EXERCICE1 4 points Commun à tous les candidats
1. Soitf la fonction définie sur [1 ;+∞[ parf(x)= x
ex−1et soitHla fonction définie sur [1 ;+∞[ parH(x)=
Zx 1 f(t) dt.
a. Justifier quef etHsont bien définies sur [1 ;+∞[
b. Quelle relation existe-t-il entreHetf?
c. SoitCla courbe représentative def dans un repère orthonormal³ O,−→
ı ,→−
´ du plan. Interpréter en termes d’aire le nombreH(3).
2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre H(3).
a. Montrer que pour tout réelx>0, x
ex−1=x× e−x 1−e−x. b. En déduire que
Z3
1 f(x) dx=3ln µ
1− 1 e3
¶
−ln µ
1−1 e
¶
− Z3
1 ln¡ 1−e−x¢
dx.
c. Montrer que si 16x63, alors ln µ
1−1 e
¶
6ln (1−e−x)6ln µ
1− 1 e3
¶ .
d. En déduire un encadrement de Z3
1 ln¡ 1−e−x¢
dxpuis de Z3
1 f(x) dx.
EXERCICE2 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.
Partie A
On suppose connus les résultats suivants :
1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixeszA, zB etzC trois points A,BetC.
Alors
¯
¯
¯
¯ zB−zC
zA−zC
¯
¯
¯
¯=C B C A et arg
µzB−zC
zA−zC
¶
=³−−→
C A,−−→
C B´ (2π).
2. Soitzun nombre complexe et soitθun réel :
z=eiθsi et seulement si|z| =1 et arg(z)=θ+2kπ, oùkest un entier relatif.
Démonstration de cours: démontrer que la rotationrd’angleαet de centreΩd’af- fixeωest la transformation du plan qui à tout pointMd’affixezassocie le pointM′ d’affixez′tel que
z′−ω=eiα(z−ω).
Partie B
Dans un repère orthonormal direct du plan complexe³ O,−→
u,−→ v´
d’unité graphique 2 cm, on considère les pointsA,B,CetDd’affixes respectives
zA= −p
3−i,zB=1−ip
3,zC=p
3+i etzD= −1+ip 3.
1. a. Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres com- plexeszA,zB,zCetzD.
b. Comment construire à la règle et au compas les pointsA,B,CetDdans
³ →− −→´
c. Quelle est la nature du quadrilatèreABC D? 2. On considère la rotationrde centre B et d’angle−π
3. SoientEetFles points du plan définis par :E=r(A) etF=r(C).
a. Comment construire à la règle et au compas les pointsFetEdans le re- père précédent ?
b. Donner l’écriture complexe der.
c. Déterminer l’affixe du pointE.
EXERCICE2 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Partie A
On suppose connu le résultat suivant :
Une applicationf du plan muni d’un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement sif admet une écriture complexe de la forme z′=az+b, oùa∈C∗etb∈C.
Démonstration de cours: on se place dans le plan complexe. Démontrer que siA,B,A′ etB′sont quatre points tels que Aest distinct deBetA′est distinct deB′, alors il existe une unique similitude directe transformantAenA′etBenB′.
Partie B
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct³ O,−→
u,→− v´
on consi- dère les pointsA,B,C,Dd’affixes respectives
zA= −p
3−i,zB=1−ip
3,zC=p
3+i et zD= −1+ip 3.
1. a. Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres com- plexeszA,zB,zCetzD.
b. Construire à la règle et au compas les pointsA, B,C etD (on prendra pour unité graphique 2 cm).
c. Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. Calculer le quotientzB
zA. En déduire la nature du quadrilatèreABC D.
2. On considère la similitude directegdont l’écriture complexe est z′=e−iπ3z+2.
a. Déterminer les éléments caractéristiques deg.
b. Construire à la règle et au compas les images respectivesE,FetJparg des pointsA,CetO.
c. Que constate-t-on concernant ces pointsE,FetJ? Le démontrer.
EXERCICE3 4 points
Commun à tous les candidats
On considère un tétraèdreABC D.
On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [C D], [BC], [AD], [AC] et [BD].
On désigne parGl’isobarycentre des
pointsA,B,CetD. A
B
C D
1. Montrer que les droites (I J), (K L) et (M N) sont concourantes enG.
Dans la suite de l’exercice, on suppose queAB=C D,BC=ADetAC=BD.
(On dit que le tétraèdreABC Dest équifacial, car ses faces sont isométriques).
2. a. Quelle est la nature du quadrilatèreI K J L? Préciser également la nature des quadrilatèresI M J NetK N LM.
b. En déduire que (I J) et (K L) sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites (I J) et (M N) sont orthogonales et les droites (K L) et (M N) sont orthogonales.
3. a. Montrer que la droite (I J) est orthogonale au plan (MK N).
b. Quelle est la valeur du produit scalaire−→
I J ·−−−→
MK? En déduire que (I J) est orthogonale à la droite (AB). Montrer de même que (I J) est orthogonale à la droite (C D).
c. Montrer queGappartient aux plans médiateurs de [AB] et [C D].
d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Comment démontrerait-on queGest le centre de la sphère circonscrite au tétraèdreABC D?
EXERCICE4 7 points
Commun à tous les candidats
On cherche à modéliser de deux façons différentes l’évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l’année.
Les parties A et B sont indépendantes Partie A : un modèle discret
Soitun le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’annéen.
On posen=0 en 2005,u0=1 et, pour toutn>0,
un+1= 1
10un(20−un).
1. Soitf la fonction définie sur [0 ; 20] par f(x)= 1
10x(20−x).
a. Étudier les variations def sur [0 ; 20].
b. En déduire que pour toutx∈[0 ; 20], f(x)∈[0 ; 10].
c. On donne enannexela courbe représentativeC de la fonctionf dans un repère orthonormal.
Représenter, sur l’axe des abscisses, à l’aide de ce graphique, les cinq pre- miers termes de la suite (un)n>0.
2. Montrer par récurrence que pour toutn∈N, 06un6un+1610.
3. Montrer que la suite (un)n>0est convergente et déterminer sa limite.
Partie B : un modèle continu
Soitg(x) le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l’annéex.
On posex=0 en 2005,g(0)=1 etgest une solution, qui ne s’annule pas sur [0 ;+∞[, de l’équation différentielle
′ 1
1. On considère une fonction y qui ne s’annule pas sur [0 ; +∞[ et on pose z=1
y.
a. Montrer queyest solution de (E) si et seulement sizest solution de l’équa- tion différentielle :
(E1) : z′= −1 2z+ 1
20.
b. Résoudre l’équation (E1) et en déduire les solutions de l’équation (E).
2. Montrer quegest définie sur [0 ;+∞[ parg(x)= 10 9e−12x+1. 3. Étudier les variations degsur [0 ;+∞[.
4. Calculer la limite degen+∞et interpréter le résultat.
5. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera- t-il 5 millions ?
ANNEXE À rendre avec la copie
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 O
