DS 4

TS DS 4 2012-2013

EXERCICE 1 :

On considère la fonction F définie sur R par F (x) = Z ^x

0

t ² e ^{− t} dt. On note C la courbe de la fonction t 7−→ t ² e ^{− t} définie sur R tracée dans un repère du plan.

Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes, en justifiant votre réponse.

1. F (3) représente l’aire du domaine situé entre C , l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = 0 et x = 3.

2. F ( − 2) > 0.

3. F est dérivable sur R et ∀ x ∈ R, F ^′ (x) = − 2xe ^{− x} . 4. Pour tout x ∈ R, F (x) = ( − x ² − 2x − 2)e ^{− x} + 2.

EXERCICE 2 :

Partie A : Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants :

Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a; b] avec a < b.

• Si u > 0 sur [a; b] alors Z ^b

a

u(x) dx > 0 .

• Pour tous réels α et β, Z ^b

a

[αu(x) + βv(x)] dx = α Z ^b

a

u(x) dx + β Z ^b

a

v(x) dx .

Question :

Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a; b] avec a < b et si, pour tout x de [a; b], f (x) 6 g(x) alors :

Z ^b

a

f (x) dx 6 Z ^b

a

g(x) dx.

Partie B

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0; 1] par f (x) = e ^{− x}

et on définit la suite (u ⁿ ) par : ( u 0 = R ¹

0 f (x) dx = R ¹

0 e ^{− x}

dx

pour tout entier naturel n non nul, u ⁿ = R ¹

0 x ⁿ f (x) dx = R ¹

0 x ⁿ e ^{− x}

dx 1. (a) Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0; 1], 1

e 6 f (x) 6 1.

(b) En déduire que 1

e 6 u 0 6 1.

2. Calculer u 1 .

3. (a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 6 u ⁿ . (b) Étudier les variations de la suite (u ⁿ ).

(c) En déduire que la suite (u ⁿ ) est convergente.

4. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, u ⁿ 6 1 n + 1 . (b) En déduire la limite de la suite (u ⁿ ).

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EXERCICE 3 :

On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

• L’urne U 1 contient trois boules rouges et une boule noire.

• L’urne U 2 contient trois boules rouges et deux boules noires.

Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l’urne U 1 , sinon il tire au hasard une boule dans l’urne U 2 .

On considère les évènements suivants : A : « obtenir 1 en lançant le dé » B : « obtenir une boule noire ».

1. (a) Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.

(b) Montrer que la probabilité d’obtenir une boule noire est 3 8 .

(c) Sachant que l’on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d’avoir obtenu 1 en lançant le dé.

2. On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépen- dantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.

(a) Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième.

(b) Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.

(c) On donne le tableau suivant :

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P ( X < k ) 0,009 1 0,063 7 0,211 0 0,446 7 0,694 3 0,872 5 0,961 6 0,992 2 0,999 0 0,999 9

Soit N un entier compris entre 1 et 10. On considère l’évènement : « la personne gagne au moins N parties ».

À partir de quelle valeur de N la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à 1 10 ?

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