Eleve1 TS- DM n°18 – Révision bac n°4

Eleve1

TS- DM n°18 – Révision bac n°4

Exercice n°1 [4 points]

Rappel de cours : la loi normale.

– La loi normale est une la loi de probabilité dont la fonction de densité f est f(x)= 1

σ √ ^{2 π e}

−1 2

(

)

– La probabilité P(a<X<b) d'une variable aléatoire qui suit la loi normale se lit comme l'aire sous la courbe entre les droites d'équations x=a, x=b et l'axe des abscisses. X suit alors la loi normale de paramètre \µ et σ² (c'est à dire la variance).

– P(\µ – 2σ ≤ X ≤ \µ + 2σ) ≈ 0,954.

– Un intervalle de confiance est un intervalle qui estime, à partir de la proportion trouvée dans un échantillon, l'intervalle dans lequel sera la proportion p de la population totale. L'intervalle de confiance [ ^{f −} √ ^{1 n ; f +}

1

√ ⁿ ]

a 95 % de chance de contenir la proportion p de la population totale.

Partie A

Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire en heures de connexion à internet, des jeunes âgés de 16 à 24 ans, en France.

Soit T la variable aléatoire de ce modèle. T suit alors une loi normale dont la

fonction de densité est représentée ci-dessous :

L'axe vertical correspond à l'axe de symétrie de la courbe et a pour équation x = 13,7

1

. Déterminer le temps moyen hebdomadaire de connexion à internet.

2. On sait que P(T≥25)=0,023. En exploitant cette information :

a

. hachurer sur le graphique ci-dessus deux domaines distincts dont l'aire vaut 0,023 ;

b

. Déterminer la probabilité de l'aire non hachurée.

c

. Calculer une valeur approchée de σ à partir de ces informations.

3

. On choisit un jeune au hasard, en France. Déterminer la probabilité qu'il soit connecté plus de 18h par semaine. On arrondira le résultat au centième.

Partie B

Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.

L'Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des Œuvres et la Protection des droits sur Internet) souhaite connaître la proportion d'individus âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur Internet. Pour cela elle envisage de réaliser un sondage. Mais la Hadopi craint que les personnes interrogées ne répondent pas toutes de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole (P) suivant :

– On choisit aléatoirement un échantillon de personnes âgées de 16 à 24 ans.

– Pour chaque jeune de cet échantillon :

• Le jeune lance un dé équilibré à 8 faces ;

• l'enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer ;

• l'enquêteur pose la question « Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ? » ;

• Si le résultat du lancer est pair, alors la personne doit répondre de façon sincère par « Oui » ou « Non » ;

• Si le résultat du lancer est « 1 », alors la personne doit répondre « Oui ».

• Sinon, la personne doit répondre « Non ».

Grâce à ce protocole, l'enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.

On note p la proportion inconnue de personnes âgées de 16 à 24 ans qui

pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur Internet.

1. On choisit aléatoirement un individu faisant parti du protocole (P). On note : – R l'évènement « Le résultat du lancer est pair ».

– O l'évènement « L'individu a répondu Oui ».

a

. Construire l'arbre pondéré des probabilités (on commencera par R et R)

b

. En déduire la probabilité de l'évènement « le jeune a répondu Oui » en fonction de p.

2. À la demande de l'Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole (P).

a

. Sur un échantillon de taille 1500, il dénombre 575 réponses « Oui ».

Donner un intervalle de confiance, au niveau de 95 %, de la proportion q de personnes qui répondent « Oui » à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.

b

. Que peut-on en conclure sur la proportion p ?

Exercice n°2 [6 points]

Résumé de Cours :

A) Dans l'espace, les points et les vecteurs ont trois coordonnées : Si A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors ⃗AB =

( ^{x y z}

^{−x −y −z}

)

B) Dans l'espace, on peut aussi définir un produit scalaire : si ⃗u=

( ^{x y z}

)

( ^{x y z}

)

=xu× xv+ yu× yv+ yu× yv.

Ce produit scalaire possède les mêmes propriétés, notamment :

⃗u.⃗v=0 <=> ⃗u et ⃗v sont orthogonaux.

C) Un vecteur est dit normal à un plan si ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

D) Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j, ⃗k ), soit M( x ; y ; z ) un point de cet espace. Alors :

Dire que M appartient à un plan (p) revient à dire qu'il existe a,b et c non tous nuls tels que ax + by + cz + d = 0, où le vecteur ⃗ n ( ^{a b c} ) est un vecteur normal à (p).

E) Dans l'espace, on peut définir la droite passant par un point A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur ⃗u comme l'ensemble de tous les points M de l'espace tels que ⃗AM et ⃗u sont colinéaires, donc tels que ^⃗AM=t×⃗u, t ∈ R. Ceci donne trois relations

{ ^{x y x}

^{= = = x y z}

^{+tx +tz + ty}

caractéristiques de la droite, où A(xA ; yA ; zA) est un point connu de la droite, t un réel, et M(xM ; yM ; zM) est un point quelconque de la droite.

C'est la représentation paramétrique de la droite.

Dire que M

appartient à la droite (d) passant par A

et de vecteur directeur ⃗ u revient donc à dire qu'il existe t réel tel que

{ ^{x y x}

^{= = = x y z}

^{+tx +tz + ty}

^{. .}

ABCDEF désigne un cube de côté 1 unité.

Le point I est tel que ^{⃗ BF} =3 ⃗ BI . Le point J est tel que ^⃗ CB =2 ^⃗ CJ .

Le point K est le milieu du segment [CD].

Partie A

Dans cette partie, on ne demande aucune justification.

On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L . Construire, sur la figure ci-dessous :

• Les points I , J et K .

• Le point L .

• L'intersection de (IJK) et de (CDH).

• La section du cube par le plan (IJK).

Partie B

L'espace est rapporté au repère (A ; ⃗ AB ; ⃗ AD ; ⃗ AE ).

1

. Donner les coordonnées de A,C,F,G,I,J et K dans ce repère.

2. a

. Déterminer un vecteur ⃗ u normal au plan (IJK).

B

. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

3. On désigne par M un point de la droite passant par A de vecteur directeur ⃗ u .

a

. On désigne par t le réel tel que ⃗ AM =t ⃗ u . Calculer la distance MI en fonction de t.

b

. Déterminer la position de M pour laquelle la distance de M à I est minimale.

C

. On appelle M

le point de la droite passant par A de vecteur directeur

⃗ u pour lequel MI est minimale. M

appartient-il au plan (IJK) ? Justifier.

D

. (IM

) est-elle perpendiculaire à (BF) ? Justifier.

Exercice n°3 [3 points]

Soit f la fonction définie sur ]0;100] par : f(x) = 8 – ln ( ^{7 x} )

Soit c

la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

À tout point M appartenant à c

, on associe le point P, projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses, et le point Q, projeté orthogonal de M sur l'axe es ordonnées.

Étudier les variations de l'aire du rectangle OPMQ en fonction de la position de point M.

Si l'aire atteint un maximum ou un minimum, préciser les coordonnées du point M correspondant.

Exercice n°4 [5 points]

On souhaite stériliser des récipients.

Pour cela, on le prend à la température ambiante T

= 25°C, et on le place dans un four à température constante T

= 100°C.

La stérilisation débute dés lors que la température de la boîte est supérieure à 85°C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour n entier naturel, on note T

la température en degré celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T

=25.

Pour n non nul, la valeur de T

est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :

Initialisation : T prend la valeur 25 i est un nombre entier n est un nombre entier Traitement :

Demander la valeur de n Pour i allant de 1 à n faire

T prend la valeur 0,87 × T + 13 Fin pour

Sortie : Afficher T

1

. Déterminer la température de la boîte au bout de 3 minutes. Arrondir à l'unité.

2

. Démontrer que, pour tout entier n, on a T

= 100 – 75 × 0,87

. 3

. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-t-elle ?

Partie B

Dans cette partie, t désigne un réel positif.

On suppose désormais qu'à l'instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f(t) (exprimée en degré Celsius) avec :

f(t) = 100 – 75 × e

−ln

(

)

10 t

1. a

. Étudier le sens de variation de f sur [0;+∞[.

b

. Justifier que si t ≥ 10, alors f(t) ≥ 87 .

2. Soit t

un réel supérieur ou égal à 10. On note a(t

) le domaine délimité par les droites d'équation t = 10, t = t

, y = 87 et la courbe représentative c

de f.

On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps θ si l'aire,

exprimée en unité d'aire, du domaine a(t

) est supérieure à 80.

a

. Déterminer une primitive de e

où α est un réel quelconque fixé.

b

. Calculer a(t

) en fonction de t

.

C

. Déterminer une valeur approchée du temps nécessaire pour stériliser la boite.

Exercice n°5 [2 points]

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; ⃗ u ; ⃗ v ) Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier par une démonstration.

a

. Soit z un nombre complexe d'argument π 2 . Proposition 1 : z

est un nombre réel.

b

. Soit (E) l'ensemble des points M d'affixe z différente de 1, telle que

| _1−z ^z | ^=1.

Proposition 2 : L'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels.

Eleve2

TS- DM n°18 – Révision bac n°4

Exercice n°1 [4 points]

Rappel de cours : la loi normale.

– La loi normale est une la loi de probabilité dont la fonction de densité f est f(x)= 1

σ √ ^{2 π e}

−1 2

(

)

– La probabilité P(a<X<b) d'une variable aléatoire qui suit la loi normale se lit comme l'aire sous la courbe entre les droites d'équations x=a, x=b et l'axe des abscisses. X suit alors la loi normale de paramètre \µ et σ² (c'est à dire la variance).

– P(\µ – 2σ ≤ X ≤ \µ + 2σ) ≈ 0,954.

– Un intervalle de confiance est un intervalle qui estime, à partir de la proportion trouvée dans un échantillon, l'intervalle dans lequel sera la proportion p de la population totale. L'intervalle de confiance [ ^{f −} √ ^{1 n ; f +}

1

√ ⁿ ]

a 95 % de chance de contenir la proportion p de la population totale.

Partie A

Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire en heures de connexion à internet, des jeunes âgés de 16 à 24 ans, en France.

Soit T la variable aléatoire de ce modèle. T suit alors une loi normale dont la

fonction de densité est représentée ci-dessous :

L'axe vertical correspond à l'axe de symétrie de la courbe et a pour équation x = 14,2

1

. Déterminer le temps moyen hebdomadaire de connexion à internet.

2. On sait que P(T≥25)=0,023. En exploitant cette information :

a

. hachurer sur le graphique ci-dessus deux domaines distincts dont l'aire vaut 0,023 ;

b

. Déterminer la probabilité de l'aire non hachurée.

c

. Calculer une valeur approchée de σ à partir de ces informations.

3

. On choisit un jeune au hasard, en France. Déterminer la probabilité qu'il soit connecté plus de 18h par semaine. On arrondira le résultat au centième.

Partie B

Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.

L'Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des Œuvres et la Protection des droits sur Internet) souhaite connaître la proportion d'individus âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur Internet. Pour cela elle envisage de réaliser un sondage. Mais la Hadopi craint que les personnes interrogées ne répondent pas toutes de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole (P) suivant :

– On choisit aléatoirement un échantillon de personnes âgées de 16 à 24 ans.

– Pour chaque jeune de cet échantillon :

• Le jeune lance un dé équilibré à 8 faces ;

• l'enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer ;

• l'enquêteur pose la question « Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ? » ;

• Si le résultat du lancer est pair, alors la personne doit répondre de façon sincère par « Oui » ou « Non » ;

• Si le résultat du lancer est « 1 », alors la personne doit répondre « Oui ».

• Sinon, la personne doit répondre « Non ».

Grâce à ce protocole, l'enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.

On note p la proportion inconnue de personnes âgées de 16 à 24 ans qui

pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur Internet.

1. On choisit aléatoirement un individu faisant parti du protocole (P). On note : – R l'évènement « Le résultat du lancer est pair ».

– O l'évènement « L'individu a répondu Oui ».

a

. Construire l'arbre pondéré des probabilités (on commencera par R et R)

b

. En déduire la probabilité de l'évènement « le jeune a répondu Oui » en fonction de p.

2. À la demande de l'Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole (P).

a

. Sur un échantillon de taille 1500, il dénombre 700 réponses « Oui ».

Donner un intervalle de confiance, au niveau de 95 %, de la proportion q de personnes qui répondent « Oui » à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.

b

. Que peut-on en conclure sur la proportion p ?

Exercice n°2 [6 points]

Résumé de Cours :

A) Dans l'espace, les points et les vecteurs ont trois coordonnées : Si A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors ⃗AB =

( ^{x y z}

^{−x −y −z}

)

B) Dans l'espace, on peut aussi définir un produit scalaire : si ⃗u=

( ^{x y z}

)

( ^{x y z}

)

=xu× xv+ yu× yv+ yu× yv.

Ce produit scalaire possède les mêmes propriétés, notamment :

⃗u.⃗v=0 <=> ⃗u et ⃗v sont orthogonaux.

C) Un vecteur est dit normal à un plan si ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

D) Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j, ⃗k ), soit M( x ; y ; z ) un point de cet espace. Alors :

Dire que M appartient à un plan (p) revient à dire qu'il existe a,b et c non tous nuls tels que ax + by + cz + d = 0, où le vecteur ⃗ n ( ^{a b c} ) est un vecteur normal à (p).

E) Dans l'espace, on peut définir la droite passant par un point A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur ⃗u comme l'ensemble de tous les points M de l'espace tels que ⃗AM et ⃗u sont colinéaires, donc tels que ^⃗AM=t×⃗u, t ∈ R. Ceci donne trois relations

{ ^{x y x}

^{= = = x y z}

^{+tx +tz + ty}

caractéristiques de la droite, où A(xA ; yA ; zA) est un point connu de la droite, t un réel, et M(xM ; yM ; zM) est un point quelconque de la droite.

C'est la représentation paramétrique de la droite.

Dire que M

appartient à la droite (d) passant par A

et de vecteur directeur ⃗ u revient donc à dire qu'il existe t réel tel que

{ ^{x y x}

^{= = = x y z}

^{+tx +tz + ty}

^{. .}

ABCDEF désigne un cube de côté 1 unité.

Le point I est tel que ^{⃗ BF} =4 ⃗ BI . Le point J est tel que ^⃗ CB =3 ^⃗ CJ .

Le point K est le milieu du segment [CD].

Partie A

Dans cette partie, on ne demande aucune justification.

On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L . Construire, sur la figure ci-dessous :

• Les points I , J et K .

• Le point L .

• L'intersection de (IJK) et de (CDH).

• La section du cube par le plan (IJK).

Partie B

L'espace est rapporté au repère (A ; ⃗ AB ; ⃗ AD ; ⃗ AE ).

1

. Donner les coordonnées de A,C,F,G,I,J et K dans ce repère.

2. a

. Déterminer un vecteur ⃗ u normal au plan (IJK).

B

. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

3. On désigne par M un point de la droite passant par A de vecteur directeur ⃗ u .

a

. On désigne par t le réel tel que ⃗ AM =t ⃗ u . Calculer la distance MI en fonction de t.

b

. Déterminer la position de M pour laquelle la distance de M à I est minimale.

C

. On appelle M

le point de la droite passant par A de vecteur directeur

⃗ u pour lequel MI est minimale. M

appartient-il au plan (IJK) ? Justifier.

D

. (IM

) est-elle perpendiculaire à (BF) ? Justifier.

Exercice n°3 [3 points]

Soit f la fonction définie sur ]0;100] par : f(x) = 5 – ln ( ^{7 x} )

Soit c

la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

À tout point M appartenant à c

, on associe le point P, projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses, et le point Q, projeté orthogonal de M sur l'axe es ordonnées.

Étudier les variations de l'aire du rectangle OPMQ en fonction de la position de point M.

Si l'aire atteint un maximum ou un minimum, préciser les coordonnées du point M correspondant.

Exercice n°4 [5 points]

On souhaite stériliser des récipients.

Pour cela, on le prend à la température ambiante T

= 25°C, et on le place dans un four à température constante T

= 100°C.

La stérilisation débute dés lors que la température de la boîte est supérieure à 85°C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour n entier naturel, on note T

la température en degré celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T

=25.

Pour n non nul, la valeur de T

est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :

Initialisation : T prend la valeur 25 i est un nombre entier n est un nombre entier Traitement :

Demander la valeur de n Pour i allant de 1 à n faire

T prend la valeur 0,87 × T + 13 Fin pour

Sortie : Afficher T

1

. Déterminer la température de la boîte au bout de 3 minutes. Arrondir à l'unité.

2

. Démontrer que, pour tout entier n, on a T

= 100 – 75 × 0,87

. 3

. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-t-elle ?

Partie B

Dans cette partie, t désigne un réel positif.

On suppose désormais qu'à l'instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f(t) (exprimée en degré Celsius) avec :

f(t) = 100 – 75 × e

−ln

(

)

10 t

1. a

. Étudier le sens de variation de f sur [0;+∞[.

b

. Justifier que si t ≥ 10, alors f(t) ≥ 87 .

2. Soit t

un réel supérieur ou égal à 10. On note a(t

) le domaine délimité par les droites d'équation t = 10, t = t

, y = 87 et la courbe représentative c

de f.

On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps θ si l'aire,

exprimée en unité d'aire, du domaine a(t

) est supérieure à 80.

a

. Déterminer une primitive de e

où α est un réel quelconque fixé.

b

. Calculer a(t

) en fonction de t

.

C

. Déterminer une valeur approchée du temps nécessaire pour stériliser la boite.

Exercice n°5 [2 points]

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; ⃗ u ; ⃗ v ) Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier par une démonstration.

a

. Soit z un nombre complexe d'argument π 4 . Proposition 1 : z

est un nombre réel.

b

. Soit (E) l'ensemble des points M d'affixe z différente de 1, telle que

| _1−z ^z | ^=1.

Proposition 2 : L'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels.

Eleve3

TS- DM n°18 – Révision bac n°4

Exercice n°1 [4 points]

Rappel de cours : la loi normale.

– La loi normale est une la loi de probabilité dont la fonction de densité f est f(x)= 1

σ √ ^{2 π e}

−1 2

(

)

– La probabilité P(a<X<b) d'une variable aléatoire qui suit la loi normale se lit comme l'aire sous la courbe entre les droites d'équations x=a, x=b et l'axe des abscisses. X suit alors la loi normale de paramètre \µ et σ² (c'est à dire la variance).

– P(\µ – 2σ ≤ X ≤ \µ + 2σ) ≈ 0,954.

– Un intervalle de confiance est un intervalle qui estime, à partir de la proportion trouvée dans un échantillon, l'intervalle dans lequel sera la proportion p de la population totale. L'intervalle de confiance [ ^{f −} √ ^{1 n ; f +}

1

√ ⁿ ]

a 95 % de chance de contenir la proportion p de la population totale.

Partie A

Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire en heures de connexion à internet, des jeunes âgés de 16 à 24 ans, en France.

Soit T la variable aléatoire de ce modèle. T suit alors une loi normale dont la

fonction de densité est représentée ci-dessous :

L'axe vertical correspond à l'axe de symétrie de la courbe et a pour équation x = 14,4

1

. Déterminer le temps moyen hebdomadaire de connexion à internet.

2. On sait que P(T≥25)=0,023. En exploitant cette information :

a

. hachurer sur le graphique ci-dessus deux domaines distincts dont l'aire vaut 0,023 ;

b

. Déterminer la probabilité de l'aire non hachurée.

c

. Calculer une valeur approchée de σ à partir de ces informations.

3

. On choisit un jeune au hasard, en France. Déterminer la probabilité qu'il soit connecté plus de 18h par semaine. On arrondira le résultat au centième.

Partie B

Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.

L'Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des Œuvres et la Protection des droits sur Internet) souhaite connaître la proportion d'individus âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur Internet. Pour cela elle envisage de réaliser un sondage. Mais la Hadopi craint que les personnes interrogées ne répondent pas toutes de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole (P) suivant :

– On choisit aléatoirement un échantillon de personnes âgées de 16 à 24 ans.

– Pour chaque jeune de cet échantillon :

• Le jeune lance un dé équilibré à 6 faces ;

• l'enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer ;

• l'enquêteur pose la question « Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ? » ;

• Si le résultat du lancer est pair, alors la personne doit répondre de façon sincère par « Oui » ou « Non » ;

• Si le résultat du lancer est « 1 », alors la personne doit répondre « Oui ».

• Sinon, la personne doit répondre « Non ».

Grâce à ce protocole, l'enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.

On note p la proportion inconnue de personnes âgées de 16 à 24 ans qui

pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur Internet.

1. On choisit aléatoirement un individu faisant parti du protocole (P). On note : – R l'évènement « Le résultat du lancer est pair ».

– O l'évènement « L'individu a répondu Oui ».

a

. Construire l'arbre pondéré des probabilités (on commencera par R et R)

b

. En déduire la probabilité de l'évènement « le jeune a répondu Oui » en fonction de p.

2. À la demande de l'Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole (P).

a

. Sur un échantillon de taille 1500, il dénombre 700 réponses « Oui ».

Donner un intervalle de confiance, au niveau de 95 %, de la proportion q de personnes qui répondent « Oui » à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.

b

. Que peut-on en conclure sur la proportion p ?

Exercice n°2 [6 points]

Résumé de Cours :

A) Dans l'espace, les points et les vecteurs ont trois coordonnées : Si A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors ⃗AB =

( ^{x y z}

^{−x −y −z}

)

B) Dans l'espace, on peut aussi définir un produit scalaire : si ⃗u=

( ^{x y z}

)

( ^{x y z}

)

=xu× xv+ yu× yv+ yu× yv.

Ce produit scalaire possède les mêmes propriétés, notamment :

⃗u.⃗v=0 <=> ⃗u et ⃗v sont orthogonaux.

C) Un vecteur est dit normal à un plan si ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

D) Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j, ⃗k ), soit M( x ; y ; z ) un point de cet espace. Alors :

Dire que M appartient à un plan (p) revient à dire qu'il existe a,b et c non tous nuls tels que ax + by + cz + d = 0, où le vecteur ⃗ n ( ^{a b c} ) est un vecteur normal à (p).

E) Dans l'espace, on peut définir la droite passant par un point A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur ⃗u comme l'ensemble de tous les points M de l'espace tels que ⃗AM et ⃗u sont colinéaires, donc tels que ^⃗AM=t×⃗u, t ∈ R. Ceci donne trois relations

{ ^{x y x}

^{= = = x y z}

^{+tx +tz + ty}

caractéristiques de la droite, où A(xA ; yA ; zA) est un point connu de la droite, t un réel, et M(xM ; yM ; zM) est un point quelconque de la droite.

C'est la représentation paramétrique de la droite.

Dire que M

appartient à la droite (d) passant par A

et de vecteur directeur ⃗ u revient donc à dire qu'il existe t réel tel que

{ ^{x y x}

^{= = = x y z}

^{+tx +tz + ty}

^{. .}

ABCDEF désigne un cube de côté 1 unité.

Le point I est tel que ^{⃗ BF} =3 ⃗ BI . Le point J est tel que ^⃗ CB =2 ^⃗ CJ .

Le point K est le milieu du segment [CD].

Partie A

Dans cette partie, on ne demande aucune justification.

On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L . Construire, sur la figure ci-dessous :

• Les points I , J et K .

• Le point L .

• L'intersection de (IJK) et de (CDH).

• La section du cube par le plan (IJK).

Partie B

L'espace est rapporté au repère (A ; ⃗ AB ; ⃗ AD ; ⃗ AE ).

1

. Donner les coordonnées de A,C,F,G,I,J et K dans ce repère.

2. a

. Déterminer un vecteur ⃗ u normal au plan (IJK).

B

. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

3. On désigne par M un point de la droite passant par A de vecteur directeur ⃗ u .

a

. On désigne par t le réel tel que ⃗ AM =t ⃗ u . Calculer la distance MI en fonction de t.

b

. Déterminer la position de M pour laquelle la distance de M à I est minimale.

C

. On appelle M

le point de la droite passant par A de vecteur directeur

⃗ u pour lequel MI est minimale. M

appartient-il au plan (IJK) ? Justifier.

D

. (IM

) est-elle perpendiculaire à (BF) ? Justifier.

Exercice n°3 [3 points]

Soit f la fonction définie sur ]0;100] par : f(x) = 9 – ln ( ^{2 x} )

Soit c

la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

À tout point M appartenant à c

, on associe le point P, projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses, et le point Q, projeté orthogonal de M sur l'axe es ordonnées.

Étudier les variations de l'aire du rectangle OPMQ en fonction de la position de point M.

Si l'aire atteint un maximum ou un minimum, préciser les coordonnées du point M correspondant.

Exercice n°4 [5 points]

On souhaite stériliser des récipients.

Pour cela, on le prend à la température ambiante T

= 25°C, et on le place dans un four à température constante T

= 100°C.

La stérilisation débute dés lors que la température de la boîte est supérieure à 85°C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour n entier naturel, on note T

la température en degré celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T

=25.

Pour n non nul, la valeur de T

est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :

Initialisation : T prend la valeur 25 i est un nombre entier n est un nombre entier Traitement :

Demander la valeur de n Pour i allant de 1 à n faire

T prend la valeur 0,84 × T + 16 Fin pour

Sortie : Afficher T

1

. Déterminer la température de la boîte au bout de 3 minutes. Arrondir à l'unité.

2

. Démontrer que, pour tout entier n, on a T

= 100 – 75 × 0,84

. 3

. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-t-elle ?

Partie B

Dans cette partie, t désigne un réel positif.

On suppose désormais qu'à l'instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f(t) (exprimée en degré Celsius) avec :

f(t) = 100 – 75 × e

−ln

(

)

10 t

1. a

. Étudier le sens de variation de f sur [0;+∞[.

b

. Justifier que si t ≥ 10, alors f(t) ≥ 84 .

2. Soit t

un réel supérieur ou égal à 10. On note a(t

) le domaine délimité par les droites d'équation t = 10, t = t

, y = 84 et la courbe représentative c

de f.

On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps θ si l'aire,

exprimée en unité d'aire, du domaine a(t

) est supérieure à 80.

a

. Déterminer une primitive de e

où α est un réel quelconque fixé.

b

. Calculer a(t

) en fonction de t

.

C

. Déterminer une valeur approchée du temps nécessaire pour stériliser la boite.

Exercice n°5 [2 points]

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; ⃗ u ; ⃗ v ) Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier par une démonstration.

a

. Soit z un nombre complexe d'argument π 4 . Proposition 1 : z

est un nombre réel.

b

. Soit (E) l'ensemble des points M d'affixe z différente de 1, telle que

| _1−z ^z | ^=1.

Proposition 2 : L'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels.

Eleve4

TS- DM n°18 – Révision bac n°4

Exercice n°1 [4 points]

Rappel de cours : la loi normale.

– La loi normale est une la loi de probabilité dont la fonction de densité f est f(x)= 1

σ √ ^{2 π e}

−1 2

(

)

– La probabilité P(a<X<b) d'une variable aléatoire qui suit la loi normale se lit comme l'aire sous la courbe entre les droites d'équations x=a, x=b et l'axe des abscisses. X suit alors la loi normale de paramètre \µ et σ² (c'est à dire la variance).

– P(\µ – 2σ ≤ X ≤ \µ + 2σ) ≈ 0,954.

– Un intervalle de confiance est un intervalle qui estime, à partir de la proportion trouvée dans un échantillon, l'intervalle dans lequel sera la proportion p de la population totale. L'intervalle de confiance [ ^{f −} √ ^{1 n ; f +}

1

√ ⁿ ]

a 95 % de chance de contenir la proportion p de la population totale.

Partie A

Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire en heures de connexion à internet, des jeunes âgés de 16 à 24 ans, en France.

Soit T la variable aléatoire de ce modèle. T suit alors une loi normale dont la

fonction de densité est représentée ci-dessous :

L'axe vertical correspond à l'axe de symétrie de la courbe et a pour équation x = 14,4

1

. Déterminer le temps moyen hebdomadaire de connexion à internet.

2. On sait que P(T≥25)=0,023. En exploitant cette information :

a

. hachurer sur le graphique ci-dessus deux domaines distincts dont l'aire vaut 0,023 ;

b

. Déterminer la probabilité de l'aire non hachurée.

c

. Calculer une valeur approchée de σ à partir de ces informations.

3

. On choisit un jeune au hasard, en France. Déterminer la probabilité qu'il soit connecté plus de 18h par semaine. On arrondira le résultat au centième.

Partie B

Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.

L'Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des Œuvres et la Protection des droits sur Internet) souhaite connaître la proportion d'individus âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur Internet. Pour cela elle envisage de réaliser un sondage. Mais la Hadopi craint que les personnes interrogées ne répondent pas toutes de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole (P) suivant :

– On choisit aléatoirement un échantillon de personnes âgées de 16 à 24 ans.

– Pour chaque jeune de cet échantillon :

• Le jeune lance un dé équilibré à 10 faces ;

• l'enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer ;

• l'enquêteur pose la question « Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ? » ;

• Si le résultat du lancer est pair, alors la personne doit répondre de façon sincère par « Oui » ou « Non » ;

• Si le résultat du lancer est « 1 », alors la personne doit répondre « Oui ».

• Sinon, la personne doit répondre « Non ».

Grâce à ce protocole, l'enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.

On note p la proportion inconnue de personnes âgées de 16 à 24 ans qui

pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur Internet.

1. On choisit aléatoirement un individu faisant parti du protocole (P). On note : – R l'évènement « Le résultat du lancer est pair ».

– O l'évènement « L'individu a répondu Oui ».

a

. Construire l'arbre pondéré des probabilités (on commencera par R et R)

b

. En déduire la probabilité de l'évènement « le jeune a répondu Oui » en fonction de p.

2. À la demande de l'Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole (P).

a

. Sur un échantillon de taille 1500, il dénombre 675 réponses « Oui ».

Donner un intervalle de confiance, au niveau de 95 %, de la proportion q de personnes qui répondent « Oui » à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.

b

. Que peut-on en conclure sur la proportion p ?

Exercice n°2 [6 points]

Résumé de Cours :

A) Dans l'espace, les points et les vecteurs ont trois coordonnées : Si A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors ⃗AB =

( ^{x y z}

^{−x −y −z}

)

B) Dans l'espace, on peut aussi définir un produit scalaire : si ⃗u=

( ^{x y z}

)

( ^{x y z}

)

=xu× xv+ yu× yv+ yu× yv.

Ce produit scalaire possède les mêmes propriétés, notamment :

⃗u.⃗v=0 <=> ⃗u et ⃗v sont orthogonaux.

C) Un vecteur est dit normal à un plan si ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

D) Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j, ⃗k ), soit M( x ; y ; z ) un point de cet espace. Alors :

Dire que M appartient à un plan (p) revient à dire qu'il existe a,b et c non tous nuls tels que ax + by + cz + d = 0, où le vecteur ⃗ n ( ^{a b c} ) est un vecteur normal à (p).

E) Dans l'espace, on peut définir la droite passant par un point A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur ⃗u comme l'ensemble de tous les points M de l'espace tels que ⃗AM et ⃗u sont colinéaires, donc tels que ^⃗AM=t×⃗u, t ∈ R. Ceci donne trois relations

{ ^{x y x}

^{= = = x y z}

^{+tx +tz + ty}

caractéristiques de la droite, où A(xA ; yA ; zA) est un point connu de la droite, t un réel, et M(xM ; yM ; zM) est un point quelconque de la droite.

C'est la représentation paramétrique de la droite.

Dire que M

appartient à la droite (d) passant par A

et de vecteur directeur ⃗ u revient donc à dire qu'il existe t réel tel que

{ ^{x y x}

^{= = = x y z}

^{+tx +tz + ty}

^{. .}

ABCDEF désigne un cube de côté 1 unité.

Le point I est tel que ^{⃗ BF} =4 ⃗ BI . Le point J est tel que ^⃗ CB =3 ^⃗ CJ .

Le point K est le milieu du segment [CD].

Partie A

Dans cette partie, on ne demande aucune justification.

On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L . Construire, sur la figure ci-dessous :

• Les points I , J et K .

• Le point L .

• L'intersection de (IJK) et de (CDH).

• La section du cube par le plan (IJK).

Partie B

L'espace est rapporté au repère (A ; ⃗ AB ; ⃗ AD ; ⃗ AE ).

1

. Donner les coordonnées de A,C,F,G,I,J et K dans ce repère.

2. a

. Déterminer un vecteur ⃗ u normal au plan (IJK).

B

. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

3. On désigne par M un point de la droite passant par A de vecteur directeur ⃗ u .

a

. On désigne par t le réel tel que ⃗ AM =t ⃗ u . Calculer la distance MI en fonction de t.

b

. Déterminer la position de M pour laquelle la distance de M à I est minimale.

C

. On appelle M

le point de la droite passant par A de vecteur directeur

⃗ u pour lequel MI est minimale. M

appartient-il au plan (IJK) ? Justifier.

D

. (IM

) est-elle perpendiculaire à (BF) ? Justifier.

Exercice n°3 [3 points]

Soit f la fonction définie sur ]0;100] par : f(x) = 7 – ln ( ^{5 x} )

Soit c

la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

À tout point M appartenant à c

, on associe le point P, projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses, et le point Q, projeté orthogonal de M sur l'axe es ordonnées.

Étudier les variations de l'aire du rectangle OPMQ en fonction de la position de point M.

Si l'aire atteint un maximum ou un minimum, préciser les coordonnées du point M correspondant.

Exercice n°4 [5 points]

On souhaite stériliser des récipients.

Pour cela, on le prend à la température ambiante T

= 25°C, et on le place dans un four à température constante T

= 100°C.

La stérilisation débute dés lors que la température de la boîte est supérieure à 85°C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour n entier naturel, on note T

la température en degré celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T

=25.

Pour n non nul, la valeur de T

est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :

Initialisation : T prend la valeur 25 i est un nombre entier n est un nombre entier Traitement :

Demander la valeur de n Pour i allant de 1 à n faire

T prend la valeur 0,82 × T + 18 Fin pour

Sortie : Afficher T

1

. Déterminer la température de la boîte au bout de 3 minutes. Arrondir à l'unité.

2

. Démontrer que, pour tout entier n, on a T

= 100 – 75 × 0,82

. 3

. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-t-elle ?

Partie B

Dans cette partie, t désigne un réel positif.

On suppose désormais qu'à l'instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f(t) (exprimée en degré Celsius) avec :

f(t) = 100 – 75 × e

−ln

(

)

10 t

1. a

. Étudier le sens de variation de f sur [0;+∞[.

b

. Justifier que si t ≥ 10, alors f(t) ≥ 82 .

2. Soit t

un réel supérieur ou égal à 10. On note a(t

) le domaine délimité par les droites d'équation t = 10, t = t

, y = 82 et la courbe représentative c

de f.

On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps θ si l'aire,

exprimée en unité d'aire, du domaine a(t

) est supérieure à 80.

a

. Déterminer une primitive de e

où α est un réel quelconque fixé.

b

. Calculer a(t

) en fonction de t

.

C

. Déterminer une valeur approchée du temps nécessaire pour stériliser la boite.

Exercice n°5 [2 points]

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; ⃗ u ; ⃗ v ) Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier par une démonstration.

a

. Soit z un nombre complexe d'argument π 10 . Proposition 1 : z

est un nombre réel.

b

. Soit (E) l'ensemble des points M d'affixe z différente de 1, telle que

| _1−z ^z | ^=1.

Proposition 2 : L'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels.

Eleve5

TS- DM n°18 – Révision bac n°4

Exercice n°1 [4 points]

Rappel de cours : la loi normale.

– La loi normale est une la loi de probabilité dont la fonction de densité f est f(x)= 1

σ √ ^{2 π e}

−1 2

(

)

– La probabilité P(a<X<b) d'une variable aléatoire qui suit la loi normale se lit comme l'aire sous la courbe entre les droites d'équations x=a, x=b et l'axe des abscisses. X suit alors la loi normale de paramètre \µ et σ² (c'est à dire la variance).

– P(\µ – 2σ ≤ X ≤ \µ + 2σ) ≈ 0,954.

– Un intervalle de confiance est un intervalle qui estime, à partir de la proportion trouvée dans un échantillon, l'intervalle dans lequel sera la proportion p de la population totale. L'intervalle de confiance [ ^{f −} √ ^{1 n ; f +}

1

√ ⁿ ]

a 95 % de chance de contenir la proportion p de la population totale.

Partie A

Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire en heures de connexion à internet, des jeunes âgés de 16 à 24 ans, en France.

Soit T la variable aléatoire de ce modèle. T suit alors une loi normale dont la

fonction de densité est représentée ci-dessous :

L'axe vertical correspond à l'axe de symétrie de la courbe et a pour équation x = 13,7

1

. Déterminer le temps moyen hebdomadaire de connexion à internet.

2. On sait que P(T≥25)=0,023. En exploitant cette information :

a

. hachurer sur le graphique ci-dessus deux domaines distincts dont l'aire vaut 0,023 ;

b

. Déterminer la probabilité de l'aire non hachurée.

c

. Calculer une valeur approchée de σ à partir de ces informations.

3

. On choisit un jeune au hasard, en France. Déterminer la probabilité qu'il soit connecté plus de 18h par semaine. On arrondira le résultat au centième.

Partie B

Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.

L'Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des Œuvres et la Protection des droits sur Internet) souhaite connaître la proportion d'individus âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur Internet. Pour cela elle envisage de réaliser un sondage. Mais la Hadopi craint que les personnes interrogées ne répondent pas toutes de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole (P) suivant :

– On choisit aléatoirement un échantillon de personnes âgées de 16 à 24 ans.