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TS - DM n°3
Exercice n°1
On considère la fonction f définie par f(x)= /f{x^2-¤x+¤;x-a}, avec a=µ. On appelle cf sa courbe représentative.
1. Donner l'ensemble de définition df de f.
2. Calculer /lim{x;#4^{"+"};f(x)} et /lim{x;#4^{"–"};f(x)}. Que peut-on en déduire concernant cf ?
3.a. Montrer qu'il existe trois réels b, c, et d tels que, pour tout réel appartenant à df, f(x)=bx + c+ /f{d;x – #4}. (a désigne le réel indiqué dans l'énoncé)
b. Calculer les limites de f en +∞ et –∞.
c. Calculer les limites en +∞ et –∞ de f(x) – (bx + c). (b et c désignent les réels trouvés à la question 3.a.).
d. En déduire une propriété de cf .
4. Déterminer le tableau de variation de f.
5. Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=#4.
6. Soit la droite d'équation y= –¤x+µ. Déterminer les points de la courbe cf
pour lesquels la tangente est parallèle à . A chaque fois, on précisera les coordonnées de ces points, ainsi qu'une équation de la tangente.
Exercice n°2
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.
On admet que la probabilité qu’il gagne une partie est de p1 = /t{0,1;0,2;0,3;0,4;0,5;0,6;0,7;0,8;0,9}.
Ensuite,
• s’il gagne une partie, la probabilité q de gagner la suivante est égale à q=/t{0,6;0,7;0,8;0,9}.
• s’il perd une partie, la probabilité r de gagner la suivante est égale à r=/t{0,1;0,2;0,3;0,4;0,5}.
On note, pour tout entier naturel non nul :
• Gn l’événement « le joueur gagne la n -ième partie » ;
• pn la probabilité de l’événement Gn .
1. Calculer p3 . On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la 1/2
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première partie.
3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.
4. Démontrer que pn+1 = /calc{#7–#8}pn + #8.
5. On pose vn=pn – /f{#8;/calc{1-#7+#8}}. Montrer que (vn) est une suite géométrique et en déduire l'expression de pn en fonction de n.
6. Déterminer /lim{n;infinity;p_n} .
7. Écrire un algorithme permettant de déterminer, pour un nombre réel a strictement positif donné, le plus petit entier naturel n tel que #8− pn < a .
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