TS – Contrôle n°2 – durée : 2h

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TS – Contrôle n°2 – durée : 2h

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.

Le barême donné n'est qu'indicatif et peut être modifié.

La calculatrice est autorisée.

Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez le joindre à votre copie quand vous rendez votre travail.

Exercice n°1 (12,5 pts)

On considère la fonction f définie sur R par f(x)=/f{¤x^3 – µ;x^2 + µ} et on note c

sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. [5 pts] Étude d'une fonction auxiliaire :

On pose g(x)=#3x

+ /calc{3*#3*#5}x + /calc{2*#4}.

a. Étudier le sens de variation de g.

b. Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution .

c. Donner un encadrement de  d'amplitude 0,1.

d. Étudier le signe de g(x).

2. [1,5 pt] En utilisant les résultats précédents, étudier le sens de variation de f.

3. [4 pts] On appelle  la droite d'équation y=#3x.

a. Montrer que f(x)=#3x – /f{/calc{#3*#5}x+#4;x^2+#5}.

b. Calculer /lim{x;+∞;f(x) – #3x}. Que peut-on en déduire graphiquement ? c. Étudier la position relative de c

et de  .

4. [1 pt] Y a-t-il des points A admettant une tangente parallèle à  ? Si oui, déterminer leur(s) abscisse(s).

5. [1 pt] Montrer que f()=/fs{/calc{3*#3};2}.

Exercice n°2 (9 pts)

Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fournisseurs f

, f

, et f

.

Dans l'entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique.

/t{La moitié;Le quart} des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur f

, le tiers par le fournisseur f

et le reste par le fournisseur f

. Une étude statistique a montré que :

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. /t{4;5;6} % des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur f

ont un défaut.

. 1,5 % des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur f

ont un défaut.

. Sur l'ensemble du stocke, 3,5 % des paires de chaussettes ont un défaut.

1. [6 pts] On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stocke de l'entreprise et on considère les évènements suivants :

. F

: « la paire de chaussette prélevée est fabriquée par le fournisseur f

. » . F

: « la paire de chaussette prélevée est fabriquée par le fournisseur f

. » . F

: « la paire de chaussette prélevée est fabriquée par le fournisseur f

. » . D : « la paire de chaussette prélevée présente un défaut. »

a. Faire un arbre pondéré de la situation.

b. Calculer la probabilité qu'une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur f

et présente un défaut.

c. Calculer P(f

∩D).

d. Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur f

, quelle est la probabilité qu'elle présente un défaut ?

2. [3 pts] L'entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires. On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants successifs avec remise.

a. Calculer la probabilité qu'exactement deux paires de chaussettes d'un lot présentent un défaut. On donnera le résultat arrondi au millième.

b. Calculer la probabilité qu'au plus une paire de chaussettes d'un lot présente un défaut. On arrondira aussi le résultat au millième.

Exercice n°3 (3 pts)

Montrer que :

/sum{k=1;n ;/f{1;k(k+1)}}=/f{1;1×2} + /f{1;2×3} + … … +/f{1;n(n+1)} = /f{n;n+1}

Exercice n°4 (3 pts)

Montrer que :

/sum{k=1;n ;(-1)^k × k^2 }=(-1)

/sum{k=1;n;k}

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