N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
E.-N. B ARISIEN
Sur le centre de courbure des podaires
Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 14 (1895), p. 471-473
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SUR LE CENTRE DE COURBURE DES PODAIRES.
A u s u j e t d e l a L e t t r e d e M . M A U R I C E D ' O C A G N E ( * ) ;
PAR M. E.-N. BARISIEN.
Par une coïncidence heureuse, en même temps que la lettre de M. d'Ocagne, le numéro de mars i8g5 des
(') Nouvelles Annales, p. m ; mars 1895.
( 4 7 * )
Nouvelles Annales publiait (p. 89) un Article sur les podaires successives d'une courbe. La formule que j'ai donnée à la page 93,
Ri ~ — RosinV
permet de trouver sur la ligure de M. d'Ocagne (p. 112) la longueur de Pw et montre que cette longueur est R<.
Conservons la notation de l'article précité et posons
Q p O n a
PN = OM = r, OMN = OPN = V — 900, MT = Ro.
On a, dans le triangle PQw, P ^ _ PQ
sin g ~~ sin(cp-4-V—900)*
(.) F^ = _ ^ ^ ^ .
sinV (tangcp sin V — cosV)
11 reste à exprimer tang'^p. Or, dans le triangle OQK, on a
sin cp _ sin(cp
" Ö " "" Ö
( 2 )
Mais
'2 1
_ rcos*V
~ sinV '
_ ON _ — 7'cosV Ny ~ Ro—rsinV
— r cosV
COS'l' =
} ~ ' 2 r Ros i n V Ro— r s i n V
"fi"î—'2/'R0sinV
De (2), on tire
tango- Ö Q ^ T_ OK
En y substituant les valeurs précédentes, on obtient
— rsinVcosV
( 3 )
valeur qui, portée dans (1), donne
ir — Ro sinV
Donc, P w ^ R , . Le point CJ défini par M. d'Ocagne est bien le centre de courbure de la podaire correspon- dant au point P. J'arrive ainsi à une démonstration analytique du théorème de M. d'Ocagne.
Il serait d'ailleurs intéressant, d'après le desideratum exprimé par M. d'Ocagne, de trouver une démonstration géométrique directe de cette propriété.
