires (réponse c)
6. Considérons la droite de représentation paramétrique
x=-4t y=1+3t
z=1+t , t☻Ë et le plan d’équation x−2y+5z−1=0 : Ån
-12 5
est un vecteur normal au plan et Åu
-4
3 1
est un vecteur directeur de la droite.
Les coordonnées de Åu et Ån ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs Åu et Ån ne sont pas colinéaires donc la droite et le plan ne sont pas orthogonaux..
Åu.Ån=1×(-4)+(-2)×3+5×1 =- 4−6+5 = -5 ý0 donc les vecteurs Åu et Ån ne sont pas orthogonaux donc la droite n’est pas parallèle au plan.
Ainsi la droite est ni orthogonale ni parallèle au plan (réponse c)
7. Déterminons l'ensemble des points M(x;y;z) tels que
x−y+2z−1=0 -2x+4y−4z+1=0 : Ån
1 -1
2
est un vecteur normal au plan d’équation x−y+2z−1=0 Än′
-2
4
-4 est un vecteur normal au plan d’équation -2x+4y−4z+1=0
Or les coordonnées de Ån et Än′ ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires donc les plans ne sont pas parallèles donc ils sont sécants suivant une droite (réponse b)
