Correction 87 p 38 TS

Correction 87 p 38 TS

Année scolaire 2010/2011 fx= x³

x –1^{2 et} D_f=ℝ\{1}

f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition. Le calcul de la dérivée donne : pour tout x∈D_f, f 'x=x²x –3

x –1^{3 .}

Comme x²0 ^et f 'x dépend du signe de x –3 et de celui de x –1³

• x1 ⇒ x –10 ⇒ x –1³0 et x1 ⇒ x –10 ⇒ x –1³0

• x3 ⇒ x –30 et x3 ⇒ x –30 tableau de variations

x –∞ 1 3 +∞

f '(x) + – 0 +

f(x) –∞

+∞ +∞

27/4

+∞

La recherche des valeurs de a, b, c et d conduit à :

∀ x≠1 , fx=x23x –2

x –1^{2 ⇔} fx–x2=3x –2

x –1²

Le signe de fx–x2 donne la position de la courbe C_f par rapport à la droite d'équation y=x2 .

x –∞ 2/3 +∞

Signe de f(x)–(x+2) – 0 +

et x –1²0 pour tout x ≠ 1.

• Si x2

3 ^alors fx–x2=3x –2

x –1²0 _et C_f est au-dessus de .

• Si ^x2₃ alors ^{fx–x2=3x –2}

x –1²0 et ^Cf est au-dessous de .

La droite D a un coefficient directeur de 1. Résoudre la question 3 revient à déterminer les x de D_f pour lesquels ; f 'x=1

{

⇔ x²x –3

x –1³ =1 et x∈D_f ⇔

{

⇔

{

⇔ x=1 3 Au point de C_f d'abscisse 1

3 , la tangente est parallèle à la droite D : y=x2.

2010©My Maths Space Page 1/4

Q.1

Q.2

Q.3

Correction 87 p 38 TS

L' équation de cette tangente est de la forme : y=xb. f





4 ainsi T : y=x –1 4 ^.

Nombre de solutions de fx=xp suivant les valeurs de p.

f  x = x p E 

Suivant les valeurs de p, combien y-a-t-il de points d'intersection ? La réponse à la question est graphique : utiliser l'animation GeoGebra.

Réponses:

• p–1

4 ^{, E} n'a pas de solution (droite et courbe ne se coupent pas) ;

• p=–1

4 ^, E a une solution ( droite et courbe ont un point d'intersection) ;

• –1

4p2 , E a 2 solutions (deux points d'intersection) ;

• p=2 , E a 1 solution ;

• p2 , E a 2 solutions.

Donc : D=

]

[

2010©My Maths Space Page 2/4

Q.4

Q.5

Correction 87 p 38 TS

6.a. Cette fois, on cherche les solutions de fx=xp par le calcul fx=xp

⇔ x³

x –1²=xp

⇔ x³=xpx –1²

⇔ x³=xpx²–2x1

⇔ x³=x³–2x²xpx²–2xpp

⇔ p –2x²1–2pxp=0

6.b. p –2x²1–2pxp=0 E

• Si p=2, l'équation se résume à –3x2=0 ⇔ x=2

3 . C'est l'abscisse du seul point d'intersection de C_{f avec} y=x2.

• Si p≠2, l'équation est du second degré d'où le calcul du discriminant:

=b²–4ac ⇔ =1–2p²–4pp –2 ⇔ =4p²–4p1–4p²8p ⇔ =4p1

Ce résultat est rassurant car la valeur p=–1

4 est importante pour le nombre de points d'intersection de C_f avec la droite . (voir Q.5)

A ce stade, il faut discuter par rapport aux différentes valeurs de 

➔ 0 ^⇔ 4p10 ^⇔ p– 1

4 ^{, pour} p– 1

4 , l'équation E n'a pas de solution donc pas de points M et N et donc pas de point P !!!

➔ =0 ⇔ p=–1

4 , 1 seul point d'intersection entre la droite  et la courbe C_f donc M et N sont confondus et P est confondu avec le seul point d'intersection.

x_p=– b

2a=– 1–2p

2p –2=2p–1

2p –4=1 3 2p –4

➔ 0 ⇔ p– 1

4 ⇔ (E) a deux solutions x₁=2p–1



2p –2 ^et x₂=2p–1−



sont les abscisses des points M et N.

P étant le milieu : x_P=x_Mx_N

2 =x₁x₂

2 = 4p –2

4p –2= 2p –1

2p –2=1 3 2p –4

P appartient à  donc y_P=x_Pp donc en remplaçant x par x_P dans l'expression, si je retrouve y_p, c'est que le point P appartient à la courbe C.

2010©My Maths Space Page 3/4

Q.6

Correction 87 p 38 TS

x_P2 3

2x_P–2=1 3

2p –42 3

2





3

2p –42p –2=x_Pp=y_P

Ainsi le point P appartient bien à la courbe C d'équation : y=x2 3 2x –1

Lorsque p ∈ D=

]

[

la droite  coupe C_f en deux points distincts (Q.5.b). Le point P milieu de ces deux points décrit alors une partie de la courbe dessinée ci-contre en pointillés.

6.c. p2 ⇔ 2p –40 ⇔ 3 2p –40

⇔ 1 3

2p –41 ⇔ x_P1 et

–1

4p2 ^⇔ –9

22p –40 ^⇔ –2

3 3 2p–4 ^⇔

1

31 3

2p–4 ^⇔ x_P1

3

Ainsi si p∈D alors x_P∈

]

[

6.d. gx=x2 3

2x –1 ^; D_g=D_f

g est dérivable sur D_g (fonction rationnelle) et ∀ x∈D_g : g 'x=1– 3

2x –1^{2 ⇔} g 'x=2x²–4x –1

2x –1^{2 .}

{

^



2

x –∞ 1−



2

1

3 1 1



2 +∞

g '(x) + 0 – – 0 +

variations de g –∞

g



^



–∞

+∞

g



^



+∞

P décrit C sauf la partie correspondant à x appartenant à

[

]

2010©My Maths Space Page 4/4 1/12