n= 3 est le premier naturel qui convient

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EXERCICE 1 :

1. (a) a≡b(7)⇔il existek∈Ztel quea−b= 7k. De même, il existek^′ ∈Ztel quec−d= 7k^′. Orac−bd=a(c−d) +d(a−b) =a×7k^′+d×7k= 7(ak^′+dk) doncac≡bd(7).

(b) Cf cours, démonstration par récurrence.

2. 2ⁿ≡1 (7)−→ n= 3 est le premier naturel qui convient.

ntel que 3ⁿ≡1 (7)−→ n= 6 est le premier naturel qui convient car 3⁶= 729 = 7×104 + 1.

3. (a) Soita∈N. Commean’est pas un multiple de 7, on examine les différents cas du tableau :

a≡1 (7) a≡2 (7) a≡3 (7) a≡4 (7) a≡5 (7) a≡6 (7)

a⁶≡1 (7) a⁶≡2⁶≡(2³)²≡1 (7) a⁶≡3⁶≡1 (7) a⁶≡4⁶≡(2³)⁴≡1 (7) 1 a⁶≡2⁶×3⁶≡1 (7) Sia≡5 (7) alorsa⁶≡5⁶(7) et 5⁶= 15625 = 7×2232 + 1 donca⁶≡1 (7).

(b) On aa^k ≡1 (7),kétant le plus petit naturel vérifiant cette congruence.

D’autre part, si l’on effectue la division de 6 park, on obtient 6 =kq+ravec 06r < k.

On a donca⁶=a^kq+r=a^kq×a^r= a^kq

×a^r. Ora^k ≡1 (7), donca⁶≡a^r≡1 (7). Donca^r≡1 (7).

Orr < k et est le plus petit naturel vérifiant a≡1 (7), il en résulte que r= 0, car s’il n’était pas nul, cela contredirait l’hypothèse de minimalité dek. Ainsi 6 =kretk divise 6.

Les valeurs possibles pour ksont donc 1, 2, 3 et 6.

(c)

a 2 3 4 5 6

ordre dea 3 6 3 6 2

4. A2006= 2²⁰⁰⁶+ 3²⁰⁰⁶+ 4²⁰⁰⁶+ 5²⁰⁰⁶+ 6²⁰⁰⁶.

On a 2006 = 6×334 + 2. Donc 2²⁰⁰⁶= 2^6×334+2= 2^6×334×2²= 2⁶³³⁴

×2². Or 2⁶ ≡1 (7), donc finalement 2²⁰⁰⁶≡2²(7). De même pour les autres puissances, donc An≡2²+ 3²+ 4²+ 5²+ 6²(7), soitAn≡90≡6 (7) (car 90 = 7×12 + 6).

FinalementA2006≡6 (7) .

EXERCICE 2 :

1. On considère l’équation (E) : 109x−226y= 1 oùxet y sont des entiers relatifs.

(a) pgcd(109 ;226)=1 donc les nombres 109 et 226 sont premiers entre eux. (pour s’en convaincre, dérouler l’algorithme d’Euclide). L’équation (E) a donc des solutions puisque le théorème de Bézout nous l’assure.

(b) L’ensemble des couplesS={(141 + 226k,68 + 109k), k∈Z} est bien l’ensemble de solutions de (E) car :

• En remplaçantx et y par les valeurs de S, l’équation est vérifiée. Cela signifie que les couples de cette forme sont solutions.

• En revanche, pour être complet, il faut démontrer qu’un couple quelconque de solutions (x;y) est de la forme des couples contenus dansS. On y parvient en appliquant la méthode habituelle de recherche des solutions utilisant le théorème de Gauss.

(m;n) = (141; 68) est solution particulière de (E).

109m−226n= 1 et 109x−226y= 1⇒109m−226n= 109x−226y⇔109(x−m) = 226(y−n) (∗) première interprétation de (∗) :

109|226(y−n) 109 et 226 sont premiers entre eux

donc d’après le théorème de Gauss : 109|y−net il existek∈Ztel quey−n= 109k

deuxième interprétation de (∗) : 226|109(x−m)

pgcd(109; 226) = 1

donc d’après le théorème de Gauss : 226|x−met il existek^′ ∈Ztel que x−m= 226k^′

En reportantx−mety−ndans (∗), on prouve quek=k^′, on a donc compte-tenu des valeurs demetn la forme de solutions de (E) qui coïncide avec celle des couples deS.

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109d= 1 + 226e⇔109d−226e= 1 donc les nombresdetecherchés sont solutions de (E). Il existe un seul couple deS solution de (E) dont la valeurxest comprise entre 0 et 226 : c’est 141 doncd= 141. La valeur deecorrespondante este= 68.

2. 227 est un nombre premier car il n’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égal à√

227. (test de primalité)

3. A est l’ensemble des 227 entiers naturelsatels quea6226.

f etg sont deux fonctions de A dans A.

(a) f(0) est le reste de la division de 0¹⁰⁹ par 227 doncf(0) = 0. De mêmeg(0) = 0 doncg(f(0)) = 0.

On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat :

Si pest un nombre premier et a un entier non divisible parpalors a^p−1≡1 (p).

(b) Comme 227 est premier, tout nombre qui est strictement inférieur à 227 ne divise pas 227 (sinon il ne serait pas premier). Comme a ∈ A, a est premier avec 227, d’après le petit théorème de Fermat : a²²⁷⁻¹≡1 (7)⇔a²²⁶≡1 (227).

(c) D’après la définition def,f(a) est le reste de la division euclidienne dea¹⁰⁹par 227 doncf(a)≡a¹⁰⁹(227) donc en utilisant les propriétés sur les congruences,f(a)^d≡(a¹⁰⁹)^d(227)(1).

Or (a¹⁰⁹)^d≡a^109d≡a^1+226e≡a×(a²²⁶)^e≡a(227).

De plus,g[f(a)] est le reste de la division euclidienne def(a)¹⁴¹par 227 doncf(a)^d ≡g(f(a))(2).

En comparant les relations(1)et (2), on obtient :g[f(a)]≡a(227).

Il ne reste plus qu’à établir queg[f(a)] =a:

g[f(a)]≡a(227)⇔g[f(a)]−aest un multiple de 227. Ora∈Aetg[f(a)]∈Adonc on a respectivement : 06a6226 et 06g[f(a)]6226 d’où−2266g[f(a)]−a6226.

De ce qui précède, on en déduit que 0 est le seul multiple de 227 compris entre−226 et 226 doncg[f(a)]−a= 0⇔g[f(a)] =a

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