TS 8 DS 9 : Int´egrales, probabilit´e continue, fluctuation, estimation 6 mai 2017
Exercice 1 : Loi normale (7 points)
Les deux parties A et B peuvent ˆetre trait´ees de fa¸con ind´ependante Partie A
Des ´etudes statistiques ont permis de mod´eliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion `a internet des jeunes en France ˆag´es de 16 `a 24 ans par une variable al´eatoireT suivant une loi normale de moyenneµ= 13,9 et d’´ecart type σ.
La fonction densit´e de probabilit´e deT est repr´esent´ee ci-dessous :
! Baccalauréat S Pondichéry 22 avril 2016 "
EXERCICE1 4 points
Commun à tous les candidats
Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante Partie A
Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoireTsuivant une loi normale de moyenneµ=13,9 et d’écart typeσ.
La fonction densité de probabilité deTest représentée ci-dessous :
0 1 10 13,9
1. On sait quep(T!22)=0,023.
En exploitant cette information :
a. hachurer sur le graphique donné un annexe, deux domaines distincts dont l’aire est égale à 0,023 ;
b. déterminerP(5,8"T "22). Justifier le résultat. Montrer qu’une valeur approchée deσau dixième est 4,1.
2. On choisit un jeune en France au hasard.
Déterminer la probabilité qu’il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine.
Arrondir au centième.
Partie B
Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième.
La Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des Œuvres et la Protection des droits sur Internet) souhaite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet.
Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage.
Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondent pas tous de façon sin- cère. Aussi, elle propose le protocole (P) suivant :
1. On sait quep(T >22) = 0,023.
En exploitant cette information :
(a) hachurer sur le graphique, deux domaines distincts dont l’aire est ´egale `a 0,023 ;
(b) d´eterminer P(5,86T 622). Justifier le r´esultat. Montrer qu’une valeur approch´ee deσau dixi`eme est 4,1.
2. On choisit un jeune en France au hasard.
D´eterminer la probabilit´e qu’il soit connect´e `a internet plus de 18 heures par semaine.
Arrondir au centi`eme.
Solution:
! Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 22 avril 2016 "
Exercice 1 Commun à tous les candidats 4 points
Partie A
0 1 5,8 10 13,9 22
1. On sait quep(T!22)=0,023.
a. Le premier domaine est limité par la courbe, l’axe des abscisses et la droite verticale d’équa- tionx=22.
L’autre domaine est le symétrique du premier par rapport à la droite d’équationx=13,9 ; 22−13,9=8,1 et 13,9−8,1=5,8.
Le second domaine est limité par la courbe, l’axe des abscisses et la droite d’équationx=5,8.
Voir ci-dessus
b. P(5,8"T"22)=1−(P(T>22)+P(T<5,8))=1−2×0,023=1−0,046=0,954 D’après le cours,P(µ−2σ"T"µ+2σ)≈0,954, donc on a
P(13,9−2σ"T"13,9+2σ)=0,954.
On en déduit queσvérifie 13,9−2σ=5,8 et 13,9+2σ=22, ce qui donneσ≈4,05, soit 4,1 au dixième.
2. On cherche la probabilité qu’un jeune soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine, c’est-à-direP(T >18).
On trouve à la calculatrice, en prenantm=13,9 etσ=4,1 :P(T>18)≈0,16.
Partie B
1. Calculs de probabilités
1 R
2
p O 1−p O
R
21
1 O
3
O
32
D’après la loi des probabilités totales : p(O)=p(R∩O)+p!
R∩O"
=p(R)×pR(O)+p(R)×pR(O)=1 2×p+1
2×1 3=1
2p+1 6. Donc la probabilitéqde l’évènement « le jeune a répondu Oui » est :q=1
2p+1 6. 1. On sait quep(T>22) = 0,023.
(a) Le premier domaine est limit´e par la courbe, l’axe des abscisses et la droite verticale d’´equationx= 22.
L’autre domaine est le sym´etrique du premier par rapport `a la droite d’´equationx= 13,9 ; 22−13,9 = 8,1 et 13,9−8,1 = 5,8.
Le second domaine est limit´e par la courbe, l’axe des abscisses et la droite d’´equation x = 5,8. Voir ci-dessus
(b) P(5,86T 622) = 1−(P(T >22) +P(T <5,8)) = 1−2×0,023 = 1−0,046 = 0,954 D’apr`es le cours,P(µ−2σ6T 6µ+ 2σ)≈0,954, donc on a
P(13,9−2σ6T 613,9 + 2σ) = 0,954.
On en d´eduit queσv´erifie 13,9−2σ= 5,8 et 13,9 + 2σ= 22, ce qui donneσ≈4,05, soit 4,1 au dixi`eme.
2. On cherche la probabilit´e qu’un jeune soit connect´e `a internet plus de 18 heures par semaine, c’est-`a-dire P(T >18).
On trouve `a la calculatrice, en prenantm= 13,9 etσ= 4,1 :P(T >18)≈0,16.
Partie B
Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au milli`eme.
La Hadopi (Haute Autorit´e pour la diffusion des Œuvres et la Protection des droits sur Internet) souhaite connaˆıtre la proportion en France de jeunes ˆag´es de 16 `a 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le t´el´echargement ill´egal sur internet. Pour cela, elle envisage de r´ealiser un sondage.
Mais la Hadopi craint que les jeunes interrog´es ne r´epondent pas tous de fa¸con sinc`ere. Aussi, elle propose le protocole (P) suivant :
On choisit al´eatoirement un ´echantillon de jeunes ˆag´es de 16 `a 24 ans.
Pour chaque jeune de cet ´echantillon :
• le jeune lance un d´e ´equilibr´e `a 6 faces ; l’enquˆeteur ne connaˆıt pas le r´esultat du lancer ;
• l’enquˆeteur pose la question :Effectuez-vous un t´el´echargement ill´egal au moins une fois par semaine ?; si le r´esultat du lancer est pair alors le jeune doit r´epondre `a la question
parOuiouNonde fa¸con sinc`ere ;
si le r´esultat du lancer est1alors le jeune doit r´epondreOui; si le r´esultat du lancer est3 ou 5alors le jeune doit r´epondreNon.
Grˆace `a ce protocole, l’enquˆeteur ne sait jamais si la r´eponse donn´ee porte sur la question pos´ee ou r´esulte du lancer de d´e, ce qui encourage les r´eponses sinc`eres.
On note p la proportion inconnue de jeunes ˆag´es de 16 `a 24 ans qui pratiquent au moins une fois par semaine le t´el´echargement ill´egal sur internet.
1. Calculs de probabilit´es
On choisit al´eatoirement un jeune faisant partie du protocole (P).
On note : Rl’´ev`enementle r´esultat du lancer est pair, O l’´ev`enementle jeune a r´epondu Oui.
Compl´eter l’arbre pond´er´e ci-dessous :
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16 à 24 ans.
Pour chaque jeune de cet échantillon :
• le jeune lance un dé équilibré à 6 faces ; l’enquêteur ne connaît pas le ré- sultat du lancer ;
• l’enquêteur pose la question : « Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ? » ;
! si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondre à la question par « Oui » ou « Non » de façon sincère ;
! si le résultat du lancer est « 1 » alors le jeune doit répondre « Oui » ;
! si le résultat du lancer est « 3 ou 5 » alors le jeune doit répondre « Non ».
Grâce à ce protocole, l’enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.
On notepla proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet.
1. Calculs de probabilités
On choisit aléatoirement un jeune faisant partie du protocole (P).
On note :Rl’évènement « le résultat du lancer est pair », Ol’évènement « le jeune a répondu Oui ».
Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
R
O O
R
O
O
En déduire que la probabilitéqde l’évènement « le jeune a répondu Oui » est : q=1
2p+1 6. 2. Intervalle de confiance
a. À la demande de l’Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête se- lon le protocole (P). Sur un échantillon de taille 1 500, il dénombre 625 réponses « Oui ».
Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportionqde jeunes qui répondent « Oui » à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.
b. Que peut-on en conclure sur la proportionpde jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet ?
EXERCICE2 3 points
Commun à tous les candidats
L’objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.
Pondichéry 2 22 avril 2016
En d´eduire que la probabilit´eqde l’´ev`enementle jeune a r´epondu Ouiest : q= 1
2p+1 6. 2. Intervalle de confiance
(a) `A la demande de l’Hadopi, un institut de sondage r´ealise une enquˆete selon le protocole (P). Sur un ´echantillon de taille 1 500, il d´enombre 625 r´eponsesOui.
Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportionqde jeunes qui r´epondent
Oui`a un tel sondage, parmi la population des jeunes fran¸cais ˆag´es de 16 `a 24 ans.
(b) Que peut-on en conclure sur la proportion p de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le t´el´echargement ill´egal sur internet ?
Solution:
1. Calculs de probabilit´es
! Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 22 avril 2016 "
Exercice 1 Commun à tous les candidats 4 points
Partie A
0 1 5,8 10 13,9 22
1. On sait quep(T!22)=0,023.
a. Le premier domaine est limité par la courbe, l’axe des abscisses et la droite verticale d’équa- tionx=22.
L’autre domaine est le symétrique du premier par rapport à la droite d’équationx=13,9 ; 22−13,9=8,1 et 13,9−8,1=5,8.
Le second domaine est limité par la courbe, l’axe des abscisses et la droite d’équationx=5,8.
Voir ci-dessus
b. P(5,8"T"22)=1−(P(T>22)+P(T<5,8))=1−2×0,023=1−0,046=0,954 D’après le cours,P(µ−2σ"T"µ+2σ)≈0,954, donc on a
P(13,9−2σ"T"13,9+2σ)=0,954.
On en déduit queσvérifie 13,9−2σ=5,8 et 13,9+2σ=22, ce qui donneσ≈4,05, soit 4,1 au dixième.
2. On cherche la probabilité qu’un jeune soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine, c’est-à-direP(T>18).
On trouve à la calculatrice, en prenantm=13,9 etσ=4,1 :P(T>18)≈0,16.
Partie B
1. Calculs de probabilités
1 R
2
p O 1−p O
R
21
1 O
3
O
32
D’après la loi des probabilités totales : p(O)=p(R∩O)+p!
R∩O"
=p(R)×pR(O)+p(R)×pR(O)=1 2×p+1
2×1 3=1
2p+1 6. Donc la probabilitéqde l’évènement « le jeune a répondu Oui » est :q=1
2p+1 6. D’apr`es la loi des probabilit´es totales :
p(O) =p(R∩O) +p R∩O
=p(R)×pR(O) +p(R)×pR(O) =1
2 ×p+1 2 ×1
3 = 1 2p+1
6. Donc la probabilit´eqde l’´ev`enementle jeune a r´epondu Ouiest : q=1
2p+1 6.
TS 8 DS 9 : Int´egrales, probabilit´e continue, fluctuation, estimation 3 sur 6 2016-2017 2. Intervalle de confiance
(a) La fr´equence de Oui est f = 625 1 500 = 5
12.
L’intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion q de jeunes qui r´epondent
Oui`a un tel sondage est donc
f− 1
√n ; f+ 1
√n
= 5
12− 1
√1 500 ; 5
12+ 1
√1 500
≈[0,390 ; 0,443].
(b) Si le protocole est correct on a donc : 0,3906 1
2p+1
6 60,443 ⇐⇒ 2,34063p+ 162,658 ⇐⇒ 1,34063p61,658
⇐⇒ 1,340
3 6p6 1,658
3 soit 0,4466p60,553
Le nombre de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le t´el´echargement ill´egal sur internet est entre 44,6 % et 55,3 %.
Exercice 2 : Proba et loi exponentielle (5 points)
Les valeurs approch´ees des r´esultats seront donn´ees `a10−4 pr`es.
On s’interresse `a un marchand d’ampoule Partie A
1. On rappelle que siT suit une loi exponentielle de param`etreλ(λ´etant un r´eel strictement positif) alors pour tout r´eel positifa,P(T 6a) =
a
Z
0
λe−λxdx.
(a) Montrer queP(T >a) = e−λa.
(b) Montrer que siT suit une loi exponentielle alors pour tous les r´eels positifs t et a on a PT>t(T >t+a) = P(T >a).
2. Dans cette partie, la dur´ee de vie en heures d’une ampoule sans d´efaut est une variable al´eatoireT qui suit la loi exponentielle d’esp´erance 10 000.
(a) D´eterminer la valeur exacte du param`etreλde cette loi.
(b) Calculer la probabilit´eP(T >5 000).
(c) Sachant qu’une ampoule sans d´efaut a d´ej`a fonctionn´e pendant 7 000 heures, calculer la probabilit´e que sa dur´ee de vie totale d´epasse 12 000 heures.
Solution:
1. (a) On aP(T 6a) = Z a
0
λe−λxdx=
−e−λxa
0=−e−λa+ 1, donc
p(T >a) =p(T 6a) = 1−p(T 6a) = 1− −e−λa+ 1
= e−λa. (b) On a :
p(T>t) = p (T >t+a)∩(T >t) p(T >t)
= p(T >t+a) p(T >t)
= e−λ(t+a) e−λt
= e−λ(t+a−t)
= e−λa
= p(T >a).
2. (a) D’apr`es le cours E(T) = 1
λ. On en d´eduit queλ= 1
E(T) = 1
10 000 = 0,000 1.
(b) On ap(T >5 000) = e−0,000 1×5000= e−0,5≈0,606 5.
(c) Il s’agit de calculerpT>7000(T >12000). Puisque la loi est sans vieillissement :
pT>7000(T >12000) =pT>7000(T>7000 + 5000) =p(T >5000)≈0,606 5.
TS 8 DS 9 : Int´egrales, probabilit´e continue, fluctuation, estimation 4 sur 6 2016-2017 Partie B
L’entreprise a cherch´e `a am´eliorer la qualit´e de sa production et affirme qu’il n’y a pas plus de 6 % d’ampoules d´efectueuses dans sa production. Une association de consommateurs r´ealise un test sur un ´echantillon et obtient 71 ampoules d´efectueuses sur 1 000.
1. Dans le cas o`u il y aurait exactement 6 % d’ampoules d´efectueuses, d´eterminer un intervalle de fluctuation asymp- totique au seuil de 95 % de la fr´equence
d’ampoules d´efectueuses sur un ´echantillon al´eatoire de taille 1 000.
2. A-t-on des raisons de remettre en cause l’affirmation de l’entreprise ? Solution:
1. On fait l’hypoth`ese que la proportion d’ampoules d´efectueuses estp= 0,06. L’´echantillon est de taillen= 1 000.
On a n >30, np = 60 >5 etn(1−p) = 940 >5. Les conditions d’utilisation de l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % sont respect´ees, et, en notantI, cet intervalle on a :
I =
0,06−1,96
√0,06×0,94
√1000 ; 0,06 + 1,96
√0,06×0,94
√1000
= [0,045 2 ; 0,074 8]
2. Notonsfla fr´equence observ´ee d’ampoules d´efectueuses dans l’´echantillon, on af = 71
1000 = 0,071. On constate quef ∈I, il n’y a donc pas lieu de remettre en cause l’affirmation de l’entreprise.
Exercice 3 : Int´egrale (0 points)
Soitf une fonction d´efinie sur l’intervalle [0 ; 1], continue et positive sur cet intervalle, etaune r´eel tel que 0< a <
1.
On note :
— C la courbe repr´esentative de la fonctionf dans un rep`ere orthogonal :
— A1 l’aire du domaine plan limit´e par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’´equationsx= 0 etx=ad’autre part.
— A2 l’aire du domaine plan limit´e par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’´equationsx=aet x= 1 d’autre part.
10 juin 2016
Exercice I (4 points)
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. une absence de réponse n’est pas pénalisée.
1. Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard une baguette de pain dans la production.
On admet que la variable aléatoire exprimant sa masse, en gramme, suit la loi normale d’espérance 200 et d’écart-type 10.
Affirmation 1
La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à 187 g est supérieure à 0,9.
2. Affirmation 2
L’équationx−cosx=0 admet une unique solution dans l’intervalle! 0 ; π
2
"
.
Dans les questions 3. et 4., l’espace est rapporté à un repère orthonormal et l’on considère les droitesD1et D2qui admettent pour représentations paramétriques respectives :
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
x=1+2t y=2−3t z= 4t
,t∈R et
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
x= −5t′+3 y= 2t′ z= t′+4
,t′∈R
3. Affirmation 3
Les droitesD1etD2sont sécantes.
4. Affirmation 4
La droiteD1est parallèle au plan d’équationx+2y+z−3=0.
Exercice II (6 points)
Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1], continue et positive sur cet intervalle, etaune réel tel que 0<a<1.
On note :
— C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal :
— A1 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbeC d’une part, les droites d’équationsx=0 etx=ad’autre part.
— A2 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbeC d’une part, les droites d’équationsx=aetx=1 d’autre part.
1
A1 A2
a C
x
Le but de cet exercice est de d´eterminer, pour diff´erentes fonctionsf, une valeur du r´eel av´erifiant la condition (E) :
les airesA1et A2sont ´egales.
On admet l’existence d’un tel r´eelapour chacune des fonctions consid´er´ees.
1. V´erifier que dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique r´eelaet d´eterminer sa valeur.
(a) f est une fonction constante strictement positive.
(b) f est d´efinie sur [0 ; 1] parf(x) =x.
2. (a) `A l’aide d’int´egrales, exprimer, en unit´es d’aires, les airesA1 etA2. (b) On noteF une primitive de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 1].
D´emontrer que si le r´eelasatisfait la condition (E), alorsF(a) = F(0) +F(1)
2 .
La r´eciproque est-elle vraie ?
3. Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particuli`eres.
(a) La fonctionf est d´efinie pour tout r´eelxde [0 ; 1] parf(x) = ex.
V´erifier que la condition (E) est v´erifi´ee pour un unique r´eel aet donner sa valeur.
(b) La fonctionf d´efinie pour tout r´eel xde [0 ; 1] par f(x) = 1 (x+ 2)2. V´erifier que la valeur a=2
5 convient.
Solution:
1. (a) Soit f une fonction constante strictement positive sur [0 ;1].
Alors il existe un r´eel k >0 tel que pour toutx∈[0; 1],f(x) =k.
Pour tout r´eela∈]0 ; 1[, on a :A1=kaet A2= (1−a)k.
TS 8 DS 9 : Int´egrales, probabilit´e continue, fluctuation, estimation 5 sur 6 2016-2017 On a :A1=A2 ⇐⇒ ka=k(1−a). Et commek >0,A1=A2 ⇐⇒ a= 1
2.
Ce qui prouve que si la fonctionf est continue , constante et strictement positive sur [0 ; 1], les airesA1
etA2 sont ´egales pour une seule valeur deaeta= 1 2. (b) Soitf la fonction d´efinie sur [0 ; 1] parf(x) =x.
f est continue sur [0 ; 1] et la fonctionF d´efinie sur [0 ; 1] parF(x) = 1
2x2est une primitive de f. On a :A1=
Z a
0
xdx= 1
2x2 a
0
=1 2a2 et :A2=
Z 1
a
xdx= 1
2x2 1
a
= 1−1 2a2.
On en d´eduit poura∈]0 ; 1[ :A1=A2 ⇐⇒ 1
2a2= 1−1
2a2 ⇐⇒ a=
√2 2 . 2. (a) `A l’aide d’int´egrales, exprimons, en unit´es d’aires, les airesA1 etA2.
Commef >0 sur [0; 1], on a :A1= Z a
0
f(x)dxetA2= Z 1
a
f(x)dx.
(b) On noteF une primitive de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 1].
Soitaun r´eel de ]0; 1[ qui satisfait la condition (E), c’est `a dire tel queA1=A2. Si F est une primitive def sur [0; 1], alors
(A1=A2⇒F(a)−F(0) =F(1)−F(a)) et finalement :
Siaun r´eel de ]0; 1[ qui satisfait la condition (E) alorsF(a) =F(0) +F(1)
2 .
Supposons maintenant que F est une primitive def telle que F(a) = F(0) +F(1)
2 .
On a :A1=F(a)−F(0) = F(0) +F(1)
2 −F(0) = F(1)−F(0) 2 et :A2=F(1)−F(a) =F(1) +F(0) +F(1)
2 = F(1)−F(0) 2 Si F est une primitive telle queF(a) = F(0) +F(1)
2 alors A1 =A2 et la condition (E) est v´erifi´ee : la r´eciproque est vraie.
3. Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particuli`eres.
(a) Consid´erons la fonctionf d´efinie pour tout r´eel xde [0 ; 1] par f(x) = ex. Montrons que la condition (E) est v´erifi´ee pour un unique r´eela.
f est continue sur [0 ; 1] et admet pour primitiveF(x) = ex. On aA1=
Z a
0
exdx= [ex]a0= ea−1 etA2= Z 1
a
exdx= [ex]1a = e−ea. On en d´eduit que :
A1=A2⇒ea−1 = e−ea ⇐⇒ ea= 1 + e
2 ⇐⇒ a= ln 1 + e
2
. (b) Soitf la fonction d´efinie pour tout r´eelxde [0 ; 1] parf(x) = 1
(x+ 2)2. V´erifions que la valeur a=2
5 convient.
On a d’une part : Z 25
0
f(x)dx= −1
x+ 2 25
0
= −1
2
5+ 2 +1 2 = 1
12. D’autre part :
Z 1
2 5
f(x)dx= −1
x+ 2 1
2 5
= −1
3 + 1
2
5+ 2 = 1 12 On a poura=2
5,A1=A2. La condition (E) est v´erifi´ee.
Remarque : pour ces deux questions on peut utiliser A. 2. b., c’est `a direaest solution de (E) si et seulement siF(a) =F(0) +F(1)
2
Exercice 4 : Prise d’initiative (3 points)
La figure ci-dessous donne la repr´esentation graphiqueC de la fonctionf d´efinie sur ]0; +∞[ parf(x) = 2x+ 2×1x×lnx.
Les pointsA,B etC ont pour coordonn´ees respectives (1; 0), (1; 2) et (0; 2).
1. 2. 3. 4.
1.
2.
0
f A B C
O
Montrer que la courbeC partage le rectangleOABC en deux domaines d’aires ´egales
Solution: En posant u(x) = ln(x), on remarque quef(x) = x2+ 2×u0(x)u(x). Une primitiveF est doncF(x) = 2 ln(x) +u(x)2= 2 ln(x) + ln(x)2.
D´eterminons d’abord l’intersection entre l’axe des abscisses et la courbe.
f(x) = 0⇔ x2+2xln(x) = 0⇔ 2x(1 + lnx) = 0.
La solution est e−1. D´eterminons
Z 1
e−1
f(x)dxqui est l’aire de la partie droite de la courbe.
Z 1
e−1
f(x)dx= [F(x)]1e−1 = 2 ln(1) + ln(1)2−2 ln(e−1)−ln(e−1)2= 2−1 = 1.
L’aire du rectangle est 2. La courbe partage donc bien le rectangle en deux.
