Correction CC1-S1
- CC1-S2 - - 2020-2021 -
– Correction - Géométrie –
EXERCICE 1
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé(O,−→ i ,−→
j), on considère l’hyperboleH d’équation xy= 1.
Pour un pointM deH, la normale enM àH recoupeH en un pointN. 1. Déterminer le repère de Frenet au pointM deH.
Une représentation paramétrique deH est ϕ:t7→
( x(t) =t y(t) =1
t
, t6= 0.
On a
( x0(t) = 1 y0(t) =−1
t2
et par suite :kϕ0(t)k=
√t4+ 1
t2 puis
−
→T
t2
√t4+ 1
√−1 t4+ 1
et −→ N
√ 1 t4+ 1
t2
√ t4+ 1
2. Calculer la courbure enM.
Si on noteαl’inclinaison, on a :tanα= y0 x0 =−1
t2 puis,(1 + tan2α)dα dt = 2
t3. Enfin,γ= dα
ds = dα dt
dt
ds = 2t3 (t4+ 1)32.
3. Déterminer les coordonnées deΩ, centre de courbure enM deH. On a : Ω =M +R−→
N, d’où :Ω
3t4+ 1 2t3 t4+ 3
2t 4. Montrer que−−→
M N =−2−−→
MΩet en déduire une construction graphique simple du centre de courbure.
Considérons le pointP =M −2−−→
MΩ. On a :P
−1 t3
−t3 . On en déduit queP est un point deH et comme de plus,−−→
M P est colinéaire à−−→
MΩ, c’est un point de la normale àH enM.
Comme il est différent deM, c’est le pointN et on a bien−−→
M N =−2−−→
MΩ.
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EXERCICE 2
Dans un repère orthonormé(O,−→ i ,−→
j), on noteC la conique d’équation 9x2+ 16y2−24xy+ 20x−110y+ 50 = 0 1. Donner l’équation réduite deC dans un repère(Ω,−→u ,−→v)que l’on précisera.
SoientS=
9 −12
−12 16
, L= 20 −110
, etX = x
y
.
L’équation de la conique dans le repère(O,~i,~j)s’écrit : tXSX+LX+ 50 = 0.
La matriceS a pour déterminant 0, la conique est donc du type parabole.
0 étant une valeur propre deS, l’autre valeur propre est tr(S), c’est-à-dire 25.
Un vecteur propre associé à la valeur propre 0, est 4
3
. On note~uet~v les vecteurs de coordonnées respectives
4 5,3
5
et
−3 5,4
5
, P la matrice de passage de la base(~i,~j)à la base(~u, ~v), etX1=
x1
y1
= tP X. L’équation devient :
tX1
0 0 0 25
X1+LP X1+ 50 = 0
c’est-à-dire que l’équation de la parabole dans le repère(O, ~u, ~v)est : 25y12−50x1−100y1+ 50 = 0, ce qui s’écrit également
(y1−2)2= 2(x1+ 1)
On en déduit que le sommet Ω de la parabole a pour coordonnées (−1,2), dans le repère (O, ~u, ~v), et que l’équation réduite de la parabole dans le repère(Ω, ~u, ~v)est
Y2= 2X
2. Justifier que dans le repère(Ω,−→u ,−→v)la courbeC admet l’une des représentations paramétriques suivantes :
x(t) =t2 y(t) =t2
ou
x(t) =t y(t) =t2
2
Dans(S,−→u ,−→v),C admet pour représentation paramétrique
x(t) =t2 y(t) =t2
On prendra dans la suite la représentation paramétrique qui correspond au repère(Ω,−→u ,−→v)choisi à la question 1.
3. Déterminer la famille des normales àC, notées(Nt)t∈R. Un point de coordonnées(x, y)est sur Ntsi et seulement si :
x−t2
2 −y0(t) y−t x0(t)
= 0; On en déduit l’équation de(Nt) :tx+y−t3
2 −t= 0 4. a. Déterminer l’enveloppeE de(Nt)t∈R.
Un point de coordonnées(x, y)est surE si, et seulement si
tx+y−t3
2 −t= 0 x−3
2t2−1 = 0 .
On en déduit la représentation paramétrique de E : (
x= 1 +3 2t2 y=−t3 b. Qu’a-t-on ainsi trouvé ?
On a déterminé l’enveloppe des normales àC, c’est-à-dire la développée.
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5. Déterminer le rayon de courbure deC, et retrouver le résultat précédent.
En notantϕl’arc paramétré, on a :kϕ0(t)k=p 1 +t2. On noteαl’inclinaison. On a :tanα= y0
x0 =1
t, puis(1 + tan2α)dα dt =−1
t2. Enfin,γ= dα
ds = dα dt
dt
ds = −1
t2 1 + t12√
1 +t2 = −1 (1 +t2)32. Finalement, le rayon de courbure estR= 1
γ =−(t2+ 1)32. Les centres de courbures sont doncΩ =M+R−→
N
1 +3 2t2
−t3 6. Déterminer l’intersection deC etE.
On a :
t2
2 = 1 +3 2u2 t=−u3
⇔
u6−3u2−2 = 0
t=−u3 ⇔
(u2)3−3(u2)−2 = 0 t=−u3
−1est solution évidente de l’équationX3−3X−2 = 0on en déduit que X3−3X−2 = (X+ 1)(X2−X−2) = (X+ 1)2(X−2), et donc
u=±√ 2 t=∓2√
2 . Les points d’intersectionC etE sont doncA
4 2√
2 etB
4
−2√ 2 . 7. TracerC et E dans le repère(Ω,−→u ,−→v).
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