Correction CC2-S2
- CC2-S2 - - 2020-2021 -
– Correction - Géométrie –
Dans l’espace euclidien R3 rapporté au repère orthonormé direct (O,−→ i ,−→
j ,−→
k) , on considère la surface S d’équation cartésienne
z= (y−2√ 2 x)y ainsi que la surface paramétréeΣdéfinie par
x=√
2uv y= (u+v)2 z= (u2−v2)2
, (u, v)∈R2
On noteM(u, v)le point deΣde paramètres uet v.
1. A propos deS
a. i. Quelle est la nature de l’intersection deS avec un plan d’équationy=α, oùα∈R? On ne demande pas les caractéristiques.
L’intersection deS avec un plan d’équationy =α, oùα∈Ra pour système d’équations cartésiennes z= (y−2√
2x)y
y=α ⇔
2√
2αx=Z−α2= 0
y−α= 0 .
Il s’agit donc de l’intersection de deux plans non parallèles et par conséquent d’une droite.
ii. Qu’en déduit-on pour S?
Réciproquement, tout point de S de coordonnées(x, y, z)est sur la droite précédente correspondant à α=y.S est donc la réunion de ces droites, et par suite,S est une surface réglée.
b. Quelle est la nature de l’intersection de S avec un plan d’équationx=β, oùβ∈R? On ne demande pas les caractéristiques.
L’intersection de S avec un plan d’équation x = β, où β ∈ R a pour système d’équations cartésiennes z= (y−2√
2x)y
x=β ⇔
z=y2−2√ 2βy
x=β .
Il s’agit donc d’une parabole du plan d’équation x=β
c. i. Quelles sont la nature et les caractéristiques de l’intersectionCγ deS avec un plan d’équation z=γ, oùγ∈R? Distinguer différents cas suivant les valeurs de γ.
Cγ a pour système d’équations cartésiennes
z= (y−2√ 2x)y z=γ
−2√
2xy+y2=γ
z=γ .
Il s’agit donc d’une conique du plan d’équation z=γ.
On pose alorsA=
0 −√ 2
−√
2 1
.Aest symétrique réelle donc diagonalisable dans une base orthonor- mée directe.
Le spectre deAest Sp(A) ={−1,2}, ensuiteE2(A) =Vect 1
√3 1
−√ 2
puisE−1(A) =Vect 1
√3 √
2 1
. On pose
x y
= 1
√3
1 √ 2
−√ 2 1
X Y
et on trouve que, dans le repère(Oγ; →−u , −→v)du plan z =γ, oùOγ= (0,0, γ),~u= 1
√3
1,−√ 2
et~v= 1
√3
√ 2,1
,Cγ a pour équation réduite 2X2−Y2=γ
Il s’agit :
– siγ >0, d’une hyperbole d’axe focal(Oγ; ~u) – siγ <0, d’une hyperbole d’axe focal(Oγ; ~v) – siγ= 0, de la réunion des droites∆1
x= 0 z= 0 et ∆2
y= 2√ 2x
z= 0 dans le repère 0,−→
i ,−→ j ,−→
k .
Spé PT Page 1 sur 3
Correction CC2-S2
ii. On noteOγ le point de coordonnées(0,0, γ). Tracer,au verso du sujet, les courbesCγ dans le repère
Oγ; −→ i , −→
j
pour γ∈ {−2,0,1}.
On pourra confondre les pointsOγ et tracer les3 courbes dans le même repère.
d. Montrer que S est régulière et déterminer une équation cartésienne du plan tangent à S en un point M0
deS de coordonnées(x0, y0, z0). Cette équation ne devra pas dépendre dez0. Notons F l’application définie surR3par∀(x, y, z)∈R3, F(x, y, z) =
y−2√ 2x
y−z.F estC1surR3 et ∀(x, y, z)∈R3, grad(F)(x, y, z) =
−2√
2y,2y−2√
2x,−1
6= (0,0,0) par conséquent S est régulière.
S admet en tout point M0 de coordonnées (x0, y0, z0)un plan tangent dont
−2√
2y0,2y0−2√
2x0,−1 est un vecteur normal normal. Ceci nous conduit à l’équation cartésienne :
−2√ 2y0
(x−x0) +
2y0−2√ 2x0
(y−y0) + (−1) (z−z0) = 0
puis, comme z0=
y0−2√ 2x0
y0, on obtient 2√
2y0x+ 2√
2x0−y0
y+z−2√
2x0y0+y02= 0
e. Dans le cas particulier oùM0est le point O, préciser la position relative deS et du plan tangent.
PourM0=O, le plan tangent a pour équation cartésiennez= 0. On sait déjà que l’intersection deS et de ce plan tangent est la réunion des droites∆1et ∆2.
Par ailleurs, on peut remarquer queS est aussi définie par le paramétrage cartésien(x, y)7→ (x, y, f(x, y)) oùf(x, y) =
y−2√ 2x
y, et au passage conclure queCγ est la ligne de niveauγdef. La position relative deS et dez= 0est donc donnée par le signe de f(x, y)lorsque (x, y)∈R2. La règle des signes nous permet de dire que :
ce signe est positif sur la réunion des domaines délimités par∆1 et∆2contenantC1, et par suiteS est au dessus dez= 0;
ce signe est négatif sur la réunion des domaines délimités par∆1 et ∆2 contenant C−2, et par suiteS est en dessous dez= 0.
On peut même démontrer que Oest un point selle de S. 2. Comparaison entre S et Σ
a. Vérifier que Σ⊂S.
Soient M(u, v)un point deΣ, et(x, y, z)ses coordonnées dans O,−→
i ,−→ j ,−→
k . Alors
y−2√ 2 x
y= (u+v)2−4uv
(u+v)2= (u−v)2(u+v)2= (u2−v2)2=z et ainsiM(u, v)est aussi un point de S, ce qui montre bien queΣ⊂S.
Spé PT Page 2 sur 3
Correction CC2-S2
b. A-t-onΣ =S?
Comme C−2 ⊂ S et que les points de C−2 vérifient z = −2, on peut conclure que Σ 6= S puisque (u2−v2)2≥0.
3. A propos deΣ
a. Déterminer la nature géométrique de l’ensemble des points non réguliers de Σ.
Σadmet un paramétrage de classeC1 surR2. On a ∂M
∂u (u, v) =√
2v,2(u+v),4u(u2−v2) et ∂M
∂v (u, v) =√
2u,2(u+v),−4v(u2−v2) . Leur produit vectoriel donne~n(u, v) = ∂M
∂u (u, v)∧∂M
∂v (u, v) =−2√
2 u2−v2 2√
2(u+v)2,−2(u2+v2),1 . Ce dernier est nul si, et seulement si, u2−v2 = 0. Les points non réguliers de Σ sont donc les points M(u,−u), u∈RetM(u, u), u∈Rsoit encore la réunion des courbes paramétréesu7→√
2u2,4u2,0 et u7→
−√
2u2,0,0 .
La première est la demi-droite d’équations
y= 2√ 2x z= 0 x≥0
et la deuxième est la demi-droite d’équations
y= 0 z= 0 x≤0
qui sont respectivement incluses dans ∆2 et∆1.
b. SoitM(u, v)un point régulier deΣ. Déterminer, en fonction des paramètresuetv, une équation cartésienne du plan tangent àΣau pointM(u, v).
Le plan tangent àΣenM(u, v)régulier passe parM(u, v)et admet~n(u, v)pour vecteur normal.
Il admet donc pour équation cartésienne : 2√
2(u+v)2x−2(u2+v2)y+z+ (u2−v2)2= 0
Spé PT Page 3 sur 3
