1/4 -
TS- DM n°17 – Révision bac n°3
Exercice n°1
[8 points]Résumé de Cours :
A) Dans l'espace, les points et les vecteurs ont trois coordonnées : Si A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors
⃗ AB
=/mat{x_B-x_A;;y_B-y_A;;z_B-z_A}
B) Dans l'espace, on peut aussi définir un produit scalaire : si
⃗ u
=/mat{x_u;;y_u;;z_u}
et⃗ v
=/mat{x_v;;y_v;;z_v}
,⃗ u
.⃗ v
=xu× xv+ yu× yv+ zu× zv.Ce produit scalaire possède les mêmes propriétés, notamment :
⃗ u
.⃗ v
=0 <=>⃗ u
et⃗ v
sont orthogonaux.C) Un vecteur est dit normal à un plan si ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
D) Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ), soit M( x ; y ; z ) un point de cet espace. Alors :
Dire que M appartient à un plan (p) revient à dire qu'il existe a,b et c non tous nuls tels que ax + by + cz + d = 0, où le vecteur
⃗ n /mat{a;;b;;c}
est un vecteur normal à (p).E) Dans l'espace, on peut définir la droite passant par un point A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur
⃗ u
comme l'ensemble de tous les points M de l'espace tels que⃗ AM
et⃗ u
sont colinéaires, donc tels que
⃗ AM
=t×⃗ u
, t ∈ R. Ceci donne trois relations/se{x_M=x_A+tx_u;y_M=y_A+ty_u;x_M=z_A+tz_u}
caractéristiques de la droite, où A(xA ; yA ; zA) est un point connu de la droite, t un réel, et M(xM ; yM ; zM) est un point quelconque de la droite. C'est la représentation
paramétrique de la droite.
Dire que M(xM ; yM ; zM) appartient à la droite (d) passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur
⃗ u
revient donc à dire qu'il existe t réel tel que/se{x_M=x_A+tx_u;y_M=y_A+ty_u;x_M=z_A+tz_u} . .
Soit un cube ABCDEFGH d'arête une unité. Dans le repère (A ;
⃗ AB
;⃗ AD
;⃗ AE
), on considère les points M, N et P, de coordonnées respectives M(1;1 ;3
4
), N(0 ;1 2
;1) et P(1;0 ;/t{0,5;0,25;1;2}).
1[0.75]. Placer M, N, et P sur la figure page suivante.
2[1.5]. Déterminer les coordonnées des vecteurs
⃗ MN
et⃗ MP
. En déduire que lespoints M,N, et P ne sont pas alignés.
3[1.5]. On considère l'algorithme 1 suivant :
a. Exécuter cet algorithme à la main avec les coordonnées des points M, N, et P données ci- dessus.
b. À quoi correspond le résultat affiché par l'algorithme ? Qu'en déduire pour le triangle MNP ?
1/4
2/4 -
4[1.5]. On considère le vecteur
⃗ n
(/calc{5-4*#8};/calc{8*#8-6};8).a. Montrer que
⃗ n
et⃗ MN
sont orthogonaux.b. Montrer que
⃗ n
et⃗ MP
sont orthogonaux.c. En déduire une équation cartésienne du plan (MNP).
5[1]. On considère la droite Δ passant par F et de vecteur directeur
⃗ n
. Déterminer une représentation paramétrique de Δ.6[1.75]. Déterminer le point d'intersection K de Δ avec (MNP).
Exercice n°2
[6 points]On définit la suite (un) par : un =
/int{0;1;
/f{¤x^{n};1+x} dx }
. 1[0.5]. Calculer u0 =/int{0;1; /f{ #1 ;1+x} dx }
. 2[1]. Calculer, pour tout entier naturel n, un+1 + un.3[0.5]. En déduire la valeur exacte de u1.
4[0.5]. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le
terme de rang n de la suite un, où n est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur.
Variables :
i et n sont des nombres entiers.
u est un nombre réel.
Entrée : Saisir n.
Initialisation :
Affecter à u la valeur … Traitement :
Pour i variant de 1 à …
Affecter à u la valeur … Fin Pour
Sortie :
Afficher u
5[0.5]. A l'aide de l'algorithme programmé sur une calculatrice, ou d'un tableur,
conjecturer le comportement de la suite (un).
6[1]. Démontrer que la suite (un) est décroissante.
7[1]. Démontrer que la suite est convergente.
8[1]. Démontrer que /lim{n;+infinity;u_n}=0.
Exercice n°3
[3 points]Soit f la fonction définie par : f(x)=e^{¤x} et c sa courbe représentative. Pour tout réel m strictement positif, on note dm d'équation mx – /calc{#2-1}e^{#2}
1[1]. Dans cette question, m=#2e^{#2}. Démontrer qu'alors dm est tangente à la courbe c en 1.
2[0.5]. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel m, le nombre de points
2/4
3/4 -
d'intersection de la courbe c et de la droite dm.
3[1.5]. Démontrer cette conjecture.
Exercice n°4
[4 points]Résumé de Cours :
Si une variable aléatoire est continue, elle peut suivre une loi de probabilité appelée Loi Normale d'espérance m et d'écart-type σ, dont la densité de probabilité est une courbe en cloche, centrée sur m (sur l'exemple ci-contre, m=7).
Pour obtenir des probabilités, il suffit d'utiliser la calculatrice de la façon suivante :
Si on veut
P ( a < X < b ) :
Sur la TI :– On accède au menu distrib en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit «NormalFrep(» et on écrit NormalFrep(a,b,m,σ)
Sur la Casio :
– Dans le menu RUN, on appuie sur puis sur puis sur STAT puis sur DIST puis sur NORM puis Ncd. On écrit alors NormCD(a,b,σ,m)
Si on veut déterminer t tel que P ( X<t ) =α
Sur la TI :
– On accède au menu distrib en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit «FracNormale(» et on écrit FracNormale(α,m,σ)
Sur la Casio :
– Dans le menu RUN, on appuie sur puis sur puis sur STAT puis sur DIST puis sur NORM puis InvN. On écrit alors InvNormCD(α,σ,m)
Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.
Partie A : Contrôle avant mise sur le marché.
Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de /t{2;3}
grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre /calc{100-#9} et /calc{100+#9} grammes.
La masse, exprimée en grammes, d'une tablette de chocolat peut être
modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d'espérance m=100 et d'écart-type σ=/t{1;2}. Le réglage des machines de la chaine de fabrication permet de modifier la valeur de σ.
1[1]. Calculer la probabilité de l'évènement M= « la tablette est mise sur le marché ».
2[1]. On souhaite modifier le réglage de sorte que la probabilité de cet
événement atteigne 0,9µ. Déterminer la valeur de σ pour que la probabilité de l'évènement « la tablette est mise sur le marché » soit égale à cette valeur.
Partie B : Contrôle à la réception
Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d'humidité qui doit être de /t{6;7;8} %. On dit alors que la fève est conforme.
L'entreprise a trois fournisseurs différents :
– le premier fournisseur procure /t{40;50;60} % du stock, le deuxième /t{10;20;30} % 3/4
4/4 -
et le troisième le reste.
– pour le premier, 9µ % de sa production respecte le taux d'humidité ; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 8µ % de sa production est conforme, et le troisième fournit 3µ % de fèves non conformes.
On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note Fi l'évènement « la fève provient du fournisseur i » et C l'évènement « la fève est conforme ».
1[1]. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu'elle est conforme. Le résultat sera arrondi au centième.
2[1]. Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non
conformes, l'entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 9µ % de fèves qu'elle achète soient conformes. Cet objectif est-il atteignable ? Sinon, pourquoi ? Si oui, quelle proportion p de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?
4/4
