TS : correction du DM n

TS : correction du DM n

2

I

Raisonnons par l’absurde. Supposons que (u_n) ne soit pas majorée parℓ. Il existe alors un rangptel que u_p>ℓ. Comme la suite (u_n) est croissante, tous les termes de rangnÊpsont supérieurs àℓ.

∀nÊp,ℓ<u_pÉu_ndoncu_n−ℓ>u_p−ℓqui est un nombre fixe, doncu_n−ℓne peut pas tendre vers 0 ! Plus précisément, notonsǫ=up−ℓ

2 . SoitIl’intervalleI=]ℓ−ǫ;ℓ+ǫ[.

∀nÊp,un∉Idonc la suite (un) ne converge par versℓ.

(ℓ−ǫ<ℓ<ℓ+ǫ<u_p Éu_npour toutnÊp). 2 pts

II

Soit (u_n) la suite définie paru_n=cosn n+1.

1. On sait que, pour toutx∈R, cosx∈[−1 ; 1] donc−1ÉcosnÉ1 ; les nombres cosnsont bornés par -1 et 1.

2. On en déduit que, pour toutn∈N,

− 1

n+1Éu_nÉ 1 n=1.

n→+∞lim µ

− 1 n+1

¶

=0 et lim

n→+∞

µ 1 n+1

¶

=0.

D’après le théorème des gndarmes, lim

n→+∞u_n=0

2 pts

III

(u_n) est une suite convergente.

FAUX: La suite µ 1

u_n

¶

n’est pas toujours convergente. C’est le cas quand lim

n→+∞u_n=0 ; lim

n→+∞v_nest alors±∞ou

n’a pas de limite (donc la suite diverge). 1 pt

IV

On considère une suite arithmético-géométrique (u_n) définie par son premier termeu₀ et la relation de récurrenceun+1=aun+boùaetbsont des réels non nuls eta6=1.

1. f(x)=x⇔ax+b=x⇔(1−a)x=b⇔x= b

1−a (qui existe puisquea6=1).

On a doncβ= b

1−a. 0,5 pt

2. Puisqueβest le point fixe de f, on a :β=aβ+b.

On définit alors une suite auxiliaire (v_n) parv_n=u_n−βpour toutn∈N. On a :

(u_n+1=au_n+b β=aβ+b . Par soustraction, on obtient : a¡

u_n−β¢

=a¡

u_n−β¢

doncv_n+1=av_n.

(v_n) est donc géométrique, de raisonq=aet de premier termev₀=u₀−β 1 pt 3. Pour toutn∈N,v_n=v₀qⁿdonc

v_n=¡

u₀−β¢ aⁿ .

Orv_n=u_n−β, doncu_n=β+v_nd’où

u_n=β+¡

u₀−β¢ aⁿ .

0,5 pt 4. Application: soit la suite (u_n) définie par





 u₀=4 u_n+1=1

3u_n−7 . On au_n+1=au_n+baveca=1

3etb= −7.

a6=1 donc on peut appliquer les résultats précédents.β= b

1−a = −7 1−¹

3

=−7

2 3

= −21 2 Pour toutn∈N,u_n= −21

2 + µ

4− µ21

2

¶¶ µ1 3

¶_n

= −21 2 +29

2 × µ1

3

¶_n

0,5 pt

5. −1<a=1

3<1 donc lim

n→+∞aⁿ=0 donc lim

n→+∞u_n=β= −21 2 . lim

n→+∞u_n= −21

2 . 0,5 pt

V Suites mêlées

On considère les suites mêlées (u_n) et (v_n) définies paru₀= −10,v₀=20 et :

½ u_n+1=0,7u_n+0,8v_n

v_n+1=0,8u_n+0,7v_n pour toutn∈ N.

1. (a) u₁=0, 7u₀+0, 8v₀= −7+16=9 v₁=0, 8u₀+0, 7v₀= −8+14=6 u₂=0, 7u₁+0, 8v₁=6, 3+4, 8=11, 1

v₂=0, 8u₁+0, 7v₁=7, 2+4, 2=11, 4. 0,5 pt

(b) • u₁−u₀=19 etu₂−u₁=2, 16=u₁−u₀donc (u_n) n’est pas arithmétique.

• v₁−v₀= −14 etv₂−v₁=5, 46=v₁−v₀donc (v_n) n’est pas arithmétique.

• u₁ u₀= − 9

10et u₂

u₁>0 donc u₁ u₀ 6=u₂

u₁ : (u_n) n’est donc pas géométrique.

• v₁ v₀ = 6

20= 3 10et v₂

v₁=11, 4 6 6=v₁

v₀ donc v₁ v₀6=v₂

v₁; (v_n) n’est donc pas géométrique. 1 pt 2. (a) ∀n∈N, an+1=un+1+vn+1

=0, 15u_n+0, 15v_n=0, 15 (u_n+v_n)

= 0, 15a_n donc la suite (a_n) estgéométriquede raisonq=0, 15 et de premier termea₀=u₀+v₀=

10. 1 pt

(b) On en déduit quean=a0qⁿ=10×1, 5ⁿet lim

n→+∞an= +∞car 1, 5>1. 0,5 pt

3. (a) ∀n∈N, bn+1=un+1−vn+1

= −0, 1u_n+0, 1v_n= −0, 1 (u_n−v_n)=0, 1b_n donc la suite (b_n) estgéométriquede raisonq^′= −0, 1 et de premier terme

b₀=u₀−v₀= −30. 1 pt

(b) On en déduit que b_n= −30×(−0, 1)ⁿ et lim

n→+∞b_n=0 car−1<q^′=0, 1<1. 0,5 pt (c) Les suites (un) et (vn) sont-elles convergentes ? On aun=a_n+b_n

2 donc lim

n→+∞un= +∞. De même,v_n=a_n−b_n

2 donc lim

n→+∞v_n= +∞. 4. u_n=1

2(a_n+b_n)=1 2

¡10×1, 5ⁿ−30×(−0, 1)ⁿ¢

= 5×1, 5ⁿ−15×(−0, 1)ⁿ . v_n=1

2(a_n−b_n)=1 2

¡10×1, 5ⁿ+30×(−0, 1)ⁿ¢

= 5×1, 5ⁿ+15×(−0, 1)ⁿ . 0,5 pt

5.

n

X

k=0

u_k=1 2

n

X

k=0

h

10×1, 5^k−30×(−0, 1)^ki

=5

n

X

k=0

1, 5^k−15(−0, 1)^k

=5×1, 5ⁿ⁺¹−1

1, 5−1 −15×1−(−0, 1)ⁿ⁺¹ 1−(−0, 1)

=10¡

1, 5ⁿ⁺¹−1¢ + 15

1, 1

¡1−(−0, 1)ⁿ⁺¹¢ .

n→+∞lim 1, 5ⁿ⁺¹= +∞et lim

n→+∞(−0, 1)ⁿ⁺¹=0 donc lim

n→+∞

n

X

k=0

u_k= +∞ 1 pt

VI

On considère la suite (u_n) définie paru₀=1

2et telle que pour tout entier natureln,u_n+1= 3un

1+2u_n.

1. (a) u₁=

3×1 2 1+2×1

2

= 3 2 2 = 3

4 .

u₂=

3×3 4 1+2×3

4

= 9 4 5 2

= 9

10 . 0,5 pt

(b) Démontrons, par récurrence, que pour tout entier natureln, 0<u_n.

• Initialisation:u0=1

2>0 donc la propriété est vraie au rang 0.

• Hérédité: supposons la propriété vraie à un rangnquelconque.

Alorsu_n+1= 3un

1+2u_n>0 puisque un>0 ; la propriété est héréditaire.

D’après l’axiome de récurrence, la propriété est vraie pour toutn∈N. 1 pt 2. Démontrons par récurrence, pour tout entier natureln, 1 pt

u_n<1.

• Initialisation :u₀=1

2<1 donc la propriété est vraie pourn=0

• Hérédité : on suppose que, pour un entiernquelconque, la propriété es vraie donc queu_n<1.

Alors :u_n+1−1= 3u_n

1+2u_n−1=3u_n−1−2u_n

1+2u_n = u_n−1

1+2u_n <0 caru_n<1 doncu_n−1<0 et 1+2u_n>0

puisqueu_n>0 ; la propriété est donc héréditaire. 1 pt

3. Pour toutn,u_n+1−u_n= 3u_n 1+2u_n−u_n

=2u_n−2u²_n

1+2u_n = 2un(1−un)

1+2u_n >0 carun>0 et 1−un>0 puisqueun<1.

Le suite (un) est donccroissante.

0,5 pt 4. La suite (u_n) est croissante majorée par 1, donc elleconvergevers une limiteℓavecℓÉ1. 0,5 pt 5. Soit(v_n) la suite définie, pour tout entier natureln, parv_n= u_n

1−u_n.

(a) Pour toutn,v_n+1= u_n+1 1−un+1

=

3u_n 1+2u_n 1− 3u_n 1+2u_n

=

3u_n 1+2u_n 1+2u_n−3u_n

1+2u_n

= 3u_n

1+2u_n×1+2u_n

1−u_n =3× u_n

1−u_n = 3v_n .

Pour tout n, v_n+13v_n donc la suite (v_n) est géométrique, de raison 3 et de premier terme v₀ = u0

1−u₀=1 1 pt

(b) Puisque (v n) est géométrique de raison 3, on en déduitv_n=v₀×3ⁿ=3ⁿ. (c) v_n= u_n

1−un

⇔v_n−u_nv_n=u_n

⇔v_n=u_nv_n+u_n⇔v_n=u_n(1+uv_n)

⇔un= v_n

1+v_n = 3ⁿ

1+3ⁿ 0,5 pt

(d) vn= 3ⁿ 3ⁿ

µ 1+ 1

3ⁿ

¶= 1 1+ 1

3ⁿ

; lim

n→+∞3ⁿ= +∞(car 3>1) donc lim

n→+∞un=1.

La suite (u_n)converge vers 1. 0,5 pt