Conditionnement et indépendance
I- Probabilités conditionnelles
1) Un exemple d’introduction Exemple
Une auto-école a fait une étude sur la réussite de ses clients lors de leur première présentation au permis de conduire. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous.
Candidats Ont réussi N’ont pas réussi Total
Ont suivi la conduite accompagnée 171 9 180
N’ont pas suivi la conduite accompagnée 252 68 320
Total 423 77 500
On choisit un candidat au hasard dans cet échantillon. On considère les événements :
• R :« Le candidat a réussi et a obtenu son permis lors de la première présentation. »
• A :« Le candidat a pratiqué la conduite accompagnée. » 1) Calculer les probabilités suivantes :
PpRq “ PpRq “ PpAq “ PpAq “ PpAXRq “
2) Le candidat choisi déclare qu’il a pratiqué la conduite accompagnée.
a. Quelle la probabilité qu’il aie réussi à avoir son permis lors de la première présentation ? On note cette probabilitéPApRqet on l’appelle probabilité conditionnelle deRsachantA. PApRq=
Peut-on calculerPApRqà partir de probabilités de la question 1 ? PApRq=
b. Quelle est la probabilité que le candidat n’aie pas réussi lors de la première présentation ? 3) Calculer et interpréter les probabilitésPA¯pRqetPA¯pRq.
PA¯pRq “
PA¯pRq “
2) Définition
SoitAun événement de probabilité non nulle etB un événement.
On appelleprobabilité conditionnelle deBsachantAet on notePApBqle nombrePApBq “ PpAXBqPpBq Définition
Exemple
Lors d’un sondage sur les loisirs dans une classe de 32 élèves, 12 élèves ont déclaré jouer au foot et 16 jouer aux jeux vidéo. 8 élèves de la classe jouent aux deux. On choisit un élève au hasard.
On noteFl’événement « l’élève joue au foot » etV l’événement « L’élève joue aux jeux vidéo. » DéterminerPpFq,PpVq,PpFXVq,PVpFqetPFpVq.
3) Probabilité d’une intersection
SiPpAq ‰0 etPpBq ‰0alorsPpAXBq “PApBq ˆPpAq “PBpAq ˆPpBq Propriété
RemarqueSi A et B sont incompatibles alorsPApBq “0 Exemple
Dans une société, 40% des employés sont des cadres dont 20% parlent anglais. On interroge une personne au hasard, soit A
« La personne parle anglais » et C « La personne est un cadre ».
1) Calculer la probabilité que la personne interrogée soit un cadre qui parle anglais.
2) On sait quePpAq “0,1, calculer la probabilité d’être un cadre sachant qu’on parle anglais.
Soient trois événements A, B et C tels quePpBq ‰0.
• PBpBq “1.
• PBpAYCq “PBpAq `PBpCq ´PBpAXCq.
• Si A et C sont incompatibles ;PBpAYCq “PBpAq `PBpCq.
Propriété
4) Utilisation d’un arbre pondéré
On peut représenter la situation précédente (Cf exemple1) page précédente).
A 0.36
A 0.64
0.95 R
0.05 R
0.7875 R
0.2125 R
ppAXRq “ppAq ˆpApRq “0,36ˆ0,95“0,342
ppAXRq “ppAq ˆpApRq “0,36ˆ0,05“0,018
ppAXRq “ppAq ˆpApRq “0,64ˆ0,7875“0,504
ppAXRq “ppAq ˆpApRq “0,64ˆ0,2125“0,136 Remarque :
On retrouveppRq “ppAXRq `ppAXRq “0,342`0,504“0,846.
• La somme des probabilités des branches issues d’un même noeud vaut 1.
• La probabilité d’une extrémité est égale au produit des probabilités des branches qui y mènent.
• La probabilité d’un événement présent sur plusieurs extrémités est la somme des probabilités des extrémités qui le composent.
Propriété
II- Événements indépendants
1) Un exemple d’introduction Exemple
Une enquête menée auprès de 50 élèves pour savoir s’ils aimaient le tennis à la télévision a donné les résultats suivants :
aiment n’aiment pas Total
Filles 16 4 20
Garçons 24 6 30
Total 40 10 50
On choisit un élève au hasard.
On note F :« L’élève est une fille . » et A :« L’élève aime regarder le tennis à la télévision. » CalculerPpFq,PpAqetPpAXFq.
En déduirePFpAqetPApFq. Que remarquet-on ?
2) Indépendance de 2 événements
En language usuel, on dit que deux événementsAetBsont indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas celle de l’autre.
On dit que deux événementsAetB sont indépendants siPpAXBq “PpAq ˆPpBq Définition
SiAetB sont indépendants et de probabilité non nulle alorsPApBq “PpBqetPBpAq “PpAq.
Propriété
3) Indépendance de 2 variables aléatoires
SoitXetY deux variables aléatoires surΩ. On noteXpΩq “ tx1;x2;. . .;xnuetYpΩq “ ty1;y2;. . .;ynu. On dit queXetY sontindépendantssi pour toutietj, les événementspX “xiqetpY “yjqsont indépendants.
C’est à direP`
pX“xiq X pY “yjq˘
“PpX “xiq ˆPpY “yjq.
Définition
Exemple
On considère un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On jette successivement deux fois le dé et on note les numéros obtenus.
• On appelleX la variable aléatoire égale au premier numéro obtenu.
• On appelleY la variable aléatoire définie par « la somme des deux numéros est un nombre premier ».
Les variables aléatoiresXetY sont-elles indépendantes ?
III- La loi binomiale
1) Définition et propriété
Uneépreuve deBernoulliest une expérience aléatoire pour laquelle il n’y a que deux issues, nommées, en général, « succès » et « échec » et notées, en général,SetS. On notepla probabilité du succès.
Quand une même épreuve deBernoulliest répétée plusieurs fois de manière indépendante, on dit qu’on est en présence d’unschéma deBernoulli. On notenle nombre de fois que l’épreuve deBernoulliest répétée.
SoitXla variable aléatoire qui à chaque issue d’un schéma deBernoulliassocie le nombre de succès qu’elle comporte. On appelleloi binomialela loi de probabilité deX. On la noteBpn, pq.
Définition rappels
SoitXune variable aléatoire suivant la loi binomialeBpn, pq. Alors :
• ppX“kq “ ˆ n
k
˙
pkp1´pqn´k
• L’espérance deXestEpXq “np
• La variance deXestVpXq “npp1´pq
• L’écart-type deXestσpXq “a
npp1´pq
Propriété rappels
2) Intervalle de fluctuation selon la loi binomiale
L’ intervalle de fluctuation au seuil de 95% d’une fréquence, sur un échantillon aléatoire de taillen, selon la loi binomiale de paramètresnetpest“a
n;nb‰ avec :
• a: le plus petit entier tel quePpXďaq ą0,025.
• b: le plus petit entier tel quePpXďbq ě0,975.
Définition
3) Méthode
Pour déterminer un intervalle de fluctuation des fréquences au seuil de 95 % dans le cas d’une loi binomiale de paramètrespn;pq:
1) Dresser le tableau des probabilités cumuléesPpXďkq.
2) Chercher le premier entierktel quePpX ďkqdépasse 0,025. On le noteadans la suite.
3) Chercher le premier entierktel quePpX ďkqatteint ou dépasse 0,975. On le notebdans la suite.
4) L’intervalle“a
n;nb‰
est un intervalle de fluctuation des fréquences au seuil de 95 %.
4) Utilisation d’un algorithme a) Langage formalisé
Algorithme :Intervalle de fluctuation selon la loi binomialeBpn;pq Variables : N, P, A, B
Entrées : N, P Traitement
AÐ0
tant quePpXďAq ď0,25faire AÐA`1
fin B ÐA
tant quePpXďBq ă0,975faire B ÐB`1
fin
AÐA˜N BÐA˜N Fin
Sorties : Afficher « L’intervalle de fluctuation est »rA;Bs
b) Programmation
TI-82 Stats.fr :Disp "TAILLE ECHANT"
:Input "N",N
:Disp "PROP POPULATION"
:Input "P",P :0ÑA
:While binomFRép(N,P,A)ď0.025 :A+1ÑA
:End :AÑB
:While binomFRép(N,P,B) < 0.975 :B+1ÑB
:End
:Disp "Intervalle [A,B]"
:Disp "A=",A˜N :Disp "B=",B˜N
Casio Graph 35+
"TAILLE ECHANT"ê
"N" : ?ÑNê
"PROP POPULATION"ê
"P" : ?ÑPê 0ÑAê
While BinomialCD(A,N,P)ď0.025ê A+1ÑAê
WhileEndê AÑBê
While BinomialCD(B,N,P) < 0.975ê B+1ÑBê
WhileEndê
"Intervalle [A,B]"ê
"A="ê A˜N ê
"B="ê B˜N
5) Utilisation de l’intervalle de fluctuation
On utilise l’intervalle de fluctuation, comme en Seconde ou en Première, lorsque la proportionpdans la population est connue ou bien si on fait une hypothèse sur sa valeur :
Représentativité : si la proportionpd’un caractère dans une population est connue, il permet de décider si un échantillon de taillenissu de cette population est représentatif de la population : si la fréquencef du caractère dans l’échantillon appartient à cet intervalle, on considère, au seuil de 95 %, que l’échantillon est représentatif.
Hypothèse surp : si on émet une hypothèse sur la proportionpd’un caractère dans une population, il permet de savoir si on doit rejetter cette hypothèse :
• Si la fréquence f observée dans un échantillon de taille nappartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95, on considère que l’hypothèse selon laquelle la proportion estpdans la population n’est pas remise en question et icile risque d’erreur n’est pas quantifié.
En effet le risque de 5% signifie que la probabilité qu’on rejette à tort l’hypothèse alors qu’elle est vraie, est approximativement égale à 0,05.
• sinon on rejette l’hypothèse faite sur la proportionpavec un risque de 5% de se tromper.
Exemple
Le responsable de la maintenance des machines à sous d’un casino doit vérifier qu’un certain type de machine est bien réglé sur une fréquence de succès de 0,06.
1) Lors du contrôle d’une machine, le technicien constate qu’elle a fourni 8 succès sur 65 jeux. Doit-il remettre en question le réglage de la machine ?
2) Lors du contrôle d’une autre machine, il constate qu’elle a fourni 12 succès sur 100 jeux. Doit-il remettre en question le réglage de la machine ?
Exemple
On fait l’hypothèse que tous les ans à Gustave Eiffel il y a, en Terminale S, deux élèves sur trois qui sont des hommes soit une proportionp“ 23. En TerminaleS1, sur 36 élèves il y a 16 hommes. On supposera que la constitution d’une classe de 36 élèves peut être assimilée à un tirage aléatoire avec remise.
1) Déterminer si on doit rejeter l’hypothèse de départ, au seuil de 95 %.
2) Après vérification auprès de l’administration, il s’avère que cette hypothèse est juste. Que peut-on dire alors de laT S1?
IV- La loi uniforme
1) Introduction
On choisit au hasard un nombre réel dans l’intervaller0; 1s.
Par quelle loi de probabilité surr0; 1speut-on modéliser ce choix ? Partie A :
Préciser quel universΩse trouve associé cette expérience.
En quoi se distingue-t-il des univers déjà rencontrés ? Partie B :
LorsqueΩest un ensemble fini ta1, a2, ..., anu, définir une loi de probabilitéP surΩ, c’est se donner les réels Ppta1uq, ..., Pptanuq, tous positifs ou nuls et de somme 1.
Cette approche « points par points » peut-elle se généraliser ici ? 1) Conjectures :
Quelles probabilités pourrait-on associer aux événements : « obtenir 0 », « obtenir 0,5 », « obtenir
?3 2 » ou
« obtenirπ» ?
2) Les issues devant être équiprobables, on pose pour tout réelxder0; 1s,Pptxuq “kavec k réel fixé.
Supposonsknon nul et considérons l’événementEn“ t1n,n2, . . . ,nnu.
ExprimerPpEnqen fonction deket den.
Montrer que pournsuffisamment grand on aPpEnq ą1.
Que peut-on en déduire pourk ?
Bilan : DonnerPptxuqquandxP r0; 1set quandxR r0; 1s.
Partie C :
Simulation avec excel : ALEA() permet d’obtenir un nombre au hasard dansr0; 1r. On partager0; 1ren dix sous intervalles disjoints d’amplitude 0,1.
On simule le choix de 10000 nombres au hasard dans [0; 1rpuis on calcule la fréquence des nombres qui appar- tiennent à chacun des intervalles.
En B3, on a saisi : En C3, on a saisi :
L’unité graphique de l’axe des ordonnées a été choisie de telle façon que l’aire de chaque rectangle ait pour mesure la fréquence de la classe correspondante.
Quel probabilité est-il naturel d’associer à chaque sous intervalle ? SoitXla variable aléatoire qui indique le nombre obtenu.
Calculer alors :
• PpXă0,5q
• PpXă0,2q
• PpXě0,8q
• Pp0,3ăXă0,8q
De manière générale, on considère l’intervalleI “ rα;βscontenu dansr0; 1s.
Conjecturez la valeur dePpXPIq.
Partie D :
1) Que vaut la somme des aires des rectangles de l’histogramme ?
2) Au vu de l’histogramme, on considère naturellement le carré de côté 1.
a. Quelle est l’aire, en u.a de ce carré.
b. On considère l’intervalleI “ rα;βscontenu dansr0; 1s.
Quelle est l’aire, en u.a, du rectangle s’appuyant sur l’intervalleI et de hauteur 1 ? 2) loi uniforme surr0; 1s
a) Définitions et propriétés
La loi uniforme modélise le choix d’un nombre réelXau hasard dans l’intervaller0; 1s.
Définition
Si une variable aléatoireXsuit la loi uniforme surr0; 1salors pour tout intervallerα;βsinclus dansr0; 1s PpαďX ďβq “β´α .
Propriété
Remarque
SiXsuit la loi uniforme surr0; 1salors@xPR,Pptxuq “0.
b) Interprétation graphique
On obtient une interprétation graphique de la probabilité précédente en considérant l’aire du rectangle grisée représenté ci-dessous.
1
0 α β 1
c) Exemple
Exemple 1 :
La machine mesurant la concentration d’une substance est déréglée et donne un nombre au hasard entre 0 et 1.
Les résultatsXaffichés par la machine suivent la loi uniforme surr0; 1s.
Déterminer la probabilité que la concentration affichée soit comprise entre 0,5 mg/l et 0,75 mg/l.
Exemple 2 :
Pierre et Paul se donne rendez-vous à minuit dans un café. Pierre décide d’arriver à 00h30 et Paul au hasard entre 0h et 1h. SoitXla variable aléatoire égale à l’heure d’arrivée de Paul.
Calculer les probabilités des événements suivants :
• A=« Paul arrive avant Pierre »
• B=« Pierre attend Paul plus de 20 min »
3) loi uniforme surra;bs a) Définitions et propriété
La loi uniforme sur un intervallera;bsmodélise le choix d’un nombre réelXau hasard dans l’intervallera;bs.
Définition
Si une variable aléatoireXsuit la loi uniforme surra;bsalors pour tout intervallerc;dsinclus dansra;bs PpcďX ďdq “ d´c
b´a. Propriété
b) Interprétation graphique
On obtient une interprétation graphique de la probabilité précédente en considérant l’aire du rectangle grisée représenté ci-dessous.
a c d b
1 b´a
c) Exemple
Exemple 3 :
À partir de 7 heure, les bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt A. Un usager se présente en A entre 7h et 7h30.
On suppose que la durée entre 7h et son arrivée en A suit un loi de probabilité uniforme sur l’intervaller0; 30s.
Quelle est la probabilité qu’il attende son prochain bus : 1) moins de 5 minutes ?
2) plus de 10 minutes ?
V- Exercices
Exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant â la réponse choisie.
Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.
40 % des écrivains de romans policiers sont français et 70 % des écrivains de biographies sont français.
Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
1) La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
a) 0,4; b) 0,75; c) 1
150.
2) Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur soit français est :
a) 0,3; b) 0,8; c) 0,4.
3) La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier français est :
a) 1,15; b) 0,4; c) 0,3.
4) La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est :
a) 0,9; b) 0,7; c) 0,475.
5) La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l’écrivain est français est : a) 4
150; b) 12
19; c) 0,3.
6) Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu’il ait choisi au moins un roman policier est : a) 1´ p0,25q20; b) 20ˆ0,75; c) 0,75ˆ p0,25q20.
Exercice 2 La Réunion, Juin 2005
On considère trois urnesU1,U2etU3.
L’urneU1contient deux boules noires et trois boules rouges ; l’urneU2contient une boule noire et quatre boules rouges ; l’urneU3contient trois boules noires et quatre boules rouges.
Une expérience consiste à tirer au hasard une boule deU1et une boule deU2, à les mettre dansU3, puis à tirer au hasard une boule deU3.
Pouriprenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne parNi, (respectivementRi) l’événement « on tire une boule noire de l’urneUi» (respectivement « on tire une boule rouge de l’urneUi »).
1) Reproduire et compléter l’arbre de probabilités suivant :
Ω
N1
N2
N3
R3
R2
N3
R3
R1
N2
N3
R3
R2
N3
R3
b. En déduire la probabilité de l’événementN1XN3.
c. Calculer de façon analogue la probabilité de l’événementR1XN3. 3) Déduire de la question précédente la probabilité de l’événementN3. 4) Les événementsN1etN3sont-ils indépendants ?
5) Sachant que la boule tirée dansU3est noire, quelle est la probabilité que la boule tirée deU1soit rouge ?
Exercice 3 Polynésie juin 2012
On désigne parxun réel appartenant à l’intervalle [0 ; 80].
Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges.
Parmi les cubes bleus, 40 % ont leurs faces marquées d’un cercle, 20 % ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile.
Parmi les cubes rouges, 20 % ont leurs faces marquées d’un cercle,x% ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile.
Partie A : expérience 1
On tire au hasard un cube de l’urne.
1) Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d’un losange est égale à0,12`0,004x.
2) Déterminerxpour que la probabilité de tirer un cube marqué d’un losange soit égale à celle de tirer un cube marqué d’une étoile.
3) Déterminerxpour que les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cube marqué d’un losange » soient indépendants.
4) On suppose dans cette question quex“50.
Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu’il est marqué d’un losange.
Partie B : expérience 2
On tire au hasard simultanément 3 cubes de l’urne.
Les résultats seront arrondis au millième.
1) Quelle est la probabilité de tirer au moins un cube rouge ?
2) Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ? 3) Quelle est la probabilité de tirer exactement un cube marqué d’un cercle ?
Exercice 4 Liban juin 2012
On dispose de deux urnesU1etU2.
L’uneU1contient 4 jetons numérotés de 1 à 4.
L’urneU2 contient 4 boules blanches et 6 boules noires.
Un jeu consiste à tirer un jeton de l’urneU1, à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l’urneU2 le nombre de boules indiqué par le jeton.
On considère les évènements suivants :
J1 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 1 » J2 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 2 » J3 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 3 » J4 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 4 » B « toutes les boules tirées de l’urneU2 sont blanches »
On donnera tous les résultats sous la forme d’une fraction irréductible sauf dans la question4.b)où une valeur arrondie à10´2suffit.
1) CalculerPJ1pBq, probabilité de l’évènementBsachant que l’évènementJ1 est réalisé.
Calculer de même la probabilitéPJ2pBq.
On admet dans la suite les résultats suivants : PJ3pBq “ 1
30 et PJ4pBq “ 1 210
2) Montrer quePpBq, probabilité de l’évènementB, vaut 1
7. On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.
3) On dit à un joueur que toutes les boules qu’il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 ?
4) On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note N la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.
a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoireN? b. Calculer la probabilité de l’évènementpN “3q.
Exercice 5 Nouvelle-Calédonie mars 2012
On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
L’urneU1 contient trois boules rouges et une boule noire.
L’urneU2 contient trois boules rouges et deux boules noires.
Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l’urneU1, sinon il tire au hasard une boule dans l’urneU2.
On considère les évènements suivants : A : « obtenir 1 en lançant le dé »
B : « obtenir une boule noire ».
1) a. Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.
b. Montrer que la probabilité d’obtenir une boule noire est 3 8.
c. Sachant que l’on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d’avoir obtenu 1 en lançant le dé.
2) On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
a. Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième.
b. Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.
c. On donne le tableau suivant :
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
PpX ăkq 0,009 1 0,063 7 0,211 0 0,446 7 0,694 3 0,872 5 0,961 6 0,992 2 0,999 0 0,999 9
SoitN un entier compris entre 1 et 10. On considère l’évènement : « la personne gagne au moinsN parties ».
À partir de quelle valeur deN la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à 1 10 ?
Exercice 6 Amérique du Sud novembre 2011
Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d’entre eux sont verts et possèdent six faces numérotées de 1 à 6. Le troisième est rouge et possède deux faces numérotées 1 et quatre faces numérotées 6.
On prend un dé au hasard dans l’urne et on le lance. On note :
• V l’évènement : « le dé tiré est vert »
• Rl’évènement : « le dé tiré est rouge »
• S1 l’évènement : « on obtient 6 au lancer du dé ».
1) On tire au hasard un dé et on effectue un lancer de celui-ci.
a. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.
. . . V
S1
. . .
S1
. . .
R
. . . S1
b. Calculer la probabilitéPpS1q.
2) On tire au hasard un dé de l’urne. On lance ensuite ce dénfois de suite. On noteSnl’évènement : « on obtient 6 à chacun desnlancers ».
a. Démontrer que :
PpSnq “ 2 3 ˆ
ˆ1 6
˙n
`1 3 ˆ
ˆ2 3
˙n .
b. Pour tout entier naturelnnon nul, on notepnla probabilité d’avoir tiré le dé rouge, sachant qu’on a obtenu le numéro 6 à chacun desnlancers.
Démontrer que :
pn“ 1 2ˆ`1
4
˘n
`1.
c. Déterminer le plus petit entiern0tel quepně0,999pour toutněn0.
