TS - Spécialité Mathématique – Contrôle n°2

1/2

TS - Spécialité Mathématique – Contrôle n°2

Exercice n°1 ^[ /2,5]

a, b, c et n sont quatre nombres entiers.

/t{Montrer à l'aide de la définition de la congruence, que si §[ a equiv b [n] ]§ et

§[ c equiv d [n] ]§, alors §[ ac equiv bd [n] ]§;Montrer à l'aide de la définition de la congruence, que si §[ a equiv b [n] ]§ et §[ c equiv d [n] ]§, alors §[ a+c equiv b+d [n] ]

§;Montrer à l'aide de la définition de la congruence, que si §[ a equiv b [n] ]§, alors §[ ac equiv bc [n] ]§}

Exercice n°2 ^[/8,5]

On étudie l’évolution dans le temps du nombre de jeunes et d’adultes dans une population d’animaux. Pour tout entier naturel n, on note j

le nombre d’animaux jeunes après n années d’observation et a

le nombre d’animaux adultes après n années d’observation.

Il y a au début de la première année de l’étude, /t{200;300;400;500} animaux jeunes et /t{400;500;600;700} animaux adultes. Ainsi j

= #5 et a

= #6.

On admet que pour tout entier naturel n on a :

/se{§[j_{n+1}]§ = 0,125§[j_{n}]§

+ 0,525§[a_{n}]§

; §[a_{n+1}]§

= 0,625§[j_{n}]§ + 0,625§[a_{n}]§

}

On introduit les matrices suivantes :

A = /mat{0,125;0,525;;0,625;0,625} et, pour tout entier naturel n, U

= /mat{§[j_{n}]§ ;;§[a_{n}]§ }

1.a.

Montrer que pour tout entier naturel n , U

= A ×U

.

b.

Calculer le nombre d’animaux jeunes et d’animaux adultes après un an

d’observation puis après deux ans d’observation (résultats arrondis à l’unité près par défaut).

c.

Pour tout entier naturel n non nul, exprimer U

en fonction de A, n et de U

. 2. On introduit les matrices suivantes Q = /mat{7;3;;-5;5} et D = /mat{-0,25;0;;0;1}.

a.

On admet que la matrice Q est inversible et que Q

= /mat{0,1;-0,06;;0,1;0,14}.

On admet aussi que Q × D × Q

= A. Montrez qu'alors A

= Q × D

× Q

. b.

Pour tout entier naturel n non nul, déterminer D

en fonction de n.

3. On admet que, pour tout entier naturel n non nul,

A

= /mat{§[0,3+0,7 times (-0,25)^n]§ ;§[0,42–0,42 times (-0,25)^n]§ ;;§[0,5 – 0,5 times (- 0,25)^n]§ ;§[0,7+0,3 times (-0,25)^n]§}

1/2

2/2

a.

En déduire les expressions de j

et a

en fonction de n et déterminer les

limites de ces deux suites.

b.

Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée ?

Exercice n°3 ^[/9]

On note E l’ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre 0 et 26. On note A l’ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l’alphabet et un séparateur entre deux mots, noté « ⋆ », considéré comme un caractère.

Pour coder les éléments de A , on procède de la façon suivante :

• On associe à chacune des lettres de l’alphabet, rangées par ordre

alphabétique, un nombre entier naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc a →0, b →1,... z →25. On associe au séparateur « ⋆ » le nombre 26.

On dit que a a pour rang 0, b a pour rang 1,... …, z a pour rang 25 et le séparateur

« ⋆ » a pour rang 26.

• À chaque élément x de E, l'application g associe le reste de la division euclidienne de 4x+/t{3;6;9;12;15;18;21} par 27.

• Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang g(x).

1.

Trouver tous les entiers x de E tels que g(x)=x, c'est à dire invariants par g. En déduire les caractères invariants dans ce codage.

2.

Démontrer que, pour tout entier naturel x appartenant à E et tout entier naturel y appartenant à E, si y ≡4x +#7 modulo 27 alors x ≡ 7y + /calc{27*#7/3- 7*#7} modulo 27.

3.

En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.

4.

Proposer une méthode de décodage.

5.

Décoder la suite de lettres « £££ ».

2/2