Classe de terminale S
1
Exercice de géométrie dans l’espace Enoncé :
L’espace E est rapporté au R.O.N ( ; ; ; )O i j k
On donne les points (3;1;3), ( 6; 2;1) et le plan P d'équation: 2 2 5.
1) )Déterminer un système d'équations paramétrique de la droite (AB) et du plan P.
) Etudier l'intersection de (AB) et P 2) Dé
A B x y z
a b
− + + =
terminer l'ensemble des points M de l'espace tels que: 4MA 2 3) Déterminer les coordonnées du point H projeté orthogonal de A sur le plan P.
4) Soit S la sphère de centre B et de rayon 1. Etu
− MB =
dier l'intersection de S et P.
5) Soit D la droite passant par A et de vecteur directeur (1; 2; 1) et D' la droite de représentation 3 2
paramétrique 3
et ' sont-elles coplanaires et par
u
x t
y t
z t
D D
−
= +
= +
=
allèles, coplanaires et sécantes ou non coplanaires.
6) Déterminer une équation cartèsienne de l'ensemble des points de l'espace équidistants des points A et B.
Correction
L'espace est rapporté au repère ( ; ; ; )
On a (3;1;3), ( 6; 2;1) et le plan P d'équation: 2 2 5.
1)a) Système de représentation paramétrique de la droite ( ) : Soit ( ; ; ) un point de ( ), i
O i j k
A B x y z
AB
M x y z AB
− + + =
l existe un réel tel que:
. Avec ( 3; 1; 3) et ( 9;1; 2)
3 9 3 9
De cette égalité vectorielle on en déduit: 1 1
3 2 3 2
Pour déterminer une
t
AM t AB AM x y z AB
x t x t
y t y t t
z t z t
= − − − − −
− = − = −
− = ⇔ = + ∈
− = − = −
ℝ
représentation paramétrique du plan , il suffit de poser par exemple et ', avec ' deux paramétres réels, on obtient alors:
2 2 ' 5
2 2 5 2 2 5 , ' .
' b) Intersecti
P y t z t t et t
x t t
x y z x y z y t t t
z t
= =
= − − +
+ + = ⇔ = − − + ⇔ = ∈ ∈
=
ℝ ℝ
on de la droite ( ) et le plan P:
3 9
1 6
On résoud le système: 3 9 2(1 ) 2(3 2 ) 5
3 2 11
2 2 5
21 18 21
d'où les coordonnées du points d'intersection: ; ; .
11 11 11
AB
x t
y t
t t t t
z t
x y z
x y z
= −
= +
⇔ − + + + − = ⇔ =
= −
+ + =
=− = =
Classe de terminale S
2
2) Soit le barycentre des points ( ; 4) et ( ; 1), ce barycentre existe car 4 1 3 0.
4MA 3 donc 4MA 2 3 2 2
3 L'ensemble des points de l'espace tels que: 4MA
G A B
MB MG MB MG MG
M
− − = ≠
− = − = ⇔ = ⇔ =
2
2 est la sphère de centre G et de rayon . MB 3
− =
3) Soit ( ; ; ) le projeté orthogonal de sur le plan .( )
On détermine le système de représentation paramétrique de la droite ( ) On a , avec un réel et (1; 2; 2) le vecteur normal
H x y z A P AH P
AH
AH k n k n
⊥
=
au plan .
3 3
1 2 1 2 .
3 2 3 2
Les coordonnées de vérifient l'équation du plan
Soit 3 2(1 2 ) 2(3 2 ) 5 ce qui donne 2 en remplaçant cette valeur da 3
P
x k x k
AH k n y k y k k
z k z k
H P
k k k k
− = = +
= ⇔ − = ⇔ = + ∈
− = = +
+ + + + + = = −
ℝ
ns le système de ( )
7 1 5
On obtient: ; ; .
3 3 3
AH
H
−
4) Soit la sphère de centre et de rayon 1.
On calcul la distance , du point au plan : si , alors l'intersection est un cercle.
si , alors l'intersection est un point, la sphère et le plan
S B R
d B P
d R
d R
=
<
= sont tangents.
si , alors l'intersection est vide.
6 2 2 2 1 5
comme ( 6; 2;1) on a soit .
1 4 4 3
1 donc L'intersection entre le plan et la sphère est vide.
d R
B d d R
d
>
− + × + ×
− = = >
+ +
>
5) La droite a pour vecteur directeur (1; 2; 1), celui de ' est (2;1;1) ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles.
Les représentations paramétriques de e
D u D v
D
−
t ' sont:
3 2 3 '
' : 3 . : 1 ' ' .
3 '
Les droites sont sécantes s'il existe les réels et ' tels que:
3 2 3 ' 2 ' 2 '
3 1 ' ' 2 2
3 ' ' 3 1
D
x t x t
D y t t D y t avec t
z t z t
t t
t t t t t t
t t t t t
t t t t t
= + = +
= + ∈ = + ∈
= = −
+ = + = =
+ = + ⇔ − = ⇔ =
= − + = =
ℝ ℝ
le système n'a pas de solution, les deux droites ne sont pas sécantes.
Conclusion: et ' sont non coplanaires. D D
6) L'ensemble des points équidistants des points A et sont tels que: .
C'est le plan médiateur du segment [ ]. Il passe par le milieu de [ ] et a pour vecteur normal .
M B MA MB
AB I AB AB
=
2 2 2 2 2 2 2 2
En développant l'égalité: , ( 3) ( 1) ( 3) ( 6) ( 2) 1)
on obtient l'équation de ce plan: 9 2 11 0.
MA MB x y z x y z
x y z
= − + − + − = + + − + −
− + − − =
