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TS - Contrôle n°2 (1h)
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La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.•
Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié.•
La calculatrice est autorisée.•
Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.•
Si, au cours de l'épreuve, vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, signalez-la sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.•
Faites une marge à gauche.•
Les exercices peuvent être faits dans le désordre.•
Exercice n°1 (15 pts)
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.
On admet que :
• la probabilité qu’il gagne la première partie est de $/t{0,2;0,3;0,4}$ ;
• s’il gagne,la probabilité de gagner la suivante est égale à
$/t{0,6;0,7;0,8;0,9}$ ;
• s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à
$/t{0,1;0,2;0,3}$.
On note, pour tout entier naturel non nul :
• Gn l’événement "le joueur gagne la n-ième partie" ;
• pn la probabilité de l’événement Gn . On a donc p1 = #1
1.[3] Construire l'arbre pondéré schématisant les deux premières parties successives, avec toutes les probabilités de toutes les branches.
2.[1] Montrer que p2 = /calc{#1*#2+#3*(1-#1)}.
3.[2] Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première.
4.[2] Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.
5.[2] En faisant l’arbre au rang n et n+1, montrer que pour tout entier naturel n strictement plus grand que 1, pn+1 = /calc{#2-#3}pn + #3
6.[2] On pose, pour tout n strictement plus grand que 1, qn = pn - /fs{#3;1-(#2-#3)}}.
Montrer que (qn) est géométrique. Déterminer q2 et sa raison.
7.[1] En déduire, pour tout n strictement plus grand que 1, l'expression de pn en fonction de n.
8.[2] Déterminer la limite de la suite (pn) quand n tend vers +∞. Interpréter ce résultat.
Exercice n°2 (7 pts)
Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A et B. L’entreprise considère qu’une bille peut être vendue
uniquement lorsque son diamètre est compris entre 0,9 cm et 1,1 cm.
Une étude du fonctionnement des machines a permis d’établir les résultats suivants :
• /al{90;95} % de la production journalière est vendable.
• La machine A fournit /t{55;60;65;70} % de la production journalière.
• La proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 1/2
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/al{96;99} %.
On choisit une bille au hasard dans la production d’un jour donné. On définit les évènements suivants :
A : « la bille a été fabriquée par la machine A » ; B : « la bille a été fabriquée par la machine B » ; V : « la bille est vendable ».
1.[1] Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.
2.[1] Calculer P(B V).
3.[1] Calculer la probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu’elle provient de la machine B.
4.[1] Calculer la probabilité qu’une bille soit vendable.
5. On teste un lot de 100 billes.
a.[1] Quelle est la probabilité que 92 billes soient vendables ? Justifier la méthode utilisée.
b.[1] Quelle est la probabilité qu’au moins 99 billes soient vendables ? Justifier la méthode utilisée.
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