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TS - DM n°3
Exercice n°1
On considère la fonction f définie par f(x)= /f{x^2-/t{3;4;5;6;7;8;9}x+1;x-µ}. On appelle cf sa courbe représentative.
1. Donner l'ensemble de définition df de f.
2. Calculer /lim{x;#1^{"+"};f(x)} et /lim{x;#1^{"–"};f(x)}. Que peut-on en déduire concernant cf ?
3.a. Montrer qu'il existe trois réels b, c, et d tels que, pour tout réel appartenant à df, f(x)=bx + c + /f{d;x – #1}.
b. Calculer les limites de f en +∞ et –∞.
c. Calculer les limites en +∞ et –∞ de f(x) – (bx + c). (b et c désignent les réels trouvés à la question 3.a.).
d. En déduire les asymptotes de cf (y compris obliques).
4. Déterminer le tableau de variation de f.
5. Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x) = #1 .
6. Soit la droite d'équation y= –¤x+µ. Déterminer les points de la courbe cf pour lesquels la tangente est parallèle à . A chaque fois, on précisera les
coordonnées de ces points, ainsi qu'une équation de la tangente (petit rappel : le coefficient directeur de la tangente à la courbe en un point x0 est égal à la valeur de la dérivée en x0).
Exercice n°2
On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
L’urne U1 contient /t{deux;trois;quatre} boules rouges et une boule noire.
L’urne U2 contient quatre boules rouges et /t{deux;trois} boules noires.
Une partie se déroule de la façon suivante :
• Le joueur lance le dé ;
• Si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l’urne U1 ;
• Sinon il tire au hasard une boule dans l’urne U2. On considère les événements suivants :
A : « Obtenir 1 en lançant le dé » B : « Obtenir une boule noire ».
1.a. Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.
b. Calculer la probabilité d’obtenir une boule noire.
c. Sachant que l’on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d’avoir obtenu 1 en lançant le dé.
2. On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
a. Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième. On indiquera la démarche utilisée, et on justifiera ses choix.
b. Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.
c. Soit N un entier compris entre 1 et 10. On considère l’événement : « la personne gagne au moins N parties ».
Y a-t-il une valeur de N à partir de laquelle la probabilité de cet événement est inférieure à 0,1 ?
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