TS DM trigo et complexes.

DM TS Novembre 2012

Exercice 1.

On considère la fonction f définie sur par f(x) = cos(2x) + cos(3x).

1. Étudier la parité de f.

2. Étudier la périodicité de f.

3. En déduire que l'on peut limiter l'étude à [ 0 ; π ].

4. Étudier le signe de la dérivée de f et dresser le tableau de variations sur [ 0 ; π ].

5. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé sur [ - π ; π ].

Exercice 2.

Première partie :

1. Calculer i, i ², i ³, i ⁴ et i ²⁰¹².

2. En déduire une règle pour calculer iⁿ en fonction de n.

Deuxième partie :

On considère le complexe j = - 1

2 + i

√

2

.

1. Calculer j², j³ puis 1 + j + j ² .

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, (1 + j) ²ⁿ⁺¹ = - j ⁿ⁺². 3. Que vaut j ²⁰¹² ?

Exercice 3.

On considère le nombre a =

√

√

√

√

1. Calculer a² puis déterminer son module et un argument.

2. En déduire le module de a et vérifier qu'une mesure de son argument est 19π 12 . 3. Représenter sur le même graphique a, - a et a².

4. Déduire de ce qui précède les valeurs exactes de cos 7π

12 et sin 7π

12 puis de cos π

12 et sin π 12 .